球幕投影通用型变焦鱼眼镜头设计

随着数字视频制作技术和数字投影机技术的快速发展，采用数字投影机平台的球幕投影应用越来越受到青睐，已经广泛应用于地理、天文教学、娱乐业、展览展示、科普宣传、调度指挥等领域。球幕投影方式包括多机位拼接方式和单机位方式两种，单机位方式由于系统稳定性高、成本低等特点已成为球幕投影的主流技术，尤其在对小型整球幕投影应用中更是无法替代。单机位投射球幕需要使用具有超大视城的鱼眼镜头，由于目前市场上数字投影机的品牌和规格繁多，所需要的固定焦距鱼眼镜头的规格也很多，不利于鱼眼镜头的规模化生产，也不利于球幕投影的应用和推广，因此，能通用于多品牌、多规格数字投影机的变焦鱼眼投影镜头的开发研究显得十分迫切。目前，无论国际还是国内，在数字投影领域对通用型变焦鱼眼镜头 的研究还未见公开报道，市场上也未见任何产品推出，本文讨论了可产 品化的通用型变焦鱼眼镜头的设计。

2 设计指标和要求所谓的通用型变焦鱼眼投影镜头，首先是投影用鱼眼镜头应具有大视城、大相对孔径、大反远比特征；通用”是指镜头可以匹配采用不同尺寸芯片(对角线)、不同芯片长宽比例(16：9或 4：3等)、不同技术类型(LCD、DLP、LCOS等)的数字投影机。而-般来说，数字投影机芯片的差异使得投影机合光/分光棱镜组的结构(设计时采用平行玻璃平板等效)和引擎棱镜轴向有效出射光程长度具有差异 ，该光程长度差会造非平行光线的像差，所以，镜头通用性首先要具有焦距调节能力，以适应不同的像高要求，其次，镜头在不同焦距处对应不同厚度的平行玻璃平板，即，镜头自身应该有能力抵消等效玻璃平板厚度差而造成的各种像差。

根据目前市场上主流工程数字投影机(3LCD或 1DMD)的引擎情况可以总结出，引擎芯片对角线尺寸和棱镜组出射有效光程长度、芯片短边长(镜头像高)尺寸对应关系如表 1所示。

表 1 主流工程投影机芯片尺寸及比例所对应的棱镜有效厚度及鱼眼镜头半视场像高Tab.1 Panel sizes and ratios of mainstream projectors and corresponding prism thicknesses and fish-eye lens image heightsItem/mm Panel diagonal/cm(1in2.54 cm)Prism thickness 2 6Image height(16：9) 5.91Image height(4：3) --245.296.4816.54.8鱼眼镜头像高和视城的对应关系有别于常规镜头，其像高和视城的函数关系可以根据需要变化，选择了对应关系，镜头的畸变曲线就确定了，球幕投影领域常用形式为等距离投影形式和等立体角投影形式 ，其关系式为：--厂 ， (1)Y -2f sin(co/2)， (2)其中： 为像高， 为镜头焦距，叫为弧度制的视场角。无论是哪种对应关系，像高之比等于焦距之比，再考虑到工程投影机芯片纵向(短边方向)像素"I薹㈣第2期 陈 琛，等：球幕投影通用型变焦鱼眼镜头设计数在 768 1 080之间的具体情况，可确定通用型 变焦投影鱼眼镜头的光学设计指标如表 2所示。

表 2 光学设计指标Tab.2 Optical design parameters图 1为应用背投整球幕、数字投影机、鱼眼镜头等组成的系统，图 2为系统中镜头和球幕的位置关系，可见，镜头出瞳位置远远偏离了球幕的球心位置，便可确定镜头像高CC视城关系应采用式(2)描述的等立体角类型，其畸变数据如表 3所示，为了配合制作数字视频工艺的实际需要，要求所设计镜头在任何视雏变偏离等立体角类型畸变绝对值不大于 5 。

