二维压电材料动强度因子的扩展有限元计算

Dynamic intensity factor computation for two-dimensionalpiezoelectric media using an extended finite element methodL/U Peng，YU Tian-tang(College of Mechanics and Materials，Rivers＆Oceans University，Na###ng 210098，China)Abstract： An extended finite element method was applied to solve dynamic fracture problems in 2D elasticpiezoelectric solids.The method allowed representation of a crack independent on meshes，SO mesh generation could begreatly simplifed and re-meshing could be avoided as the crack grew.The dynamic intensity factors(DIFs)werecomputed using the contour interaction integral technique. The influences of standard mechanical crack tip enrichmentfunctions and electro-mechanical crack tip enrichment functions on the DIFs were compared.It was shown that usingstandard mechanical crack tip enrichment functions is eficient to analyze the dynamic fracture problems in piezoelectricsolids.The influence of poling directions on the DIFs was investigated.The DIFs obtained with the proposed method werecompared with those using the other numerical methods，and remarkable agreements were observed。

Key words：extended finite element method；piezoelectric materials；dynamic fracture mechanics；dynamic intensityfactors；interaction integral technique压电材料具有机电耦合性质，因此广泛应用于先进的智能结构设计中，如传感器、致动器等。压电材料通常都是脆性材料，在制造或机 -电载荷作用下容易产生裂纹，从而影响压电材料元件的正常工作或导致破坏。因此，压电材料的断裂分析显得非常重要。实际应用中，压电元件和结构经常处在动电或(和)动力荷载，所以了解压电材料动态断裂行为有着十分重要的意义。-些学者在理论上分析了受动机 -电载荷压电材料动态效应 J。对于-般几何形状和加载条件的动断裂问题，解析方法-般不可行，这样就需要采用数值分析。几种数值方法已用于求解压电材料的动断裂问题，比如有限元 J，边界元 和无单元法 。

基金项目：国家自然科学基金项 目(51179063，11132003)收稿 日期：2012-05-21 修改稿收到日期 ：2012-08-13第-作者 刘 鹏 男，硕士生，1988年生通讯作者 余天堂 男，教授，1971年生由于处理材料非均质性、非线性和边界条件的灵活性，有限元是目前工程上应用最广的数值方法。然而，有限元分析裂纹问题时将裂纹面设置为单元的边，裂尖设置为单元的结点，裂尖附近网格尺寸必须非常小，且模拟裂纹扩展时需要网格重构。为了消除这些弊端，Belytschko等 。。 提 出 了 扩展 有 限元 法(extended finite element method-XFEM)。XFEM的基本原理是基于单位分解的思想在常规有限元位移模式中加进-些特殊的函数，从而反映不连续体的存在。

XFEM的计算网格和结构内部的几何或物理界面无关，模拟裂纹扩展时无需重构计算网格。十多年中，很多学者在改进或运用 XFEM模拟任意不连续问题方面做了大量的研究工作，包括动断裂力学问题 H J。最近，-些学者采用 XFEM 分 析了压 电材料 静断裂问题 。

动强度因子(动应力强度因子(DSIFs)和动电位移强度因子(DEDIFs))是评估动载下开裂压电材料强度第 l3期 刘 鹏等：二维压电材料动强度因子的扩展有限元计算 77和可靠性的重要断裂参数。本文采用 XFEM计算二维弹性压电材料动强度因子。算例分析表明基于标准的力裂尖加强函数 XFEM能有效地分析压电材料动断裂问题。

1 基本方程小变形和动载下，压 电介质控制方程和边界条件为：J-p 6i0， DJ-∞ 0 (1)(7- c 池sk-e，ijE ， D eiks6b E (2)1 -( √ ， )， E - ， (3)盯 n t ， on S (4) ， on S (5)D nj.- s， on SD (6) ， on S (7)其中： 、E 和 D 分别为应力、应变、电场强度和电位移张量；C批、 和 e 分别为材料的弹性常数、介电常数和压电常数张量； 为位移， 为电势；p为材料的密度，b 和09 分别为体力和体电荷；t 、 、u 和 分别为边界 5(SS S ：S。s )上给定面力、给定面电荷、给定位移和给定电势，凡为边界 s上的单位法线矢量。

