空气轴承间隙测量精度分析

由于空气轴承回转精度高，目前精密离心机主要采用空气轴承作为旋转主轴。动不平衡等因素将会造成空气轴承的回转误差增大，甚至导致空气轴承主轴和轴套相互摩擦 ，造成不必要的损失。因此，对空气轴承间隙的实时状态监测很有必要。

空气轴承间隙随着径向回转误差和轴套轮廓的形状误差变化而变化，基于三点法误差分离技术，可以在线将形状误差从径向回转误差中分离出来 ，使得轴承间隙只随回转误差变化。前人的研究主要从数学上保证三点法谐波权函数不等于零 。实际上，3个测微仪之间的夹角选择不当，除了会导致谐波抑制外，还将导致传感器读数误差等各种测量误差被放大 ，降低空气轴承间隙的测量精度。

虽然三点法误差分离技术已被广泛应用，但从国内发表的文献来看，3个测微仪之间的夹角布置和测量精度的定量收稿日期：2012-12-11基金项目：国家重大科学仪器专项资助项目(2011YQ130047)计算缺乏统-的、可直接借鉴的文献报道。这些对于高精度的精密离心机用空气轴承间隙状态监测又是很有必要的。本文基于三点法误差分离原理，推导传感器读数误差传递模型，对空气轴承间隙的测量误差进行定量仿真分析。

1 三点法测量空气轴承间隙的原理空气轴承间隙等于静态 间隙量与径 向回转误差的叠加，关键是径向回转误差的测量。基于三点法误差分离的空气轴承径向回转误差测量如图1所示≌气轴承圆周上布置3个电容测微仪，电容测微仪s ，s。与S 的夹角分别为 ， 。

假设3个电容测微仪处于同-平面内且相交于平均回转中心，根据三点法误差分离原理，可推导出径向回转误差在3个电容测微仪组成的平面内的2个量 (0 )，Y(0 )按以下迭代式进行计算讨探与～ ～研6 传 感 器 与 微 系 统 第32卷图 1 三点法误差分禹示震图Fig 1 Schematic diagram of three points method(0 )S。(0 )-F(0 )， (1)Y(0 )s。( -r(” 2 vp1) ( r( ]c0s------- ----- 1(2)其中r( )∑(A c。s kO.Bksin kO )，s )(acos kO. ksin kO.)，薹s kCOS kO.cksin kO.)，S(0 )Js (0 )c S (0 )c (0 )， 1clcos "C2COS ，3kclsin后 csin2 wp2，.2，rrp。

吼]- -sin(P-2-P1) .2，rp 鲫]，。 -sin(P-2-P1) 式中 r(0 )为空气轴承轮廓的形状误差，0 2rn/N，Ot21rpl/N，卢2wp2/N，P ，P 取整数，Ⅳ为空气轴承旋转-周的采样点数，k为傅里叶变换谐波阶次，n为相应的采样点(n0，1，，Ⅳ-1)，S (0 )，S (0 )，Sa(0 )分别为 3个电容测微仪读数。

2 传感器读数误差传递模型建立基于三点法形状误差分离的空气轴承间隙测量中，由于受温度变化 、噪声、电磁干扰等的影响，电容测微仪读数中存在随机误差和系统误差。对于随机误差和系统误差 ，需要知道经过三点法形状误差分离后，传递到径向回转误差上的量值大校2.1 传感器读数随机误差传递模型建立3个电容测微仪之间相互独立。由于式(1)、式(2)是关于传感器读数的线性组合关系，根据数理统计理论，傅里叶系数A 和 的方差为) N-1(kCOS kO，嘶 扪 c s ，otksin kO。