图 1 地理教学/航海、飞行调度指挥用数字星球系统Fig.1 Dispatch and command digital planet systemof geography teaching，navigation，and flight图2 数字星球系统中镜头和整球幕的位置关系Fig.2 Positional relationship of lens and whole domein digital planet system表 3 等立体角投影标准畸变Tab.3 Standard distortion of equisolid proj ectionF0V(Radian)(Ⅲ-7c/2)0.1∞0.3co0.50)O.7O7叫0.85Ⅲl eo- O.92- 8.36- 23.46- 5O.58- 7O.28- 1OO考虑到镜头的加工工艺性，特确定当变倍组间隔变化轨迹为线性时，补偿组的间隔变化轨迹也为线性，从而在机械设计过程中能够使两条凸轮曲线都设计成标准的螺旋线 。

3 结构分析鱼眼镜头具有超大视城的性能特点，其前部结构有数值很大的负光焦度，大入射角的轴外光线经其强烈偏折后，使夹角大大减小，如果其角放大率为y，则 1/y为镜头的规化后工作距离，具有反远距物镜特征，1/y越大则视城越大，与视城相关的像差就越大3]。-般具有较大的光阑像差 ，包括光阑球差和光阑彗差 ，光 阑球差是鱼眼镜头前组对光阑成像所造成 的球差，它对 光阑前的任何物体成像，都存在这样的像差，-般称之为大像差前组结构。很多时候，在固定焦距的鱼眼镜头设计过程中，为了达到提高视城、增加相对孔径、增大反远比、提高像面照度均匀度等目的，需要人为制造光阑像差，造成孔径光阑的有益渐晕，提高大视场光束的通过比例。在得到合理控制的条件下，光阑像差有益于定焦距鱼眼镜头的性能提升，对于变焦鱼眼镜头的设计，合理残留前固定组结构的球差对补偿组间隔变化轨迹曲线的咖，-～R -R 出.培4 5 4 7 8 9 7 5 . ∞ 叫 ∞O O 2 4 9 9 4 8 2 2 6 6 5 7 8 4 捣O O O 0 1 1 光学 精密工程 第2l卷改造也有帮助。

根据经典的变焦设计理论，从像面位置稳定因素考虑，光学补偿法的变焦距物镜的像面位移不能完全补偿(除去设计规定 的几个特征点外)，而机械补偿法的变焦距物镜像面位移可以完全补偿；光学补偿法适合用于小相对孔径和小视场的低倍率变焦距物镜，机械补偿法适合用于大相对孑L径和大视场的变焦距物镜。对于本文 目标应选择机械补偿法，根据通行方法，机械补偿法确定高斯解变焦核方案的基本方法分为 3个步骤，(1)确定变焦结构像面位移的补偿形式；(2)决定倍率选段，合理选择变倍组的起始放大率位置 mz。，再根据变倍比r计算变倍组的终端放大率m 2；(3)确定补偿组焦距 厂3 。

因为 ，3 和/Tt 共同决定着全部高斯参数Ⅲ，所以在确定了结构的型式之后，高斯解的核心问题就是确定 m 和 . 。

数字投影类鱼眼镜头由于需要更大的反远比(大量工程实践归纳出，对 3led类型引擎要求最小达到 6倍，对 3DLP类型引擎最小达到 9倍，对于 3芯片 LCOS和其变种 SXRD引擎最少需要达到 11倍，后工作距离考虑成等效空气)，结构在同等复杂程度条件下，需要物镜结构的负焦前组和正焦后组间隔距离更大，造成物镜的总长更长，在保障工程所必需的最械头长度前提下，要做到镜头尽量短，镜头前部口径尽量小，才有利于降低成本，使镜头有更强的实用价值。定焦距鱼眼镜头的前组都具有很大负光焦度，变焦鱼眼镜头的前固定组也应如此。假设变倍组选择为负焦度，将使前固定组和变倍组的组合负焦度的绝对L值更大，因为光焦度组合公式为 ，f1hz和 h 分别是变倍组前主面上和前固定组后主L面上的第-辅助光线高度，在鱼眼镜头结构中F/.1绝大多数情况为正，将导致镜头长度大大增加，镜头结构中间部分 El径变粗，最终使镜头尾部的IZl径尺寸变大，从而不利于和投影机的连接；如果变倍组选择负焦度，对后期的像差处理不利，需要后固定组结构更复杂，因为校正大视场光线像差是鱼眼镜头结构面临的最大挑战。直观地从光程差的角度来判断，若给光学系统边缘视场光程在不同透镜上制造更多的产生局部突变的机会，给大视场光线以更曲折复杂的路径，会增加各个视尝各个孔径光线光程相等的几率，所以基于像差校正考虑，变倍组选择负光焦度也不利。根据上述分析，只能选择正光焦度的变倍组。同理，基于等光程差和减械头几何尺寸的考虑，补偿组也最好采用负光焦度结构。光焦度为正负交错的高斯光学系统如图 3所示。图中 庐 、 。 、丸 和 j＆ 分别代表前固定组、变倍组、补偿组和后固定组。