对于平面问题，本构关系(2)可缩减为如下矩阵形式：yrxyD1CI C13Cl3 C33O 00 00 OO 0- e15e15 l1D2J L。3l e13 0 0 33y2E1E2(8)假定裂纹面无面力和为不可渗电边界，即f凡，0， Dfnj0， on S (4)2 扩展有限元法对-含裂纹体，扩展有限元的位移逼近形式可表示为[12]：lf ( )∑ ( )· ∑ ( )·/-(x)· E JE L4∑∑Nk(x)·F ( )·b (10)其中： ( )为常规有限元形函数，ui、。 和 6妇分别为结点位移向量的连续部分和结点加强变量；，为离散结构中所有结点的集合；L为支集完全被裂纹切割的结点集，用-个修改的 Heaviside阶跃函数 H( )加强，位于裂纹上方取值为 1，位于裂纹下方取 -1；K为支集含裂尖的结点集，围绕裂尖半径为 R的圆内的结点集 ，RTent ，A为裂尖单元的面积，r 为常数。

对各向同性弹性体，裂尖分支函数 F ( )(OL1，，4)定义为：[ ( )] in导 。s 0 in导sin 。s号sin(11)式中：r，0分别为裂尖局部极坐标。

同样的加强模式用于建立电势逼近空间，即：( )∑J7、， ( )· 。 ∑ⅣJ( )·H( )· ∑∑Nk(x)·， ( )·6点 (12)根据扩展有限元逼近可知，对于平面问题，不加强的结点有 3个 自由度，即( 。 ： )；日( )加强的结点有 6个 自由度；F ( )加强的结点有 15个自由度。

文献[15]根据压电材料裂尖渐进场提出了力 -电裂尖加强函数，即：[F。( )][√ (0) √ (0) √ (0)√ (0) (0) √ (0)] (13)其中具体的复加强函数 (i1，，6)见文献[15]。

将式(10)和式(12)代人平衡方程的弱形式(见文献[7])就可得到离散的平衡方程：i F (14)其中： 为结点未知量， 、K和F分别为广义的整体质量矩阵、劲度矩阵和结点荷载列阵； [ ：]， )，F ) [u 口 b] ， [ el， 6 ]单元对 的贡献可表示为：m m m ]m l，l m J，l l (15)Lm J，l ba J，l j其中：J，l J力p( ) d (16)J，l p (Ⅳ ) d (17)，，l bb p(F ) (Ⅳ ) ⅣJd(O1.1，，4) (18)m ij JnJD日(Ⅳ ) Id (19)J，l ub pF (Ⅳ ) Id(OL1，，4) (20)J，l ab LpHF (Ⅳ ) ⅣJd(OL1， ，4) (21)78 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷 ub]k a/纠 fao(B)rDB dr2(r，s ，。，6) 0 0]B l剧 删 0(Ni )。

选择两个独立的平衡状态，状态 1( ，占 ，(22) M ，D ，E )为真实状态，状态 2( ， ，u ，D ，E 。)为辅助状态～两个平衡态线性叠加可得第三个平衡态，由第三个平衡态的.，积分可得状态 1、2的互作用积分为：式(23)中的D为厂义弹性矩阵，可由式(8)得到。

单元对F～ 的贡献可表示为：Fm e [ ] (28)k tdF bdg2 (29)J观Ⅳ HtdF Ⅳ HbdY2 (30) Nf tdFfaNF bdO(O/1，，4) (31)采用类似的方法计算结点电荷列阵 F 。。

若采用力 -电裂尖加强函数，则式(18)、(20)、(21)、(27)和(31)中的 1，，6。

3 动强度因子计算动载下，压电材料断裂 问题与路径无关的 .，积分为：J JA(o ，·-1j)qdh-fA(Pu )qdA (32)其中：W： 为应变能密度；g为权函数，在积分区域 内的结点处 q1，在积分区域 4外的结点处，(1卫 f ( (2) ul： ” (2- W卫 61 ，dA 。 u (2 g (33)W ÷( s ”- ～ )。

， ， K K7 Y1l K y2K K 3(K K K )Yl2(K(utK K )Y 3(KI”K )y23 (34)，(1 K(I1 2K Y12K 3 (35) ' K(I yl2K Yl1K Yl3 (36)， 'Ⅳ K1 y23K ，l3K y]3 (37)茎蠢 )[萋 ≥ 萋 ](萎 i) c38、 、/L ， / /L 第 13期 刘 鹏等：二维压电材料动强度因子的扩展有限元计算 79种数值方法的结果吻合得很好，验证了XFEM的精度。