(3)田二 角 凼致 性 质 ，式 (3)日J间 化 为(A ) (B )兰. (4)对于每-个采样点 0 ，傅里叶系数A 和 B 均为传感器读数 S(0 )的线性组合，二者强相关，认为相关系数为 1，则传递到形状误差 r(0 )上的传感器读数随机误差为： 警(si kO. m ∞ n)：2-o"2Ⅳ1c c (ko 詈). (5)根据式(1)，式(2)，传递到径向回转误差分量 (0 )，y(日 )上的传感器读数随机误差盯 ( ， ；( 为 十穗 (to )]式中 为傅里叶变换的最高谐波阶次。公式推导过程中认为 Si(0 )与 r(0 )弱相关，因此，按式(6)的计算结果稍微比实际值大。

2.2 传感器读数 系统误差传递模型建立设3个电容测微仪读数中存在系统误差，分别记为e ，e ， 。基于式(1)和式(2)，不考虑其它测量误差 ，根据误差理论 J，对于每-个采样点 0 ，传递到傅里叶系数 A 和上的传感器读数系统误差为kCOS( kO.咖 -丽 邓 )： 筹 ( cos k，O. - m(7)设3个电容测微仪读数的随机误差相同，均为 ，且 传递到形状误差r( )上的传感器读数系统误差为。删 ： [ (acos kOz邓sin kO.)]·c。s N-I( 。s in )]sin kO.)·c8对于每-个采样点 0 ，径向回转误差分量 (0 )， y(O )上的传感器读数系统偏差为第6期 凌明祥，等：空气轴承间隙测量精度分析 7Km N-1ex(on)e ∑∑k2 m om )Km N-1‰ ，e。-∑∑k2 nl0m 妒)兰 ! ±! ±!N ! ±! ± !Nin( -(kO -(9)其中， aretan 。

3 传感器读数误差传递模拟计算3.1 传感器夹角布置仿真优化设空气轴承回转误差测量系统中第-，二个电容测微仪垂直放置 ，即 Ot90。，测量误差的传递大小 由夹角 的取值决定。-方面为了使传感器读数随机误差传递倍数最小，用式(10)的误差传递函数 (k，Ol，卢)来优化卢的取值。

(k， ，卢)反映了卢对径向回转误差各阶谐波分量测量精度的影响。fl(k，O/， )越小，说明传递到回转误差上的第 k阶谐波分量中的传感器读数随机误差越小，即径向回转误差测量结果越精确。另-方面，为了使传感器读数系统误差传递倍数最小 ，用式( )的误差传递函数 (k，O/，卢)来优化卢的取值( ， ， )等 ， (10)/3) . (11)取 90。，构造的优化策略是求/3的值，分别使误差传递函数 (k，O/，卢)和 (k， ，JB)的各阶谐波分量之和为最小 ，即- m min F·( ， ) min 1 A(k，/3)， (12). m ( ， ) 1 (k，/3)· ( 3)以0.1。为步长 ，当最大谐波次数 Km40时，目标优化函数 F。(k，/3)和 (k，卢)随角度卢变化的曲线关系如图 2所示。F (k，卢)和 (k， )全小值的 /3值有很多个 ，因此，可结合其它约束条件对 的取值进行灵活选择。此外，FI(k，/3)，F2(k， )取值的离散程度均很大，说明夹角/3的值出现小变化就有可能使F。(k，/3)，F2(k，/3)的取值从极小变到无穷大，因此，要避免夹角卢的实际安装偏差引起传感器读数误差的放大。

对每-谐波阶次k，当卢取 48.7。时 ( ， )， (k，/3)的取值如图3所示。由图中曲线可知 ，当口的取值使误差传递函数 F (k，/3)， (k，/3)全小值时，对应的每-谐波分量均可控制在-定范围之内，而不会出现某-谐波分量的谐波抑制现象。计算中发现，F1(k，卢)全小值对应的值几乎全部也可以使 (k，卢)全小值，即使各次谐波分3.02.52.01 50 100 200 300电容测微仪角度∥(。)O 100 200 300电容测微仪角度口/(。)图2 F(k，卢)随角度卢变化的曲线关系Fig 2 F(k。卢)function CUlWe with angle卢量 (k，/3)的取值较 (k，卢)平滑，优化 的取值还是以误差传递函数 F (k，卢)为目标函数较为合理。