I- L2 -- - I AL；(T图3 高斯光学系统图Fig.3 Gauss optical system4 变焦核讨论关于变焦结构设计的论述有很多 1 ，此处采用陶纯堪先生的方法[4]。-般把引起镜头倍率变化的变倍组和补偿组统称为 变焦核”。这里按照理想光学系统，讨论鱼眼变焦镜头在轴上的情况。如图3，变倍组 在变倍过程中最小共轭距时，其放大率为 m。--1，当≠ 移动时，乒 、庐L的组合光焦度发生变化， 。- 。当 声/7"1向左移动(靠近 时，h 基本不变，而h。变大，从定焦距投影鱼眼镜头结构得到的普遍规律)，组合光焦度的绝对值变小，由于 声 的绝对值远远大于z ，组合后的光焦度 仍为负值，即，组合后的光焦度的绝对值变小，为负焦度。 向右移动正相反，再考虑到光焦度为正的后固定组 ，最终镜头的焦距变化规律为 在最左端时，镜头处在长焦距段， 。 在最右端时，镜头处在短焦距段，/-f， /△，其中厂 是镜头总焦距，厂 是前固定组和变倍组的组合焦距， 是后固定组的焦距，是相应的光学间隔。于是，便得到如图4所示的焦距变化形式。

观察图 4，如果再考虑到镜头将匹配不同的投影机，即引擎棱镜模拟平板厚度和该平板距离后固定组的空气间隔也是变化的，发现它既有双第2期 陈 琛，等：球幕投影通用型变焦鱼眼镜头设计1 扔， 机图4 不同焦距运动组元位置图Fig.4 Position of moving group during zoom也 - - 图 5 变焦核像点移动示意图Fig.5 Movement of the image point of moving group组联动的结构特点，又有二运动组元负组补偿特点。图 5所示为变焦核轴上像点位移关系图。变倍组 因变倍移动q后，补偿组 丸 要移动△来保障物点A 的像点A 位置不动，如果 是变倍组的放大率， 。是补偿组的放大率，并且其余所有符号规则都和通常-样， 。 移动q引起的运动组份像面微小移动为：7/；(1-m；)dg， (3)。 移动引起的运动组份像面微小移动为：(1- ；)d△. (4)为达到像面稳定，两个像面移动量的代数和必须为 0，则 ：7n；(1- ；)dq(1- ；)d△-0， (5)而 dq和 d△又可以用相应的放大率来表示为：dq- Jz；dm2；d△-f3 dm3， (6)代入(5)式得：fz dm。 dm。o. (7)若给定了变倍组初始放大率 。。，就可以解出微分方程，其解 7n。是对应变倍组任意 的补偿组的放大率，其解有两个满足-元二次方程：j～6 31-0， (8)两根为：f 6/6 -4-T， (9)l 6-√6 -4[17/32--- - 其中：6- ( - Tn2m-7n20)( 7/'30)，(10)m 。、m。是初始位置的放大率，m 。是选定的，7l/。

