鱼洗：手-盆-水系统的试验与动力学特征分析

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

第33眷第5期 噪 声 与 振 动 控 制 19文章编号：1006—1355(2013)05—0019．07鱼洗：手一盆一水系统的试验与动力学特征分析姚春斌 ，宋汉文(同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092)摘 要：针对鱼洗的喷水现象，进行了较详细的动力学理论分析和实验研究。首先，对鱼洗进行了充水和无水下双耳悬挂实验模态分析，完整地得到了鱼洗的前十一阶模态频率，振型和阻尼比；其次，进行了鱼洗的手搓喷水实验，通过工况模态分析理论和算法实现，得到了喷水状态的模态参数。与实验模态分析结果的对比，得到了鱼洗喷水态的动力学特征与模态参数一致的结论；第三，进行了激振器共振实验，用激振器对盆．水系统进行固定频率的稳态激励，得到了各阶模态频率下的共振喷水现象，说明鱼洗在共振激励下可以喷水，且喷水态动力学参数也与模态参数相一致。

关键词：振动与波；鱼洗；模态分析；工况模态分析中图分类号：0322；TH213．3 文献标识码：A DOI编码：10．3969／j．issn．1006．1335．2013．05．005Fish Washbasin：Experiment of Hand-Basin-Water Systemand Analysis ofIts Dynamic CharacteristicsYA0 ChIM1一bin． SONG Hang-wen(School ofAerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University,Shanghai 200092，China)Abs~aet：A detailed kinetic—theory analysis and an experimental study of Fish Washbasin’S water spray phenomenonwere carried out．First of al，medals of the Fish Washbasin in full and empty states respectively with the two ears suspendedwere analyzed experimentally,and the first eleven natural frequencies，modes and damping ratios were obtained．Then，thehand—rub spraying experiment was done．Using the modal analysis theory and the corresponding algorithm，the modalparameters in the spraying state were obtained．In comparison of the results with those from the experimental modalanalysis，it was concluded that the dynamic characteristics an d the modal parameters of the Fish Washbasin were consistent.

Finaly,a vibrator resonance experiment was done．With the use of al exciter,continuous excitation with differentfrequencies was exerted to the basin-water system of the Fish Washbasin，and the resonant spraying phenomena wereobserved．It means that the Fish Washbasin can spray under the resonant excitation，and the dynamic parameters agree withthe modal parameters.

Key word8：vibration and wave；fish washbasin；modal analysis；operational modal analysis鱼洗(龙洗)是我国著名文物，过去是宫廷的玩物，现在被仿制供一些博物馆的观众和公园景点的游客品玩。当它的双耳被摩擦时，发出悦耳的嗡鸣，并有水珠喷起。这种十分有趣和奥妙的景象弓l起人们浓厚的兴趣。鱼洗的价值不仅在于艺术观赏性，更重要的在于它深刻的科学价值。经过大量学者的研究，其白激振动的机理为众人所知。以王大钧为收稿 日期：2012—12—13；修改日期：2013-o1．10基金项 目：国家自然科学基金重点项 目(编号：11032009)作者简介：姚春斌(1988。)，男，江苏张家港人，硕士生，目前从事模态分析研究。

E·mail：06300290020###fudan．edu．ca代表的学者们对鱼洗进行了理论和实验研究，认为其是一种由干摩擦引起 的流固耦合系统的自激振动，并得到了鱼洗的工作振型[1-8]。

1 理论分析及数值计算由于鱼洗喷水现象反应了盆的振动，因此本文主要研究盆体的振动。图1所示为鱼洗及其有限元模型。由于耳朵的存在，破坏了鱼洗的无限维对称，使鱼洗原先存在的重频模态变为近频模态。在数值计算时将鱼洗简化为质量均布的圆环，并在双耳位置附加质量，得到结果见图2(其中双耳位于90。和270。处，用横线表示)，各阶模态按照频率升序排列 。

20 鱼洗：手一盆一水系统的试验与动力学特征分析 2013年 l0月图 1鱼洗及其有限兀模型Fig．1 The fish washbasin and its finite element model这个结果与文献[1]的结果有一致性，但多了1和2这两阶模态，提高了完整性。文献[1]根据振型关于坐标轴的对称性将其分为三组，本文则分为两组：双耳为振动波峰(I)和双耳为振动节点(I)。因为双耳处于波峰比处于节点时参与振动的质量大，这也很好地解释了同组相近模态频率总是I低于I。

