温度场中简谐激励斜梁的1／3次亚谐共振分析

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30 温度场中简谐激励斜梁的1／3次亚谐共振分析 2013年 10月文章编号：1006-1355(2013)05—0030-06温度场中简谐激励斜梁的1／3次亚谐共振分析李高峰(唐山学院 唐山市结构与振动工程重点实验室，河北 唐山 063000)摘 要：以温度场中简谐激励斜梁的非线性振动方程为研究对象，应用多尺度法，求得非线性振动系统 1／3次亚谐共振的一次近似解。对该解进行数值计算，分析温度、激励、几何尺寸等参数对 1／3次亚谐共振幅频响应曲线的影响。

随着初始温度和激励幅值的增加，1／3次亚谐共振的振幅和共振区增大。随着温度影响系数和长高比的增加，1／3亚谐共振的振幅和共振区减小。

关键词：振动与波；温度场；斜梁；多尺度法；1／3次亚谐中图分类号：O321；TH213_3 文献标识码：A DOI编码：10．3969／j．issn．1006—1335．2013．05．007Analysis for 1／3 Order Sub-harmonic Resonance ofan Inclined BeamSubjected to Harmonic Excitation in Temperature FieldLI Gao-~eng(Tangshan Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering，Tangshan Colege，Tangshan 063000，Heber China)Absl删 ：Nonlinear vibration equations of al inclined beam subjected to harmonic excitation in temperature field wasstudied．The first order approximate solution of the 1／3 order sub—harm onic resonance of the beam was obtained by means ofthe multi—scale method．Numerical analysis for the influence of temperature，excitation，and geometric parameters on theamplitude—frequency response curves was done．It was found that with the increasing of initial temperature and amplitude ofexcitation，the amplitude and resonant region of the 1／3 order sub—harm onic resonance increase，and with the increasing ofthe temperature influencing factor and the ratio of length to height of the beam，the amplitude and resonant region of the 1／3order sub．harm onic resonance decrease.

Key WOl'~ ：vibration and wave；temperature field；inclined beam ；the method of multiple scales；1／3 subharmonicreSn nan Ce结构元件常因温度变化而处于热胀冷缩状态，其力、温度分布不均匀所产生的热应力等动力学问题己成为工程中的重要问题。吴晓应用Galerkin原理及Melnikov函数法研究斜梁在热状态下的非线性振动分岔，分析温度、长高比、倾斜角对斜梁发生混沌运动区域的影响，讨论屈曲粘弹性Timoshenko倾斜角、剪切变形、长厚比、外阻尼与内阻尼比对屈曲粘弹性梁混沌运动区域的影响 。

收稿日期：2012—09—26；修改日期：2012—11-22项目基金：2010河北省教育厅科学研究计划(基金编号：z2010172)作者简介：李高峰(1977．)，女，河北蔚县人，硕士，目前从事非线性动力学研究。

E—mail：ligaofeng0315###163．tom贾建援基于弹性梁的几何非线性大挠度屈曲理论，得到描述倾斜梁大挠度后屈曲行为的精确解析解 。孙强应用弹性稳定理论及Galerkin原理研究了斜梁在热状态下的动力特性问题 ]。SenYungLee发展了倾斜的Timoshenko梁的自由振动的精确幂级数解法，结果表明：无论是延伸变形和科氏力都对旋转梁的固有频率有显着影响 】。Mamandi A利用模态叠加法对非线性动态响应倾斜两端固定的欧拉伯努利粱进行了研究。通过求解梁的纵向和横向面耦合的非线性偏微分控制方程得到梁的非线性响应 ]。Hueei—Muh Lin探讨了在液体中的斜梁动力特性 [83。邵文韫研究超临界速度范围内轴向运动梁横向非线性受迫振动的稳态响应 一 。范国敏利用哈密尔顿原理建立粘弹性移动梁的控制方程，通过多尺度法和Galerkin离散法得到轴向运动粘弹性梁面第33眷第5期 噪 声 与 振 动 控 制 31内1：2内振动的平均方程 。

温度的变化，特别是北方的冬夏温差在80 C。左右，有的地方甚至超过 100 Co，每天的温差大时也能达到2O～30 C。，对梁等结构元件的影响特别大。工程中考虑温度的影响具有现实的应用价值。产生 1／3次亚谐共振的原因是系统具有立方非线性。若系统具有1次方非线性，则可能产生 1／n次亚谐共振。

这种高频激励诱发低频振动的现象在工程中屡见不鲜。例如，1956年，Lefschets报道一驾飞机的螺旋浆激发机翼的1／2次共振，机翼共振又激发了尾翼的l／4次共振，以致飞机被破坏。避免上述危险是研究非线性振动的目的之一。桁架是工程中常见的结构，例如房屋的屋架，桥梁的拱架，某些起重机的机身和悬臂梁等，所以桁架结构在工程中应用广泛，其组成构件为两端铰支的斜梁或直梁。例如微波电视塔就是典型的桁架绕梁，其组成构件要经历风载荷和雨水等周期激励，温度的变化必然引起两端铰支构件的轴向力。本文以温度场中斜梁受简谐激励的非线性振动方程 为基础，研究温度场中斜梁受简谐激励的1／3次亚谐共振问题。