可以通过下式计算：f纸 。- ， (11)其中：d。。是初始位置变倍组和补偿组间隔 d 。极限最袖隔，而式(10)中的 。 是某-位置的过渡放大率，是假设变倍组从初始位置移动 q的距离后而具有的瞬时放大率， 和初始放大率具有如下关系：2 - 二 -. (12)7 /'/202 .厂m。 、m。两根实际上也是当变倍组从初始位置移动 q的距离后补偿组具有的瞬时放大率。如果设定步长合理的 q系列数值，就可以得到-系列的 2 、m31和 m32，再用对应相同 q的 仇2 、m31和m。 计算出总的变倍比：r- -7Y/2mT-F/3m. (13)- 直到达所需要的变倍 比为止。式(13)中的和 。 就是上述过渡瞬时放大率，7n。和7n。是初始放大率。如果初始位置在长焦段，变倍比是式(13)的倒数，即：r- -7/'20-7//30. (14) ，找到满足变倍比放大率后，便可求得补偿组移动的距离 △，△分别和7n。 、 。 对应：/△ ： s，-m∞. (15) 1A2-f3 32-m3o - 般只有-个有意义，可以根据实际情况判断出合理值。

光学 精密工程 第21卷上述方法是-个经典逐次逼近 的试根方法 ]，需要设定合理的初始条件，包括在变倍组f2 1的规化条件下设定 f3 、m 。和 d 。的取值、试探因子q的步进长度值，这些取值的正确与否，直接影响设计结果和设计效率。 和m z。的取值将影响镜头的几何尺寸以及后期机械设计过程中凸轮曲线的线形和压力角的大小；d。。的取值要考虑到变倍组和补偿组在移动过程中不能碰撞；q的步进长度值影响设计时逐次逼近 目标的速度。

在上述4个需要设定的参数中，厂。 和mz。的取值是关键 。

- 般来说，负组补偿设计原则分为物像交换原则和非物像交换原则，非物像交换原则又按初始位置变倍组放大率 m 。的正负情况，分为 m 。>0和m 。d0两种情况。不同倍率要求所采用的策略不同，本文目标属于低倍变焦，有很大的选择空间，完全可以在 。曲线的取段上找到相对平滑、单调变化的-段工作段，而 m。曲线所处的位置又与 。的取值相关。对于本文选定的正组变倍负组补偿结构方案，从镜头的工艺性考虑，尤其是考虑凸轮曲线的连续性、平滑性、单调性，需要补偿组和变倍组的位置移动量适中，位置对应变化轨迹曲线最好为直线。按物像交换原则，需要厂2 的放大率处于m --1的附近，变倍组的共轭距最小为 4 1.厂。 I，此时光学 总长最小 ，结构最 紧凑，但是此时补偿组的间隔变化轨迹曲线过于弯曲”，为了使 声。 和声。 位置变化轨迹曲线为直线或接近直线，从而保证机械凸轮的凸轮曲线都可设计为螺旋线，且能回避 m▲入无解区间，应采用稍微偏离物像交换原则，即m。<-√I1，本文设计变倍 比目标为 1.33，则 m 。取-1.153以下，这种条件下，变倍组将从短焦变化到长焦，相对应其放大率 将从-个负数开始变化到绝对值更大的- 个负数。厂3 的大小-般决定二运动组移动距离的大小，根据负组补偿的-般规律，I，3 1-1.8I厂 I时，变倍组移动距离 q和补偿组的移动距离最接近，但考虑到运动轨迹不能过度弯曲”，只能选择I l<1.8 l厂。 l，而此时，补偿组从短焦处移动到长焦处其移动距离大于变倍组的移动距离q，这样 .厂3 的取值范围就基本可以确定在-15～- 1.7。根据以上分析可初步确定镜头的高斯解过程的初始条件，在f -1的规化条件下，给定m。、f。 、d 。和 q的步进长度，依次根据式(11)、(12)、(10)、(9)、(15)、(13)得 出逐次逼近 的变焦过渡数据，直到达到所需要的变倍比要求。此处只取 m。 的值及其对应的△ 和 的值。重点考虑 q和△。的对应关系，当变倍组间隔q按线性变化时，补偿组的间隔 △ 也应该接近线性变化，否则，要对初始数据进行调整，调整策略为保持 m 。

