小型反射镜柔性镜座柔度分析

三点接触式柔性镜座具有遮拦比孝侧向、轴向刚度耦合程度孝便于安装等特点，在各种光学--红外系统中都有重要应用。设计合理的柔性镜座不仅可以保证系统的模态，同时在环境温度变化时，作者简介：安其昌(1988-)，男，硕士研究生，主要从事空间机构学的研究。E-mail：anj###mail.ustc.edu.cn收稿 日期：2012-12-18；修订 日期：2013-01.19786 激 光 与 红 外 第 43卷可以减小支撑对镜面面形的影 响、提高成像质量 J。美国SOAR望远镜三镜，即采用了该柔性支撑，取得了相当理想的效果 I9 。对于某三点接触式小型反射镜，柔性镜座与反射镜之间使用 82-1胶进行粘接，导致镜座整体柔度的与仿真分析结果偏离较大，使该小型反射镜的模态分析与设计方案改进都面临了困难。

由于胶层的粘弹性与各项异性等特征，国内外之前从具体 的物理性质与力学行为方面对于胶层的研究得出的结论大都十分复杂 ，并不适合实际工程中的应用。本文提出的柔度非线性拟合方法 ，可以避开胶层复杂的内部参数 ，直接在数学上建立了柔度模型，为后续的分析与设计提供指导。

为了证明理论的正确性与方法的可行性。本文首先利用伴随变换建立柔性镜座的柔度矩阵，推导出轴向、侧向某方向柔度分别为 9.58×10-m/N、1.38×10～m/N，并用有限元分析软件 MSC.Patrar/Nastra仿真得到轴向柔度 1.00×10-m/N、侧向柔度 1.33×10～m/N，对理论推导进行了验证。之后假设镜座与模拟镜之间连接的柔度矩阵为 6×6对角阵～此矩阵组合至镜座柔度理论模型中，得到侧向柔度关于矩阵对角线元素的表达式。通过对侧向柔度实验数据进行非线性拟合得到其数值，并计算出其正交方向柔度与轴向柔度分别为4.039 x10～m/N、2.20×10 m/N与实测值 4.136×10。

m/N，2.25×10。m/N比较，分别相差 9%，2%，本文利用了优化的方法进行了胶层柔度拟合；直接求解柔度矩阵，避开了胶层形状以及各向异性等具体的几何 、物理性质 ，由于 82-1胶在各种光学系统中都有着广泛应用，本文对连接处使用的简化方法都有很强的适用性。同时，对于类似的内部参数复杂、外部响应可测的系统也可 以应用本文的方法进行分析；本文的研究对于项 目之后的分析(如模态分析、频谱响应等)与装调也有着很好的指导意义。

2 基于伴随矩阵的柔度组建柔性镜座整体实物图如图1所示。

首先不考虑支腿边缘的三个粘接片，将每-条支腿的简化为等截面梁。其柔度矩阵可以由三个尺寸参数 f、t、b(如图2所示)以及材料的杨氏模量 E、剪切模量 G表示。

将坐标原点置于梁下端面中心，在此坐标系下柔度矩阵的表达为 m ：图 1 柔性镜座整体实物图Fig.1 sketch of flexible lens seat图2 坐标系的建立Fig.2 constitute of coordinate其中，Atb， tb。/12，lytb /12，， 使用( ，)， ， ， ， ) DolR尺R0 J表示伴 r 1变换矩阵。

其中。 c -sacT casBcy asy] I qB s 鲫吖 -c lL- c qBc J0 0 0 0 0 -- o 0 0 0 上。 - 。 上 。 。

o o 0 0 0 0 - o - 0 o- 0 o 0 - 。 3 -2激 光 与 红 外 No.7 2013 安其昌等 小型反射镜柔性镜座柔度分析 787表示原始坐标系在新坐标系中的方向余弦矩阵，C与 S分别代表COS”和sin”函数。