1 斜梁在温度场中的振动方程参阅文献 [1】得到图1所示斜梁在温度场中竖向受简谐激励作用的振动方程盯 Opg4+N +r等+pA =Fcos0c。s t(1)且Ⅳ=Ⅳ 一 一-E
2
A
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／ (ix (2)式(2)是斜梁两端的轴力，式中W为横向振动位移， 为热力， 为抗弯刚度，P为密度， 为面积，z为长度，，为阻尼系数，F为激励幅值，∞为激励频率。

图 1力学模型Fig．1 Mechanical model取 热分布 为 抛物 型㈤=TO+T1 )2l式中 为初始温度，丁 为温度变化系数。

利用上式积分可求得热力为ⅣT—EA
zas fl( =EA (7Io十 ) (4)式中OL 为热膨胀系数。将(4)式代入式(2)得到温度引起两端的轴力为Ⅳ= (To+ 一 一满足图1边界条件斜梁在温度场中竖向受简谐激励作用振动方程式(1)的解 ( ， 可设为( ) ∑ ( )sin (n=1，3，5?·) (6)取式(6)中的第一阶主振型，第阶1主振型在振动中容易出现，也是工程中比较关心的。由Galerkin原理得4
+ ／v
O Zw
+OW + 02W
— f71Fcos0c。s f)sinTn'rx =0简可得 ]+ +( o2+ 1 c0s ) + 3 ：=fcos09t(8)式中一等 ( 狲21 wpA 一 一 ， A／= 。

2 1／3亚谐共振理论分析2．1 1／3次亚谐共振的平均方程主共振是当固有频率与激励频率相接近时发生的共振，此种共振已有较多研究成果。本文研究式(8)弱非线性 1／3次亚谐共振问题，认为系统的阻尼力、非线性力与惯性力和线性力相比是小量。所以在它们前面冠以小参数 ，因为分析 1／3次亚谐共振，令 =0则式(8)变为一 ． ／ ． 一、+ = f一 一 3 ：】+fcostot (9)＼ ／本文研究的弱非线性问题，通过数值分析中参数赋值，也知道式(8)是弱非线性问题，其中阻尼项32 温度场中简谐激励斜梁的1／3次亚谐共振分析 2013年 10月和非线性是小量，因 Ot】=0式(9)中去掉 OL】COS~otq)参数共振项。

应用多尺度法? 求 1／3亚谐共振 的一次近似解只需要两个时间尺度 和 ，故设( )： o( ， 1)+8 l( 0，T1) (10)将 式(10)代 入 式(9)并利 用 导 算 子表 达 式Do=彘，D1-面0，比较 的同次幂的系数，得到一组线性偏微分方程Do 加+ 0=fcos To (11)Do, 1+ o2 1=一2D0D1 o一 0 0一 3 (12)方程(11)的解为。( ，Ta)= ( )e +Be +C (13)这里CC= f )e +Be 为共项，其A( )= e B= )研究系统的 1／3次亚谐共振，引入调谐参数 0-，由下式确定tO=3(Do+80"，or=0(1)将上式和式(14)代入式(12)得+
(156
a AB Be e CC +3 ， +3 。 式中，符号 CC表示共轭复数。这可理解为周期激励下的无阻尼系统。为了不出现永年项，上式右端不能含有 e 或e 这样的项，即要求上式右端的Fourier系数为零。

由式(15)得消除永年项的条件为A+ lxA )+6a 3AB(163a X2Be 0 ) 3， ／4+ ]=将式A( )： 伊， ( )： 代入式(16)，分离实虚部，得到下列极坐标形式的关于模态振幅a和相位角 的一次近似解的微分方程即 一 。 sin(以 卢= 。+ + (17)? s(令(0-T1一 )= ，得到1／3次亚谐共振的慢时变的幅值和相位满足的自治系统微分方程即 一 口 sin咖c 一窨 一 n 一。z吣 8相应的一次近似解为cos +f cos 99o t3B~ 口。 9a3Ba~。(20)Q=( 638a 3B212l>?2， s等 ]< ，l 一 l< (24) < ’ √‘一6 ‘’
卜I (25) l 0【凡叫2 一 1 J ?D】△一 一 口2 cosDl△ ( sin第33卷第5期 噪 声 与 振 动 控 制 33D△口：一 一 f0r一 口z一 1一 号( 9~3B21 7一 -~(O"9O13 一百9o13Bz I：。 9o13 9ot3B2j o—w 0一A j=0一 9o13 2
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(a)A (b)l(e)F8 l}6}壹4甚量2(f)h3 数值分析在下面的数值计算 中取参数：弹性模量E=2．1×10 kN／m ，密度 P=78 kN／m ，横截面面积A=0．0072 m。，长度 f：1．4 1TI，阻尼系数 r=0．000 2，热膨胀系数 =12．5×10咱／。C，高 h=0．02 m，倾斜角 0=35。，激 励 幅 值 F=200 N ，初 始 温 度丁 =20。C，温度影响系数 =20。C。由式(20)可以计算系统 l／3亚谐共振的响应曲线，分析不同参数对响应曲线的影响。