不变调整 ，可得到-系列如图6所示的位移曲线，再保持 .厂3 不变调整 m。又可得到-系列曲线，然后对比优眩对得到的 z系列曲线进行选择的依据有两点：-是要使长焦时的 △ 4-q最小，二是要找线形最接近直线的曲线。图 7中所示曲线是选出的△ q最小的两条，确定线性的- 个方法是面积最小法”，将曲线的两端相连形成-条直线，该直线和曲线本身构成-个近似圆缺的区域，求出该区域面积，面积最小(无限接近-1 7，” -1 3， -1 5，m2s-1 3 1， r， -l 5，m2s l 3(r fr / -1 7 2s-I 2， r. -t 5，m2 -l 2： ， -∥ 7r， ，J，，r， q0 0.04 0.08 0 12 0 16 0 20图6 不同初始条件下补偿组间隔变化曲线Fig.6 Variation curves of the intervals among corn-pensation groups under different initial condi-tionsJ，，产 -1 5，m2s- l 35l 二， / / ～1 7，m2s-l 21hypothetical spacef ， r varia右0nO.1l， ，7 ，，g0 004 0 08 0 12 0 16 0.20图 7 △ q最小两条补偿组间隔变化曲线Fig.7 Variation curves of the interval between twocompensation groups at the minimum of△ q第2期 陈 琛，等：球幕投影通用型变焦鱼眼镜头设计0但不等于 0)者即为最优结果。

在工程实践中，为 了得到精确结果 ，-般选择.厂3 按 0.01、m。按 0.001的步长变化，完全可以得到非常精确的结果。图 7中的f3 ：：-1.5，m 。

--1.35”曲线是-个局部较优结果，设 dz∞-2mm，q的步进长度为 0.02，计算得到变焦核的过渡数据如表 4所示。

表 4 优化后的变焦参量过渡数据Tab.4 Transition data of zoom parameters after optimizationSeria1. g m2 b m32 △2Number5 构造镜头光学结构要构造成真实光学结构模型，需要明确前、后固定组的结构形式及焦距。如果参照常规镜头的变焦核情况进行分析，对于常规镜头确定前固定组焦距 ， 、后固定组焦距 的关系式为 ：：：dl2min ： 二 。

m 20(16)， 2f h 4d34 ， 、 J- -Dda4min-2f-'h 32h4f'式中：f 、d 。 。 、d i 、h。、h 、D 分别 为镜头 当前焦距、前固定组和变倍组之间的长焦处的最袖隔、补偿组和后 固定组之间在长焦处的最袖隔、第-辅助光线在补偿组上的光线高度、第-辅助光线在后固定组上的光线高度、人瞳直径。从式(16)、(17)可以看出，厂 和厂 的取值和组与组之间的间隔相关。， 和 ， 的取值并不影响变倍比，只影响总焦距 ， 的分布范围。值得注意的是，在所有成熟的变焦高斯分析理论中，都假设了- 个隐含条件即光路系统是理想的，是近轴的。

而对于鱼眼镜头来说，镜头前组具有很大负光焦度并残留大像差，能产生剧烈的角放大率，已经超出了理想光学系统”的范畴，所以，在处理鱼眼镜头变焦问题时不能完全采用惯用方法 ，但是 ，现有的处理和分析变焦问题的相关理论仍然具有指导意义 。

对于鱼眼镜头来说，前固定组是使各个视场的光线的入射角度得到压缩”并规范光线在后续各个光学工作面上的高度，对于有实用价值的鱼眼镜头结构来说，如果套用像”的概念，前固定组对无穷远成像，也是包含有大像差的模糊像”，如图3中的A1和 A(∞)，前固定组对无穷远成像，各个视场像的位置几乎都不同，像的位置是视场的函数，各个视场像点相对于变倍组的位置就不同，各个视场的m 也不同，经 ，3 放大后，情况就越发复杂，因此很难建立起.厂 和 厂 厂3 的精确关系。但式(16)和(17)对于轴上或者小视城情况的描述是准确的，可以用来粗略确定鱼眼镜头前固定组和后固定组焦距，但实践证明很多时候偏差较大，尤其是对于前、后固定组结构较简单的情况■且，即使明确了前、后固定组的焦距，由于像差匹配和大视场工作的要求，也不能轻易构造出合理的光学结构模型。鉴于此，此阶段索性暂且不考虑 厂 和厂 的取值(后面将给出结果)。