5仓仓 ； 合仓 ，；(a)几何形状和荷载 (b)扩展有限元网格图 1 受冲击荷载的中心裂纹压电板Fig.1 A center crack in a piezoelectricplate subjected to an impact loading00 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 30 3 5 40t.cL/h(a)归-化I型动应力强度因子00 05 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 35 4Ot.cLlh(b)归-化动电位移强度因子4 54O353O2 50霍 1墨O50 051 0 1 5图3比较了力裂尖加强函数(4个分支函数)与力- 电裂尖加强函数(6个分支函数)的结果，两种加强函数获得的动强度因子差别不大，由于没有解析解，无法判别哪个更精确。该结论与压电材料静断裂问题的结论-致 。这表明力裂尖加强函数也能有效地分析压电材料动断裂问题。

可知：动应力强度因子的变化存在两个时间段，最初随着极化角变大，动应力强度因子变大，然后随着极化角变大，动应力强度因子变小；动电位移强度因子随极化角变大始终变小，且极化角为9O。的动电位移强度因子几乎为0。

算例2 复合型裂纹图5为-边斜裂纹压电板，板的几何尺寸为：2w32 mm，2h44 mm，a22.63 mm，c6 mE。受到单向冲击拉力 ( ) 。 ( )和电载DAk3/e3o-( )。Ne-wmark积分时间步长为 At0.15a/c 。为了便于比较，本题还采用六结点三角形单元有限元进行了分析，裂尖处使用奇异单元。计算网格见图6，蓝色线为裂纹。

00 02 O4 O6 0 8 1 0 1 2 1 4 1 8 1 8 2 0 2 2 24 26 2 8t.CL/h(a)归-化I型动应力强度因子00 0 2 04 08 08 1 0 2 4 '8 1 8 20 22 24 28 2 8t.CLIh(b)归-化动电位移强度因子、 二 曼 与 边界元钴果的比 c。 ： izedFig·2 C0mp s0n of山e n0nnazed dynami。 dv ic in：nsitv fact。rs f0r diferentintensity factors with the BEM results crack.tip enrichment functions4 54O3 53O2 5g2O营O 50O5'O00 05 1 0 1 5 2 0 25 3O 3 5 4Ot气，h(a)归-化I型动应力强度因子OO 05 1 0 1 5 20 25 30 3 5 4Ot，CL/h(b)归-化动电位移强度因子图4 不同极化方向归-化动强度因子Fig.4 Normalized dynamic intensityfactors for diferent poling directions图7给出了两种数值方法计算的动强度因子，两 数的XFEM能有效地分析压电材料动断裂问题。

者吻合得非常好。该算例再次表明基于力裂尖加强函 伸 )D≥0 他 们 们曼。，1)1 ≮[日 们 舶墨振 动 与 冲 击 2013年第32卷图5 受冲击荷载的斜裂纹压电板I，cm(a)扩展有限元网格 (b)有限元网格图6 计算网格Fig.6 Computational mesht c/h tem(a) 归-化 I型动应力强度因子 (b) 归-化 I型动应力强度因子 (b) 归-化动电位移强度因子图7 归-化动强度因子与有限元结果的比较Fig.7 Comparison of the normalized dynamic intensity factors with the FEM results5 结 论(1)基于扩展有限元，建立了分析压电材料动断裂问题的数值模拟方法。

(2)标准的力裂尖加强函数能有效地分析压电材料动断裂问题，不必采用复杂的力 -电裂尖加强函数。

(3)动电位移强度因子随极化角变大始终变小；极化方向对动应力强度因子的影响比较复杂。

(4)扩展有限元获得的动强度因子与边界元和有限元解吻合得很好，但扩展有限元的计算网格独立于裂纹，不需要设置奇异单元，且使用较粗的网格就能获得较高的精度，因此扩展有限元更适合分析断裂问题。

本文成果表明扩展有限元能有效地计算压电材料动强度因子，为下-步模拟动载荷下压电材料裂纹扩展提供了理论依据。