参数变化对简支斜板屈曲承载力的影响规律

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参数变化对简支斜板屈曲承载力的影响规律木付为刚 程文明 濮德璋 郑严(西南交通大学 机械工程研究所，四川 成都 610031)摘 要：针对斜向肋箱梁结构中的局部屈曲失稳问题，推导斜坐标系下简支边的弯矩计算公式、纵向面内栽荷作用下斜板的屈曲平衡微分方程，将调和微分求积法和边界融入法相结合，给出调和边界融入微分求积法求解简支斜板局部稳定性的具体方法.最后以单向轴压或剪应力作用下的简支斜板为例，研究载荷变化系数、斜板边长比、倾角与屈曲临界载荷之间的关系.结果表明：单向轴压作用下简支斜板屈曲临界载荷随载荷变化系数的增大而增大，随倾角的增大而减小，随边长比的增大先增大后减小再增大；剪应力作用下简支斜板屈曲临界载荷随边长比的增大而增大，随倾角的增大先减畜增大。

关键词：箱梁；简支斜板；边界融入法；调和微分求积法；屈曲临界载荷中图分类号：TH213.5 doi：10.3969/i.issn.1000-565X.2013.03.016为减轻起重机箱梁结构 自重，以树叶叶脉为仿生对象，提出了起重机叶脉斜向肋箱梁结构.起重机箱梁结构通常承受较大的外界压力，斜板的局部失稳容易引起结构整体性破坏.箱梁中的局部斜板可视为简支斜板，因此，针对简支斜板屈曲承载能力的研究对于起重机箱梁结构轻量化设计至关重要。

以往关于弹性板屈曲分析主要采用有限样条法、伽辽金法、里兹能量法等.Lotfi等 运用等参样条有限条法研究了楔形板的屈曲问题.陈炎等 利用双重 Fourier级数展开和 Galerkin方法获得单向轴压和简支边界条件下压电矩形卞后屈曲问题的解析解.Ganapathi等 运用有限元法分析了四边简支功能梯度斜板沿厚度方向(非)线性温度变化的热屈曲行为.Xiang等 运用里兹能量法分析了四边固支和悬臂等边界条件下，受剪应力作用斜板屈曲临界载荷无量纲值(以下简称屈曲临界载荷)的影响参数，但没有考虑四边简支斜板屈曲临界应力的影响因素，且参数选取范围有限。

微分求积法因具有高精度、高准确性等特点，被用于弹性卞结构力学分析中 。.Wang等 。采用边界融入法(Build-in Method) 给出了线性非均布载荷作用下，矩形板屈曲临界载荷分析的微分求积法.阮苗等 运用斜(直)坐标系问的转换关系，建立斜坐标下功能梯度斜板的屈曲微分方程，并采用- 般微分求积法，求解单向均布轴压作用下四边固支斜板的屈曲I临界载荷.在斜(直)坐标系问，固支边界条件表达式相同；简支边界条件表达式却不同，且其不能由斜(直)坐标系问的转换关系得到。

以往针对斜板的屈曲承载力研究以介绍数值分析方法为主，未系统、全面地进行变参数研究.文中将在横向集中载荷作用下斜板弯曲控制微分方程。

的基础上，给出斜坐标系下简支边应满足的数学关系式、纵向载荷作用下斜板屈曲控制微分方程，同时将调和微分求积法和边界融人法结合起来(以下简称调和边界融人微分求积法)，求解简支斜板屈曲临界载荷；并以受单向轴压或剪应力作用的简支斜收稿 日期 ：2012-08-22基金项目：国家 自然科学基金资助项 目(5l175442)；西南交通大学中央高校基本科研业务费专项资金资助项 目(2010ZT03)作者简介：付为刚(1984-)，男，博士生，主要从事结构稳定性优化、结构轻量化设计研究.E-mail：jiaodafwg###126.COIn第3期 付为刚 等：参数变化对简支斜板屈曲承载力的影响规律板为例，研究线性非均布载荷变化系数、斜板边长比和倾角同屈曲承载力间的耦合作用规律，为斜向肋在仿生箱梁结构中间距和倾角的确定提供指导。