试想，如果有-个像质良好、结构简单的固定焦距的鱼眼镜头光学结构(可称为母结构”)，该结构的前组和后组以光阑为界相互分离且有足够容纳变倍组和补偿组的空间，那么将上面讨论的变焦核植入已有的母结构”后就形成了变焦鱼眼镜头结构，这样就暂时回避了.厂 和 厂 的取值问题，转而统-考虑，这样，就把变焦鱼眼镜头确定前、后固定组焦距的问题转化为了设计固定焦距鱼眼镜头的问题。作者有-鱼眼投影镜头结构发明专利，专利号为ZL201010173497.9，为定焦距结构，光学结构如图 8所示 。

I j/r--1 n /- .- ∞i- f - - 缓 藿姥盏誊 爱 黧雾 - lu～ - 图 8 作为镜头母体的定焦距鱼眼镜头光线追迹图Fig.8 Ray tracing drawing of fixed-focus fish-eyelens as the matrix lens0 7 8 2 O 3 O 3 O 3 7 2 7 2 8 4 O O O 1 l 2 2 3 1 1 1 1 ； 1 0 1 O 9 1 8 3 9 O 5 3 3 8 5 7 2 0 2 5 8 1 5 9 4 O O O O 1 1 1 2 7 4 3 3 6 1 9 9 O 2 4 6 8 1 3 6 8 8 8 8 8 9 9 9 l l 1 2 5 O 6 4 5 7 6 7 8 O 1 3 5 7 3 3 3 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2O 7 7 9 3 1 1 5 5 8 2 6 1 6 1 6 3 3 4 4 5 5 6 6 1 ； 1 O 2 4 6 8 0 2 4 0 0 0 O O 1 1 1 O O O O 0 O O O1 2 3 4 5 6 7 8 33O 光学 精密工程 第21卷将该结构缩放到本文目标所需要的最短焦距后，可以植入变焦核，植入的过程是把变焦核的规化数值转换成实际数值的过程，方法为：分别计算出母结构前组和母结构本身对于无穷远物体所成轴上像点位置，插入变焦核后，给定短焦位置的最小 d。 (留出合理余量)，把之前得到的两个像点作为变焦核加后固定组(母体后组)组分的共轭像点计算，可建立起关于 的方程并计算出 的值，于是可得到变焦鱼眼镜头的基础光学结构基本参数〖虑到所植入的变焦核应不改变母体结构的像差匹配关系，变焦核结构 自身应该得到必要的像差处理，着重考察变焦核的初级像差，包括初级球差 SI、初级场曲SⅡ、位置色差 C、倍率色差 CⅡ，照顾到长、中、短焦距情况。在简单化前提下，得到变倍组由单片双凸透镜组成，补偿组由正弯月型和负弯月型透镜胶合而成，至此，就完成了光学结构模型设计过程，可以进入像差优化阶段，在优化过程中，为了适应不同厚度的引擎尺寸，并消除掉引擎棱镜厚度变化造成的像差，将图8中的第二透镜--双凹透镜分裂为 2片透镜，并拉开-定的间隔，得到最终需要的结构，如图9所示。