由图2(a)一(e)可知，当增大横截面面积 、长度、初始温度丁 、温度影响系数下 和激励幅值F时，可以增大系统的共振区域，同时振幅也有所减小。由图2(f)一(i)可知，当增大高h、弹性模量E*l阻尼系数，时，可以减小系统的共振区域，振幅也减小，图2(i)的振幅是上边的大值减小，下边的小值增大，完全顺着区域瘦了一圈。

图3为不同调谐值时系统1／3亚谐共振振幅一阻尼响应曲线，由图知增大调谐值 振动幅值和共振区增大。图4为不同调谐值时系统 1／3亚谐共振振幅．弹性模量响应曲线，由图知增大调谐值 振动幅值增大。图5为振幅一皮带横截面积响应曲线，由图知增大调谐值 振动幅值和共振区增大，增大皮带8 l6壹主{
20-0．286《
2(d)T01 0 01 0 2 -0 2 -0．1 0 0 1 0．2(h)E图 2幅频响应曲线Fig．2 Amplitude frequency response CalVe34 温度场中简谐激励斜梁的1／3次亚谐共振分析 2013年 l0月0．020．O1 5O．0l0．00500 2 6 8×10。

图3振幅一阻尼响应曲线Fig．3 Amplitude—damping response curveO．20．150．10．0500 3 4×1O图4振幅一弹性模量响应曲线Fig．4 Amplitude—modulus response curve0．0l60．014O．0l20．O10．0080．0060．0040．002O0．6 0．8 1 l-2 。4 1．6 1．8A ~10图 5振幅一横截面积响应曲线Fig．5 Amplitude—area response curve横截面积可以减小系统 l／3亚谐共振的振幅。

图6为振幅一激励幅值响应曲线，由图知增大调谐值 振动幅值和共振区增大，增大激励幅值可以增大。

O。02O．01 50．00．0050O 1 2 3 4 5F 100图6振幅一激励幅值响应曲线Fig．6 Amplitude—excitation response curve图7为振幅一初始温度响应 曲线，由图可知随着初始温度的增大，振幅增大，在55。C附近出现临界温度，68。C附近开始有最大值减小。当调谐值增大时，振幅增大了，但临界温度的位置没有发生明显的变化。图8为振幅一温度影响系数响应曲线，由图可知随着温度影响系数的增大，振幅增大，在80。C附近断开，90。C附近开始有最大值减小。当调谐值 r，增大时，振幅增大了，但临界温度的位置没有发生明显的变化。现实情况一般不可能达到90。C的高温，但随着各个参数的联动变化，此温度值很可能变化，所以危险的温度值可能出现在低温区域。如图9和图10所示，f=1．5与 l=1．4振幅随温度的变化曲线，随着杆长的增长临界温度的位置发生了明显的偏移，如图9中，初始温度的临界值偏移到38。C至50。C，如图l0中，温度影响系数临界值偏移到50。C至58。C，均有明显的变化，越来越接近常温，这是非常危险的，在设计的时候应避免。

图7振幅一初始温度响应曲线Fig．7 Amplitude—initial temperature response curve∞ 叭 O) C ) ( ) ( O O 0 第33卷第5期 噪 声 与 振 动 控 制 35O．O50．04名 0．03O．02《0．01O0 20 40 60 80 l00 120r图8振幅一温度影响系数响应 曲线Fig．8 Amplitude—temperature coeficient response clrve0．O30．025O．O20 它 塞 o．0150．010．00500 20 40 60 80 1oo 120图9振幅一初始温度响应曲线(1)Fig．9 Amplitude—initial temperature response curve(1)O．O50．04之 0．03} 0．02《0．Ol00 20 40 60 80 100 l20图 l0振幅一温度影响系数响应曲线(1)Fig．1 0 Amplitude—temperature coeficient response curve(1)4 结 语当增大横截面面积 、初始温度、温度影响系数和激励幅值F时，可以增大系统的共振区域，同时振幅也有所减小。当增大高h、弹性模量 E和阻尼系数，时，可以减小系统的共振区域。图7—10表明温度增大到一定值，临界温度出现，随着杆长等参数的变化，临界温度出现的值越来越接近常温，这是非常危险的，应该在设计时避免。

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