为规范本文各阶模态的称呼，根据图2的分组，振型关于竖直方向对称的称为正，不对称则为斜，再结合振型中振动极值点的个数，因此I中各模态依次为正2点，正4点，正6点，正8点，正10点；II中各模态依次为斜 2点，斜4点，斜 6点，斜8点，斜 10点。

19蛳 il0 em02∞O 1l0 9剐4g∞0 "1I辅 日舯根据之前的理论分析，正 n点模态频率应低于斜 n点模态(n=2，4，6?)。

2 无水、充水各状态下的实验模态分析为了和计算结果作 比较，针对鱼洗做模态实验。盆侧壁从上到下大致均匀分布7圈，每圈32个测点。各圈点序号以一边耳处为 1开始，转一圈至此耳旁为32。鱼洗模态实验根据无水、有水(3 L)分为两组，每组又根据测点位置的不同分为七小组(侧壁7圈)。在实验中采用锤击法，并将盆双耳悬挂。

每组实验的激励点都选 5(四点喷水态的波峰或节点)，9(各阶模态的波峰或节点)，16(各阶模态的波峰或节点，且位于耳朵处)，273(底面中心)四个位置。激励位置的不同对模态频率影响不大，而测量位置则影响较大，具体实验数据见表1和表2。

由于传感器本身质量不可忽略，其位置的不同对系统本身的质量分布有影响，因此在不同位置测量得到的频率会有差别，模态阶数越高，其影响越5 79 iI绷0 蛐 0蚴 点嘲 【； } ㈣‘一 舯 舯08啪 1l图 2数值计算得到的鱼洗振型Fig．2 The modal of fish washbasin by numerical calculation表 1无水状态下模态实验得到的鱼洗的各阶模态频率(Hz)Tab．1 The modal frequency of Fish Washbasin without water(Hz)99∞0 c1第33眷第5期 噪 声 与 振 动 控 制 21大。每组内部横向比较可以看出从第一圈开始，各阶频率值逐渐降低，到第四圈达到最小值，然后一直升高，第七圈达到最高。比较有水和无水的相同位置，由于水的存在对振动的质量的增加效应大于对刚度的增加，因此有水状态下频率要低于无水状态。和之前的计算结果相比，模态实验结果中没有出现正2点和斜2点这两阶模态，并且斜4点模态的频率低于正4点(这应该是由盆本身的构造决定)，另外在实验中出现了呼吸模态，且呼吸模态的频率随测点的改变几乎不变，其他结果都一致。从表中知每圈并不是所有模态都能很明显的出现(和盆壁的外展程度有关)，比较各圈结果，不管是无水还是有水，第四圈的所有模态都能出现并且振型较好，为此，把测点选为第四圈，这也是之前将鱼洗拓扑简化为环的一个理由。同时，还得到了第四圈的各阶模态阻尼比，见表3。

表 3实验模态分析得到的鱼洗各阶模态阻尼 比(％)Tab．3 The modal damping ratio of fish washbasin(％)3 手搓喷水工况下的实验研究3．1 手搓喷水实验手搓喷水实验中需将鱼洗放置于一层弹性泡沫上。实验中根据有无水分为二组(无水，3 L水)，并使用锤击法作对比。用双手搓动鱼洗耳朵，在四点喷水稳定时记录下数据(由于在此边界条件下只能搓出四点喷水，因此只做了这一组实验)。

在手搓喷水工况边界条件下得到了2点模态(具体频率不太好确定)，验证了计算结果，但从频响上看只有一个峰值，而不是理论上预计的两个接近的频率。从其他模态中可以看出，两阶近频模态间频率差随着模态振型极值点数的增大而增大，而正2点和斜2点模态的振型极值点数是最小的，因此他们之间的频率差也是最小的，得到的2点模态的频率为20 Hz左右，已经比较小了，可猜测正2点和斜2点模态几乎重频。这也解释了在正2点模态振型的峰值(斜 2点模态振型节点)提供激励(锤击)时，在20 Hz左右得到的是正2点模态；当在斜2点模态振型峰值(正2点模态振型节点)提供激励时，得到的是斜2点模态。另外由于手搓喷水工况下，双手限制了盆在双耳处的径向运动且盆底(呼吸模态响应极点)简支，因此抑制了呼吸模态的出现，所以没有在频响中看到呼吸模态。从表4可知，2点模态的阻尼比较大，高出其他模态一个数量级，所以2点模态很难出现。另外模态频率越高，其阻尼比越小，而且水的存在对阻尼比的影响较小。