1 调和边界融入微分求积法- 般微分求积法中的插值多项式由X -Xk组成，现将由Xi- 组成的插值多项式变化为关于 sin(x - )的插值多项式，-阶权系数计算公式为 詈H sin詈(五-Xk) 叶k1. k≠i兀 sin詈( -Xk) 1. ≠f 叶cos ( ) 蕊. ≠l二阶权系数由式 ∑4 A 确定.采用Build-in Method将边界条件上包含的-阶导数项厂与I厂 作为自由度直接融人到各阶权系数计算中后，令f ， ，， - ， ，/ ，/ ， 、 、A 和分别表示自由度直接融人后的-、二、三和四阶权系数.各阶权系数的计算式如下：A f吾 ： 2 1 ，n2；A f言 ：i ，，12，1. 。 。，n2；： f'l -(1 厂 ∑∑ ll 2/l2∑ 。 ，i1，n ；f ln2 n2∑4 u ∑ ，i2，3，，凡-1l1 f1n n 4-2 H2/ ∑ ∑砰 ∑4 。 ；kl Zl l1n n2 2f"i∑ ∑ u ∑ k1 1l fl2 简支斜板屈曲控制微分方程2.1 斜坐标系下的几何方程下面研究板在发生变形时，中平面内任意-点D的位移与该点应变的关系.斜坐标系下正应变与剪应变的关系如图 1所示.xOy为倾角为 Ot的斜坐标系， 为垂直于中平面(即板厚度方向)的坐标轴.将板的中平面连同坐标面 xOy取出，其上任-点 D(x、Y)变形后，其位移矢量在坐标轴x，y方向的两个分量为 u(x、Y)、v(x、Y)。

图 1 斜坐标系下正应变与剪应变关系Fig.1 Relation between normal and shear strain in obliquecoordinate system l0令cCOSO，ssina，由图 1知，斜坐标系下角度为Ot的两斜边变形前后正应变和剪应变分别为Ou Ovn c：c (1) sOv x S根据卞小挠度弯曲理论中的假定，卞上任意点的位移 U和 与卞中面上挠度 W间的关系为式(2)中 是位移 U和 所在平面与板中面间的距离，取中面以下为正，联立式(1)与(2)，则得斜坐标下弹性卞的挠度与变形关系：02Wsn - zdyy - 驯 - 2.2 斜坐标系下的物理方程xOy为斜坐标系，D 轴(O)，轴)方向的扭矩垂直于 D 轴 (Oy轴)，因此，需要垂直于 D 轴 (- -3 ] J C -； 110 华 南 理 工 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) 第4l卷轴)作辅助轴 (71)，辅助斜坐标系如图2所示.倾角为 的平行四边形斜板 DEGF各边应力分布如图 3所示.斜板DEGF中左边与下边的应力系统如图4所示.平行四边形 DEGF中右边与上边的应力系统如图5所示.针对图4、5中的应力系统进行受力平衡分析得各应力的计算公式如下：砖 [ -÷c r十r ]菇 s 《 s or 《聊 [ -÷c rr ] c4or " s y s20ry l O'x q-O'y) 14-C2(r )l各应力符号所表示的物理意义见文献[10]。

斜坐标下卞弹性变形与应力间的关系为H - q： - (5) 百 诺y (r蜘r蟮)图 2 辅助斜坐标系Fig.2 Auxiliary oblique coordinate system图3 斜板 DEGF各边应力分布Fig.3 Stress distribution in each edge for the skew plate DEGF图4 左边与下边的应力系统Fig.4 Stress system for the left and below edges图 5 右边与 上边的应力系统Fig.5 Stress system for the fight and above edges2.3 斜坐标系下的力学方程令DEh /[12(1-v )]，其中 E为材料弹性模量，h为弹性卞厚度， 为材料泊松比.将式(4)代入式(5)，将 、 和 沿板厚方向作积分，得到斜板弯矩( 砖和M )、扭矩( 和 Tx )与挠度间的关系为 0212)-0 2w/2 4-Ids2)4-2c 02W](C2 20 21d)- 02W ]㈩ 02W 0 2-(1c2-ldS2) 02，ld )斜坐标系下长、宽分别为 、dy的平行四边形微元体上，作用纵向载荷 Ⅳ 、Ⅳ 和 ，、， 如图6所示。

由图6可见，在纵向载荷 ～ 、Ⅳ 和 Ⅳ 的作用下，微元体上会产生 轴方向的剪力 Q 和 Q ，微元体上各边会产生弯矩 《、 和扭矩 、 .图6中所有力在 D 、Dy和 轴上进行投影求和，根据静力平衡条件∑F 0得：第3期 付为刚 等：参数变化对简支斜板屈曲承载力的影响规律图 6 纵向载荷作用下微元体的受力平衡Fig.6 Load-carying equilibrium for the micro-body in theplate subjected to the in·plane loadOx Oy -l Ox2 血OxOy Oy J ONy)Ow ONyONxy)o]f71 ：0-ON-y -O%-y： 0根据力矩平衡条件∑Me0，∑M 0得：椅 瓦 L 甲 7F、佃 网 分 别 斓 Y利 儆 分 - 仄 ，利用式(7)消去 Q 和 Q ，并注意 - ，则得：警2 - 3x峨 o；5-y ～积妙。av l” 。 警(9)将式(6)代入式(9)，得到斜板的屈曲微分方程：0411 04W)(2 甜-Nx 0 21)-2 02W- 02W(10)2.4 调和边界融入微分求积法计算格式斜板在 X轴向的长度为 a，在 Y轴向的长度为b，在区问0≤X≤a和 0≤Y≤b上，均取 凡个节点采用切比雪夫(Chebyshev)极值点划分节点 ，可以保证插值余项误差较小，按式(1 1)划分网格节点。