蕊图3 ，(k， J随谐波阶次 k的变化Fig 3 ，(k，卢)function curve witl七计算中发现，最高谐波次数 取不同值时，目标函数F(k，JB)取最小值时对应的卢值不同。-般来说，回转轴的形状误差取22-45阶谐波即可，因此，所研制空气轴承回转误差测量系统中 取4O。表 l所示是本文优化结果与文献[4]优化结果对比情况 ，当 取 4O时，本文的优化结果略优于文献[4]。

表 1 不同最大谐波阶次优化结果比较Tab 1 Optimization results comparison of diferent3.2 传感器读数误差传递计算若 电容测微仪读数 中存在测量误差，则该误差将按式(6)和式(9)传递到回转误差的测量结果中。取 N1024，Km40，Ol90。，按误差传递函数 (k，卢)优化得到的4个象限内 的最优值为 41.3。，147.5。，221.4。，318.9。，对于每-个采样点 ，根据式(6)，传递到回转误差分量 (0 )，Y(0 )上的传感器读数随机误差计算结果如图4所示。4个卢值对应的传递到回转误差分量上的传感8 传 感 器 与 微 系 统 第 32卷器读数随机误差差距不大，均值在 1.1280- -1.1540-。之间，大多数峰-峰值为1.080- 1.230.2。说明即使是误差传递最小的 值，传递到回转误差分量上的传感器读数随机误差也将被放大，平均放大量在12.8%-15.4%之间。

设传感器读数的系统偏差为e。e e，对于每-个采样点0 ，根据式(9)，传递到形状误差r(0 )上的传感器读数系统偏差如图5所示。由图中数据可知，传递到形状误差 r(0 )上的传感器读数系统偏差的数量级在 10左右，则传递到回转误差分量 (0 )，Y(0 )上的传感器读数系统偏差为e枷 ) e姗 )-e。说明三点法能消除传感器读数偏差。需注意的是，若传感器读数偏差与采样点 0 有关，则上述结论不适用。此外，口221.4。对应的系统偏差传递量明显大于其他3组值，说明按误差传递函数 ( ，)优化得到的 值并不完全使传感器读数系统偏差传递量也越校然而，由于系统偏差传递倍数极小，因此，空气轴承间隙实际测量中可以忽略恒值系统偏差对形状误差的影响，而恒定系统偏差约按 l：1的 比例传递到回转误差2个分量的测量结果中。

(上接第4页)[17]邹 华，谢丽丽，赵素合，等.硅烷偶联剂对镀镍石墨/硅橡胶复合材料性能的影响[C]∥2007年第四届全国橡胶助剂生产和应用技术研讨会，宁波：北京橡胶 工业研究设计 院，2007：379-382。

[18]柳学义，陈 闯，杨艳宇.炭黑填充型硅橡胶复合材料的制备及其性能研究[J].绝缘材料，2012，45(1)：15-18。

l9]王 彬，肖昭然.压敏导电橡胶的压敏性测试[J].科学技术与工程，2008，8(13)：3689-3691。

[2O]Seonggi K，Back-chul K，Ja C K，et a1.Film-type single axis tactilesensor with various thicknesses using nitrile butadiene mbber[J]。

[21]杨 敏，陈 洪，李明海.柔性阵列式压力传感器的发展现状简介[J].航天器环境工程，2009，26：112-115。

[22]Zhang Xuefeng，Zhao Yulong，Zhang Xuelei.Design and fabrica-0.5咖I1型 。

-o-s0 200 400 600 800 1000采样点图5 不同采样点对应的系统偏差传递量Fig 5 Corresponding transfer amount of system deviationwith diferent sampl point传递到回转误差分量上的传感器读数随机误差和系统偏差大嗅果表明：即使是最优角度，随机误差也至少将被放大 12.8%左右，而恒值系统偏差约按 1：1的比例传递到回转误差测量结果中。所建立的测量误差传递模型可为相关主轴回转误差测量的精度评估提供-定的参考。