0 yo ]D01 I zD1 0 - 01 l ly。 - 。。 0 J表示原始坐标系原点( Y )在新坐标系中的坐标反对称阵。

以弹性镜座外圈圆心为坐标原点，外圈所在平面法向作为 z轴、以原点与某个支撑片形心连线作为 轴 ，建立右手坐标系。

可以得到柔性镜座整体柔度矩阵：C～c [Ag (-譬 0'-孚'0' ，0)c g(-孚 0-孚0， ，0)][ (譬R，o，-孚，0， ，0)c Ag(孚 0'- 0'竽，0)] (1)代人具体数值得到轴向柔度 9.58×10～m/N；，y方向刚度均为2.6437×10 N/m，求逆后由于非对角线元素的耦合(主对角线上元素都相等的对称矩阵，如果非对角线元素不为零，求逆后，主对角线上的元素将会不等，对于刚度矩阵来说，刚度相同的基本意义是模态上的对等，对于刚度矩阵的逆矩阵--柔度矩阵，在施加某方向的力时，由于该力引起的力矩，会将转动 自由度耦合进来，使原来刚度相等的方向柔度发生偏离)，梁 ，y方向的柔度分别为 1.38×10-m/N，与 1.196×10-m/N。利用有限元分析软件 MSC.Patran/Nastra建模 ，其中，镜座使用实体单元，各支腿使用 MPC单元连接，如图(3)所示。经计算得到轴向柔度 1.00×10-m/N，X方向柔 度 1.33×10 m/N理论 值 的误差分别 为4.2%，7.8%，从而验证了理论的正确性。

图3 有限元模型Fig.4 model of finite element analysis式(1)的从理论上给出了支腿尺寸参数与柔度之间的关系，对与本项目之后的设计意义十分重大。

下-节将连接处柔度矩阵整合入柔度模型之中，并进行非线性拟合。

3 胶层柔度矩阵的建立与非线性拟合3.1 胶层柔度矩阵的建立对于任何-个线性弹性物体，其力与位移的关系都可以用-个 6×6的刚度矩阵表示，假设每-处连接处为弹性线性且刚度矩阵为对角阵Kdiag(Xx，Ky， ，Krx，K ， )。

由于柔性镜座的机械加工采用高精度线切割并且多次复合结构尺寸与材料属性，故假设理论值与实测值之间的误差只是由连接引入。

建立与前-节相同的坐标系，将此矩阵求逆得到柔度矩阵 C 与式(1)所表达的柔性镜座柔度矩阵进行整合，得到新的柔度矩阵 C ：c (c [Ag (- 尺'0，- '0， ，0)(c妇Ag ) (-字Ro'- 0， ，o)[ ( 'o，-孚，0， ，o)(c妇 )Ag( 0，-孚o1竽，0)] (2)代人具体数值得到 方向的柔度表达式为C 厂(Kx，K ， ，Krx， ， )，大约由-百项组成，列出其中5项(系数已省略)：K K KzK ，K K K rz K ，KvK Kz，K K ，K KzKKT Krz由以上表达式可知， 方向的柔度与胶层刚度矩阵各元素之间有着非常复杂的非线性关系，故需要利用已测实验数据得到刚度矩阵，就需要进行非线性拟合，2.2节将利用优化的思想对柔度矩阵进行非线性拟合。

3.2 胶层柔度矩阵的非线性拟合设经过实验得到的-组单位力变形量数据为K(△ ，△ ，△，， ，△ )，那么系统残差的平方和为F[ ，K， ， ， ， )-△ ][ -△ ] [/-△ ] (3)对于 ， ， ， ， ， 这六个独立参量，通过试算得到其数量级，将其所在数量级设为可行域，在可行域中利用优化算法得到F取最小值时的最值点。

通过以上解法，可以在不考虑具体的几何、物理参数的情况下，将其看作-个整体，进行参数辨识，这种方法对于类似的内部参数复杂，外部响应可测的系统都有很强的适用性；同时，对于项 目后续的设激 光 与 红 外 No.7 2013 安其昌等 小型反射镜柔性镜座柔度分析 789由非线性力学相关知识可得，非线性力学系统的响应随着施加外力的不同会变化。拟合跨度较大的外力输入条件下的柔度矩阵也是课题组下-步的工作重点。