悬索桥主缆架设过程驰振性能时域分析

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Time-Domain Analysis of Galoping of Main Cablesof Suspension Bridge during Erection ProcessL/Yongle， Y1 Renyan， WANG Dongxu， L1AO Haili(School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)Abstract：In order to analyze the galloping instabilities of main cables，the quasi-steady aerodynamicforce formula was derived in a body axial coordinate system to avoid the coordinate transform ation ofaerodynamic coefficients in a wind axial coordinate system in the existing galloping analysis methods。

As a result，a more concise galoping criterion expression was obtained.A simplifed finite elementmodel for main cables of a suspension bridge was established to analyze the structural dynamiccharacteristics.And aerodynamic coeficient curves of main cables with diferent cross-sectional shapesduring construction were obtained by the CFD(computational fluid dynamics)method.Finaly，basedon the time-domain analysis method，a single-degree-of-freedom model for galloping and a three-degree-of-freedom model for galloping were respectively used to simulate the windinduced galloping ofmain cables.The research results show that the galloping critical wind velocity obtained by the single-degree-of-freedom model for galloping is good consistent with the theoretical result，and the three-degree-of-freedom model for galloping can reflect the real galloping perform ance of main cables muchbetter。

Key words：suspension bridge；main cable；construction stage；galloping；time-domain悬索桥是目前大跨度桥梁的主要桥型之-，特别是当跨度超过 1 200 m以后，其优越性更为突出.随着桥梁跨度的增大，抗风问题常成为悬索桥设计和施工的控制因素.主缆施工是大跨度悬索桥建设过程中的重要环节.主缆-般由几十股索构成，每股索由上 100根高强钢丝组成，主缆截面的收稿日期：2012-10-09基金项目：国家科技支撑计划资助项 目(2012BAG05B02)；四川受出青年学科带头人计划资助项目(2009 15-406)作者简介：李永乐(1972-)，男，教授，博士，博士生导师，主要研究方向为大跨度桥梁风致振动及车桥耦合振动等，电话：028。

87601119，E-mail：lele###swjtu.edu.(31'22 西 南 交 通 大 学 学 报 第48卷形状随着架设进度而变化.架设过程中，主缆截面不规则，其气动绕流特性复杂，易出现风致振动.西堠门大桥主缆架设过程中观测到了主缆的风致振动现象，但其机理尚不清楚。

驰振是-种在风荷载作用下结构发生横风向振动的现象，在许多细长型结构中均有发现，如结冰状态下的输电线、高层建筑、钢桥以及桥塔等。

1935年，美国学者 Den Hartog针对这种振动现象进行理论分析，提出了著名的 Den Hartog判定公式 引.这些理论研究中假定结构为单自由度，认为驰振主要是由升力系数曲线负斜率引起的.后来，Nigol提出了扭转驰振的机理 引；YU指出结构物仅仅发生单自由度振动的可能性很小，实际风致振动应该同时包含水平、竖直和扭转3个自由度 。

还有-些学者提出了阵风诱发等假说.国内部分学者针对驰振也进行了较深入的研究.文献[10]通过风洞试验，研究了并列斜拉索的尾流驰振现象；文献[11]推导了任意风向作用下覆冰导线在任意振动方向的单 自由度驰振判别式；文献[12]基于施工过程中主缆不同断面形状的三分力系数曲线，指出主缆架设过程存在发生驰振的可能性。

已有研究多数是基于单自由度驰振模型，通过气动力 系数 曲线斜率来评判发生驰振 的可能性 ，未能充分反映驰振的发生过程、主缆振动模态的影响、边界约束的影响、不同方向振动的相互影响以及振动过程中气动力系数斜率的变化等。

时域分析可以较方便地考虑这些影响因素，但针对实桥三维结构的驰振时域分析研究较为少见。

本文以Den Hartog理论为基础，在体轴系下推导得到了更为简洁的横风向驰振判据表达式，并计算了悬索桥主缆的动力特性，确定了施工过程中典型截面形状主缆的气动力系数曲线，进而计算了驰振力系数.在此基础上，分别基于单 自由度驰振模型和实桥三维驰振模型，采用时域法模拟了主缆的风致驰振现象，对 2种模型之间的差异进行 了分析。

1 基于体轴系的驰振分析理论现有文献 。 多基于风轴系下的气动力系数推导横风向驰振判定公式.实际上，风洞试验和CFD直接得到的气动力系数多是体轴系下的结果，此外，有限元计算中采用体轴系下的风荷载更为简便.本文直接采用体轴系下的气动力系数推导驰振判定公式，以便减少2种坐标系问的换算。

图1为任意单自由度体系的横截面受力示意图，JD和L为风轴系的坐标，D表示风荷载的阻力作用，表示风荷载的升力作用；X和 ，r为体轴系的坐标。

FI ， 趣DUt、 ，-- 曼1图 1 不同坐标系下的阻力和升力Fig.1 Drag and lift in diferent coordinate systems对于流体中的-段等截面物体，记竖向运动速度为 ，来流风速为 ，气流相对于运动物体的相对速度(合成风速) 、/ ；风攻角为 o/，Varctan U 。