) cos( )7c - )] ，0≤ f11)ly( )b[1-cos(j-1)丌/(n-1)]/2，0≤ ≤n边界上各点构成矩阵为日 ，[(加 ) (W ) (W ) (W ) ]。

简支边界上各点弯矩为0，应满足下式：( ) ：了D-窆4 )窆 ∑∑/4b：-”1)Wkj- oC VS22c W(12)( ) [- (C2IJS2)4 -毫 2c∑∑A ”Aj(kI w 0Z1 k1采用边界自由度融人法，将简支边界上各点的- 阶导数作为自由度，边界上各 自由度构成矩阵为H [( ) ，( ) ，( ) ，( ) ]。

当斜板倾角 O/90。时，线性非均布载荷变化系数 y0表示受均布压应力作用；0< ≤1表示仅受压应力作用；l< ≤2表示受拉(压)应力的混合作用，且以压应力为主； ：2表示纯弯曲作用.单向轴压和剪应力作用下中间点 H [W (i2，3，，凡-1； 2，3，，凡-1)上屈曲微分方程对应的微分求积法计算格式为：n r n n nl∑A (24c )∑∑4 -4c(∑∑ ∑∑A ) 、f1 k1 f1 kl ，∑ W A '41)。( ) ( ) 。( ) A ( ) l-No( - 詈)耋2 ∑∑A W (13)0 0 Q Q - - - f -a - a -1 l2 华 南 理 工 大 学 学 报 (自然 科 学 版) 第 4l卷联立式(12)、(13)，得到斜板屈曲控制方程的调和边界融入微分求积法矩阵：KI1 K'B I O'1 悯 ，式(14)中消去与边界点HB[HB，，HB IT相关的4n行，得关于中间点日.的12-2阶方阵 边界条件自由度与内部节点自由度间的转换矩阵T-(KB ) ，矩阵(P 。 P 。) (KI。T )的特征值与纵向载荷或 的乘积为斜板屈曲临界载荷。

3 算例3.1 精确性验证以两对边受线性非均布轴压(0≤ ≤2)或剪应力作用下四边简支斜板为例，研究边长比(rb/a)1/2≤r≤2、倾角 30。≤Ot≤90。时，简支斜板屈曲临界载荷的耦合作用规律.文中方法求得的数值解同以往结果对比分析如表 1和 2所示.由表 1可见，对于1/4≤r≤1的剪应力作用下的矩形板，文中方法求得的数值解相对于文献[1]的数值解误差较小.由表2可见，对于边长比r1的均布轴压作用下的斜板，文中方法求得的数值解相对于文献[14]的数值解误差同样较小.通过对比研究表明，调和边界融入微分求积法在斜板屈曲分析中精度高、稳定性好。

表 1 剪应力作用下矩形板数值解对比plates under the shear force数值解 数值解1/ r l/ ，文献[1]文献[15] 本文 文献[1]文献[15] 本文1.0 9.2l 9.32 9.32 2.O 6.55 6.57 6.551.2 7.93 8.04 7.98 3.O 5.84 5.8O 5.841.5 7.O5 7.O8 7.07 4.0 5.63 5.53 5.641.8 6.69 6.70 6.69表 2 边长比 r1时均布轴压作用下数值解对比Table 2 Comparison of numerical solutions for skew plates un-der uniform pressure as the aspect ratio of 13.2 单向轴压作用下载荷变化系数、斜板边长比及倾角对简支斜板屈曲临界载荷的影响斜板在线性非均布载荷作用下，当载荷变化系数增大时，轴压中压应力比例减小，屈曲失稳模态在加载边方向分布长度减小.载荷变化系数对简支斜板屈曲临界载荷的影响如图7所示。

由图7可见，不同边长比或倾角下，屈曲临界载荷随载荷变化系数的增大而增大，卞由平面状态到曲面状态，轴压做功克服卞应变势能所需能量增大，且增长趋势逐步变大.通过绘制模态变形图发现，当边长比r1、倾角Ot75。时，随着载荷变化系数的增大，屈曲失稳最大挠度值由0.3045m( 0)逐步变为0.4064m(y2)，失稳模态始终保持为 1阶，失稳模态中心由斜板中心( 0)逐步向受压区域转移，挠度值由单-负值变为正负值相间，有形成2阶模态的趋势。