在实验中使用了和采集仪配套的M+P公司的软件Smart Ofice，它有较强大的分析功能，可以方便地得到各阶振型，具体见图3。前文中图2为理论计算得到的振型，均匀且对称；而实验得到的振型大体和对应的理论振型基本吻合，这进一步说明了理论模型的正确性。但由于盆体本身存在不对称性，因此实验得到的振型能体现出了这种不对称，高阶模态尤其明显。

3．2 工况模态分析与参数辨识手搓喷水工况下，由于双手提供的激励不可测，22 鱼洗：手一盆一水系统的试验与动力学特征分析 2013年 10月图 3模态实验及手搓实验得到的各阶振型Fig．3 The modes obtained by modal testing and hand—rubbing experiments所以传统的模态分析手段无法使用，为此使用了奇异值分解的方法来解决此问题，此方法与常用的本征正交分解(POD) 是等价的。

奇异值分解(SVD)在信号处理、统计学等领域有重要应用。设 XER n0， 称为奇异值。

在振动力学中，系统的离散位移响应可以写为x(t)=[ ?， ]．[eI( )，e：( )，． ( )] (1)其 中 为 系统 自由度 ， 为第 i阶振型 ，e ( )=0 sin(o) t+0 )=[el( )，e ( )，． t )I为i阶主振动，仇为采样时段数。然后对 和ei(t)作归一化处理，记 ，- ，． ’有elIl? 0 l= l ： 。． ； lE ：cp∑ (2)1 0 ? I1．1le Il_对于质量阵为单位阵常数倍的系统，振型矩阵关于 自身正交，在归一化后有 一E=，；E为归一化后的主振动矩阵，当系统不存在重频时，由三角函数的正交性得 E=，；因此 和 E都是单位正交阵。

将(2)式和奇异值分解作比较，有= ∑ (E ) =U S ( ) (3)其中 和 (，都是单位正交阵，∑和 S都是对角阵，E和 也都是单位正交阵。将l l1．1le l降序排列调整可得到 = ∑=s， =V。对于质量阵为单位阵且没有重频的系统，对其响应作奇异值分解可以得到振型矩阵和主振动阵。由之前分析可知，通过奇异值分解得到的振型阵和主振动阵是按照奇异值降序排列的，而不是传统的以模态频率升序排列。

第33卷第5期 噪 声 与 振 动 控 制 23对于质量阵对角元素都为 b的系统的位移响应作分解，得到的位移奇异值 =I le lI-a由于 m和 b与 i无关，因此位移奇异值从一定程度上表示了对应模态主振动的振幅。文献[12】提出振动系统第 i阶模态主振动的总能量为= 咖 。

n 2 2 (4) 叼 丽
叼 表示第i阶模态占总能量的比例。如果分解的是速度响应或加速度 响应 ，则有速度奇异值J518O2l筇四主成分l5l8021第七生成分O 2 4 6Frequency(Hz~ 。

0 0．020．0l暑 0一 0．01《 ．0．O2第 圭成分第 氘主成分。

i _0 0．1 O．2 0．3Time(s)= ，加速度奇异值 = 2 ，其中速度奇异值的平方就表示对应模态的能量。

由于鱼洗系统忽略双耳质量阵可看做是单位阵的常数倍且无重频，对于本实验得到加速度响应数据(3 L水手搓)作奇异值分解可以得到其模态振型及能量分布。具体结果见图4和表5。

由于实验的自由度为32，因此理论上能得到32阶模态，但由于采样频率的限制，只能得到斜十点及之前的模态。2点模态及呼吸模态较难出现，因此只取了有明显意义的前八个主成分。图4显示了每个主成分对应的模态振型(左)、主振动(右上)和主振动的频谱(右下)。由于实际系统并不满足质量阵前邑 5星 0￡《
．50 0．1 0．2 O-3Time(s)萋i姜-
．
2
41S弓0．5OO 2 4 6Frequency(Hz~ 。

15l8O2lj518021第六主成分第八主成分8霎64一图4奇异值分解得到的前八个主成分Fig．4 The first eight principal components from singular value decomposition。

壹。一甚墨．o0 2 4 6×1OFrequency(Hz)O 0。1 0．2 0．3Time(s)×l0I JL0 2 4 6×10Frequency(Hz)一 m 州一 ， 睨伽O一 ^／ ＼4 。＼ ／吉 2
加
叭 O 川 ×8 6 4 2 n 0
^I)o Idg《 一c一一 一0 一嘲曰 习扫 汹一醯
0 《 T，1、l ． 1 O 一昙 j兰 lIl《 l_lIl一 童lolIl《 一(4一圈o 枷
第33卷第5期 噪 声 与 振 动 控 制 25提，得到的振型和主振动都有偏差，具体表现为有些主振动是多频的，但这不能忽略其有意义的部分。