图 9 变焦鱼眼镜头光学结构图Fig.9 Final optical configuration drawing of zoomfish-eye lens6 像面稳定性和补偿组运动轨迹曲线的线性改造对于二运动组元的机械补偿式结构，补偿组的间隔变化轨迹-般为曲线，但通过对变焦核初始条件的合理配置，可以很大程度减小补偿组轨迹曲线的弯曲程度”。如果把补偿组的间隔变化轨即作如图7所示的直线，将使中间焦距位置d。和d。 和真实值存在 Ax的误差。值得注意的是，前固定组的轴向球差(套用光阑球差概念，和视场有关)对于像面稳定、补偿组间隔变化轨迹的线性影响非常大，可以作为-个参量来校正 Ax的影响，应努力调整而不是彻底消除前固定组各个视场的轴向球差，使得轴向球差的量 △L Qo)造成的像面位移和 Aa：造成的像面位移相互弥补。参考图 3，当前固定组对于无穷远成像的大视场像点位置(也和孔径光阑位置及第-光线高度有关系)和轴上像点位置偏差 △L (∞)较大时，变焦核的放大率和视城 叫有关系，应该准确的表示为 仇 (∞)和 。(叫)， ( )随着 △L (∞)的变化而变化，不仅数值发生变化，甚至会影响仇 ( )符号极性，进而造成 。(c，)的情况复杂甚至无解；AL (cU)经m。(∞)和m。( )的放大会造成变焦核后像面位置的移动 △L。 ( )：AL3 ( )-再 f2 d -d L 8 ( 2 ，3 L 2 L 2- 23 23 2) 其中：△L， ( )、L。分别是前固定组 的某视场轴向球差、变倍组对 ， 轴上像点的物距。△L( )越小则 AL。 (∞)越小，同时，根据本文具体情况L 要大于f。 (1 m：l<1)，所以，d：。减小也有利于减小 △L3 Qo)，而 d23-d12d34d230，而 △z是d。 的变化量，即△L (∞)通过-定的数学关系和 Ax-起影响到大视场像面相对于轴上像面的位移量，从而用 △L Qo)可以在某个视场完全抵消掉 Ax的影响。

对于轴上情况来说，△ 引起的像面位移可表示为 ：AL3 (∞)-芒 f2 d -d L 9 ( 3 L 2，3 L 2- z3232) 再考虑到移动量本身 Ax，变焦核后的像面位移为 ：A6-AL3 △z . (20)根据式(19)和(20)可以得出，△z小则 △L。

小，如果 △L。 和△z移动方向相反，就可以相互补偿，从而使 △ 进-步减校通过式(18)、(19)、(20)可以得出，由于 △L (c，)的存在，在补偿组没有移动 Ax的情况下，镜头大视场的像面位移第2期 陈 琛，等：球幕投影通用型变焦鱼眼镜头设计AL。 (∞)(相对轴上像面)就已经存在了，而当补偿组需要移动 Ax时，轴上像面发生了 △ 的位移，如果 △L。 ( )和 △6能互相弥补，则使像面在某个视场保持了稳定，而-般很难做到各个视场AL。 (∞) 且符号相反，只需尽量使二者在中间某个视场，例如 0.7视场，代数和为 0，而使其他视场残留少量的像面位移量，留待后固定组完成像面稳定任务，特别注意的是 △L。 (叫)和△ 是变焦核后像面的位移量，而后面要提到的位移量△ 是后固定组后面的位移量。

对后固定组来说，补偿组位置的微量变化 Ax引起的结果像面位置变化为：A -(1-m；) Ax， (21)其中：m 是后固定组的放大率。从式(21)可以看出， 以平方关系影响 △，如果有I I<1，将使△ 大大减小，当lm I-O时，Ax的变化将不能引起像面位移，理解为当后固定组的轴上像面位置在其焦点附近时，也即入射到后固定组上光线孔径角接近 0时，Im l-0，那么 Ax引起的△ -O。

这样就使得补偿组的微量移动 Ax对后固定组的成像位置影响大大降低，同样也使得变焦核后的像面位移 △L。 (叫)-A 因后固定组的放大而大大减校为改造补偿组间隔变化轨迹曲线找到了理论依据。

上述规律不仅对补偿组轨迹的线性改造有帮助，也为后固定组焦距 的确定提供了参考，实际上，.厂4 应该非秤近并稍微大于整个镜头的光学后截距 L ，即 -厂4 ≈L ，而这样的规律和公式(17)给出的.厂4 值差别较大。I m I-0为变焦镜头的设计带来了很大的弹性”，在很多大反远比的镜头结构中都潜在着这样的弹性”。