迥删坦 盥钽 嗵j型累咖超呔坦唾载荷变化系数(a)不同边长比U l/4 l/2 3/4 l 5/4 3/2 7/4 2载荷变化系数(b)不同倾角图7 单向轴压作用下载荷变化系数对斜板屈 曲临界载荷的影响Fig.7 Impact of the load-varying coefficient Of the criticalbuckling load for skew plates under uniaxial pressure∞ 如 加第3期 付为刚 等：参数变化对简支斜板屈曲承载力的影响规律简支斜板在单向轴压作用下，边长比变化对屈曲临界载荷的影响如图8所示。

迥爵删堰磐鲁唾迥爵嬗舔酞婆鲁 唾2220l/2 5/8 3/4 7/8 1 5/4 3/2 7/4 2斜板边长比( d1不同载荷变化系数861斜板边长 比(b)不同倾角图 8 单向轴压作用下斜板边长比对屈曲临界载荷的影响Fig.8 Impact of the aspect ratio on the critical bucklingload for skew plates under uniaxial pressure由图8可见，不同载荷变化系数或倾角下，屈曲临界载荷均随边长比的增大而先增大后减小再增大，卞由平面状态到曲面状态，轴压做功克服卞应变势能所需能量依次增大、减孝增大.通过绘制模态变形图发现，当载荷变化系数 1、OL：90。时，随着边长比的增大，屈曲失稳最大挠度值由0.2793 m( 0)逐步增加到 0.3180m( 2)，失稳模态由2阶转化为 1阶。

简支斜板在单向轴压作用下，倾角变化对屈曲临界载荷的影响如图9所示。

由图9可见 ，不同载荷变化系数或边长比下，屈曲临界载荷随倾角的增大而减小，卞由平面状态到曲面状态，轴压做功克服卞应变势能所需能量减小.通过绘制模态变形图发现，当载荷变化系数 0、边长比r1时，随着倾角的增大，屈曲失稳最大挠度值先增加后减小，失稳模态由2阶变为 l阶，2阶和1阶失稳模态长轴分别位于斜板长(短)对角线方向。

j型醑删挺雹唾迥咖延酞鲁哩30 4O 50 6O 7O 80 90斜板倾角/(。)(a)不同载荷变化系数I型逛磐司嗵斜板边长比图10 剪应力作用下斜板边长比对屈曲临界载荷的影响Fig.10 hnpact of the aspect ratio on the critical bucklingload for skew plates under shear force∞ 舳 ∞ ∞ 加 ∞ ∞ ∞ ∞ 0∞勰 加堪 m 4跚 印 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 加 勰 加 m 4114 华 南 理 工 大 学 学 报 (自然 科 学 版) 第 4l卷Ot90。时，随着边长比的增大，屈曲失稳最大挠度值先减畜增大，失稳模态始终保持为 1阶，失稳模态长轴由斜板短对角线方向过渡到长对角线方向。

剪应力作用下斜板倾角变化对简支斜板屈曲临界载荷的影响如图 11所示。

邋爵咖辖雹哩3U 40 5U 60 70 80 90斜板倾角/(。)图 11 剪应力作用下斜板倾角对屈曲临界载荷的影响Fig.1 1 Impact of skew angles on the critical buckling loadfor skew plates under shear force由图 11可见，不同边长比下屈曲临界载荷随倾角的增大先减畜增大，卞由平面状态到曲面状态，剪应力做功克服卞应变势能所需能量先减小后增大.通过绘制模态变形图发现，当边长比 r1时，随着倾角的增大，屈曲失稳最大挠度值先增加后减小，失稳模态由2阶转化为 1阶，2阶失稳模态长轴分布在斜板长对角线方向，随着角度增大，1阶失稳模态长轴由斜板短对角线方 向过渡到长对角线方向。

4 结语文中将调和微分求积法和边界融入法结合起来，给出调和边界融人微分求积法求解简支斜板局部稳定性的具体方法.与其他数值解对比分析表明，采用调和边界融入微分求积法求解简支斜板局部稳定性，数值解精度高、稳定性好。

系统研究了线性非均布载荷变化系数、斜板边长比和倾角同斜板屈曲承载力问的耦合作用规律。

在进行仿生箱梁结构加劲肋布置设计时，根据箱梁结构参数，确定结构局部失稳的主要受载因素是轴向压应力还是剪应力，结合主要受载因素作用下斜板屈曲承载力的变化规律，对加劲肋进行间距和倾角的仿生布置设计，如梁高(或梁宽)很大而腹板(或翼缘板)较薄时，轴向压应力较为重要。