如前所述，手搓喷水工况下双手的作用抑制了盆在双耳处的径向运动，从而抑制了以双耳为振动峰值点的正模态，因此斜模态的能量大都要高于正模态，SVD结果也证明了这一点，具体见表5。

4 共振激励下的实验研究首先把放有3 L水的鱼洗置于弹性泡沫上，并在泡沫下垫上铁块以调整高度，由于激振器顶杆头部可以安装磁铁吸头，所以只要在盆侧壁的激励位置贴上铁片，以此连接激振器和鱼洗。之前的实验得到了鱼洗的固有频率，在本实验中只要通过信号发生器控制激振器的输出频率使鱼洗共振，其中信号幅值由功放控制。

由于激振器的加入改变了系统，使得原本侧壁自由变为侧壁上的激励点约束，从而改变了鱼洗各阶喷水态的频率，可以和相同条件下的锤击法作对比，具体数据见表6。

表 6共振实验边界下鱼洗的各阶固有频率(Hz)Tab．6 The natural frequencies of fish washbasin withresonance experiments boundary(Hz)调节激励频率至共振系统的各阶固有频率，鱼洗就能表现出相应的喷水状态。部分共振实验下的鱼洗图及其对应的模态振型见图5。

从实验图中可以看到不对称性，使用激振器加强了不对称性，除了喷水位置的几何不对称外还有更明显的喷水强度的不对称。通过激振器共振可看到了两点喷水(由于频率较低，没有喷水现象，但水面有明显的左右周期性摇晃)和呼吸模态的现象。

通过本实验，对鱼洗的各阶模态有了更直观的认识。

5 结 语(1)实验显示鱼洗的完整模态为正n点、斜 n点(n=2，4，6?)，并附加一个呼吸模态；n越大，模态频率越高，呼吸模态的频率介于4点和 6点模态之间；而 n相同时，正模态频率低于斜模态(本文实验中的鱼洗除了斜4点模态频率低于正4点外，其他都符合)，正2点模态和斜2点模态几乎重频。其中正2点和斜2点模态的阻尼比较大，因此很难出现；(2)使用奇异值分解可以处理激励不可测的手搓喷水工况实验数据，获取模态振型和对应的主振型，其得到的模态按照能量降序排列；(3)手搓下可以喷水；利用外激励产生共振也可以喷水，而且频率相同(考虑边界条件的不同)，因此喷水态都是由模态引起，是一种纯模态振动的情况；(4)增大共振幅值可得到非线性阻尼。

参考文献：[1】刘习军，王大钧，陈予恕．中华文物龙洗有趣现象的非线性分析[J]．科学通报，1996，41(5)：413—417.

[2]严燕来，梁华翰，蒲琴娣，等．鱼洗振型浅析[J]．大学物理，1996，15(2)：41—44.

[3]赖秀金．龙洗现象的流固耦合有限元动态仿真研究[D】.

武汉：华中科技大学硕士学位论文．2004.

[4]李 悦．龙洗 固有频率的有限元计算[J]_宁夏工学院学报，1996，S1：171—174.

[5]吴志贤 ，高惠滨 ，张贵清．关于“鱼洗”振动现象的探讨[J]．物理实验，1992，12(6)：261．262.

[6】 王大均．古代文物的力学性质研究[J】．文物保护与考古科学，1993(5)：35.

[7]卢嘉锡，戴念祖．中国科学技术史：物理学卷[M]．北京：科学出版社．2001.

[8]Needham，J．Science and Civilisation in China．Vo1．IV-PaNI Physics[M]．Cambridge Univ．press．1962.

[9】G．Kerschen，J．C．Golinva1．Physical interpretation of theproper o~hogonal modes using the singular valuedecomposition[J]．Jourml of Sound and Vibration,2002249(5)，849—865.

[1 0]R．Kappagantu，B．F．Feeny．An optimal modal reductionof a system with frictional excitation[J]'Journal ofSoundandVibration, 1999．224，863—877.

[1 1]B．F．Feeny．”Interpreting proper o~hogonal modes invibrations”if]．Mode Localization and Nonlinear NormalModes，Proceedings of the 1 997 Design EngineeringTechnical Conferences， Sacramento， CA， September1997，14—17，CD-ROM .

[12】 倪振华．振动力学[M】_西安 ：西安交通大学 出版社.

1986