基于上述像面稳定特性的考虑，通过合理的设计，有充分理由能将补偿组的位置补偿轨迹改造成直线，从而把决定补偿组位置的凸轮曲线改进为螺旋线。

应关系，确定满足目标像高的焦距为 厂-4.7～6.3 mm，编制多重结构数据文件，对多重结构数据文件插值处理，设置为二十重结构，d 和d。 按线性间隔插值，并通过对母结构的共轭像计算，把规化的变焦核数据转化为实际数据，得到 fz ≈100 mm，则 f3 --150 mm，取 d232 mm。则可以进行系统计算和像差优化，在优化过程中控制半视城为8o。，相对孔径控制在D/厂-1/Z，R、G、B三色波长选取 630、546和 450 nm，所有视场无渐晕，优化后得到结果见表 5和表 6，所用材料牌号都为国产光学材料牌号，所有工作折射面都为标准球面。

表 5 光学系统结构数据Tab.5 Data of optical system structureSerialnumberThicknessGlass/ram7 设计结果表6中的B、C、D即为前述的d 、d。、d。 ，B、根据表 1和 2给出的数据以及图9给出的光 c、D的变化呈现出很好的线性关系，可认定变倍学系统结构，采用等立体角形式的焦距和像高对 组间隔变化轨迹曲线和与之对应的补偿组间隔变1 2 3 1 5 2 9 艋锄 艋 胁 艋 册胁艋确 蕊艋-脏艋 ------- -- - l∞ 。 - - - B c 。 F E ；∞%” 0姗 --- -- --啦- - ～埘 0 0 0 n " 加 啷 。 。 。光学 精密工程 第21卷表 6 各个焦距段所对应的间隔尺寸Tab.6 Space value of every focal length section (mm)化轨迹曲线为直线，反映到凸轮筒上，通过适当设置工作中径 能将凸轮曲线以标准的螺旋线布置在凸轮筒的不同直径区段上，最大程度提高了加工生产、装调 和检测的工艺性 ，根据上述数据，变倍组的凸轮曲线旋转-周的导程可选择为 100mm，接触工作直径为 50 mm，补偿组的凸轮曲线旋转-周的导程为 104 mm，接触工作直径为 41mm。表 6中的E是针对不同焦距(像高)人为给出的最接近的引擎棱镜模拟厚度，F是为保证像面稳定和满足后工作距离需要而计算得到的补偿量，F的变化量和E 的变化量对应关系为：△F-(1/，z-1)AE。各个焦距段最佳像面位置由表 5所示的结构数据中的第 l9、20、21三个间隔厚度之和，即FE2.90”体现，而 FE在同种介质(空气或玻璃)中的等效厚度为恒量，则不同焦距段像面位移量由最佳聚焦后的第 21个厚度值T。 -2.90mm”的变化量决定，表 7给出了分别按照弥散斑质心规则和波前差规则聚焦后的像面位置及在不同焦距段计算得到的像面位移量，和原目标最大偏差为0.037～-0.019 mm，则对称位移量为±0.028 mm。

表7 各个焦距段像面位移量Tab.7 Displacement of image plane of each focal length(ram)图1O给出了优化后镜头在最长焦、中焦、和最短焦距处的点列图和 MTF曲线，可描述镜头的成像质量，可以确认设计结果的像质完全满足指标要求。

在设计过程中所细分的 2O个焦距段，光学相对畸变曲线几乎完全-致，以其中-条为例和目标曲线进行对比，如图 11所示，所有视雏变量偏差绝对值小于 5 9/6。图 12是根据上述设计实际生产出的镜头照片。

334 光学 精密工程 第21卷图 11 实际畸变曲线和目标畸变曲线的对比Fig.1 1 Contrast between actual distortion curve andtarget distortion curve图 l2 根据本设计生产出的镜头Fig.12 Lens by proposed design8 结 论给出了设计通用于常见主流数字投影机变焦