(2)作用在物体上的竖向升力F ～ u：sc ( )， (3)式中：p为空气密度；B为断面宽度；C (O/)为体轴系下的升力系数。

如果物体单位长度的质量为 m，采用弹性支撑，并具有线性机械阻尼，则其运动方程的-般形式为m[ 2'oJl ∞2ly]Fy， (4)式中： 为机械阻尼比；09。为固有圆频率。

对于结构的初始微小运动，近似有 古，0.在此条件下，有F ，IFy兰 f . (5)于是，对于微小运动的运动方程为m[ 2 y]：- 警删号。

(6)若将气动力看作是对系统整体阻尼的贡献，那么，系统的总阻尼系数 鲁 ㈩第1期 李永乐等：悬索桥主缆架设过程驰振性能时域分析 23上式右边第 1项为机械阻尼，第2项为气动阻尼.根据线性单 自由度振子理论，若 d>0，系统趋于振荡稳定；若 d<0，则趋于不稳定.因机械阻尼r l比 -般为正数，所以，仅当 l <0时，才可 U fn 0能出现不稳定.假设 d0，可以得到驰振临界风速U -4rw1 -4，咖 1p8鲁 (8)式中：Uc 为单 自由度振子发生驰振的临界风速；dC.I l 为驰振力系数，即体轴系下升力系数 UJa 0的斜率，也是驰振是否可能发生的判据。

与常见的风轴系下的驰振判据表达式相比，因其只与体轴系下升力系数的导数有关，且体轴系下的气动系数可以从风洞试验或 CFD直接得到，故体轴系下驰振判据的表达式更为简洁、实用。

2 结构动力特性及主缆气动力系数2.1 结构有限元模型及其固有频率某双塔单跨简支悬索桥，主缆分跨为 192 in820 in176 in；主缆在成桥状态下的垂跨比：北边跨为 1/237.5，中跨为 1/10.0，南边跨为 1/217.6。

主缆横桥向中心间距为 29.1 m，两桥塔采用门式桥塔.主缆在整形、紧索及索夹和吊索安装完成后，通过改吊与猫道连接.主缆架设过程中，猫道未参与主缆受力，因此，主缆建模中忽略猫道的影响。

利用 ANSYS建立有限元模型.主塔用 Beam4单元模拟，5 In为 1个单元，共 28个单元.主缆用LinklO单元模拟，边跨 15 m为 1个单元，共 26个单元；主跨12 in为 1个单元，共64个单元.由于悬索桥主缆柔度大，计算结构动力特性前，必须先对其进行找形，即确定初始平衡位置.考虑大变形效应的影响，采用几何非线性分析方法进行找形，最后将变形控制在 cm级，则视为重力下的平衡位置.主缆架设阶段全桥模型见图2(a)。

考虑到桥梁沿纵向的对称性及两主缆间相互影响有限，将2根主缆的全桥模型简化为独柱式的塔与单根主缆组成的简化结构(见图2(b)).简化模型中，主缆截面不变，桥塔截面面积取初始总面积的1/2，横桥向与纵桥向的惯性矩为初始的 1/2，以保证顺桥向刚度和横桥向刚度不变.通过静力分析验证，简化模型与原始模型的力-位移关系-致，保证了2个门式桥塔等效简化为独柱式。

全桥模型和简化模型的 自振频率及振型见表1.从表1可见，简化模型的主要频率与原始模型吻合较好，表明了模型简化的合理性，简化模型能反映全桥模型的动力学性能。

图2 原始模型与简化模型Fig.2 Ofinal analysis model andsimplified analysis model表 1 模型的自振频率Tab.1 Natural frequencies of the two models2.2 典型断面气动力系数的数值计算主缆截面见图3，该截面由87股单索构成，每股单索由 127根公称直径为 5.1 mm的高强钢丝组成.施工中由1号索股开始慢慢组合在-起 ，直(a)中跨主缆截面 (b)边跨主缆截面图3 中跨与边跨主缆截面示意Fig.3 Cross sections of main cables at middle and side spans24 西 南 交 通 大 学 学 报 第48卷到第 87股穿索完毕，然后进行紧绳、索夹与吊索安装.根据主缆在架设过程中的形状，选取 4种典型截面进行 CFD分析，以确定其气动力系数曲线。

按所取坐标系不同，作用在主缆断面上的静力三分力可以分为体轴系(坐标系沿截面形心主轴建立)表示法和风轴系(坐标系沿风向建立)表示法.主缆截面的横风作用见图5，分析主缆截面气动特性时采用体轴系表示法。

fa)截面 lI《 !：! l(c)截面 3I 塑 ：! 4(b)截面 2f !：! f(d)截面 4图4 施工过程中主缆典型截面Fig.4 Typical cross sections during constructionrLFy厂 厂 厂 厂Mz图5 体轴系及气动力Fig.5 Body axial coordinate systemand aerodynamic forces采用 CFD定 常分析 方法，分 析模 型采用RNGK- 两方程湍流模型，取湍流因子为0.5%，粘性系数为2.计算区域：顺风向迎风侧取 10倍截面宽度，背风侧取2O倍截面宽度；横风向取20倍截面宽度，以保证阻塞率不大于5%.计算4种典型断面在 ±10。、±8。、±6。、±4。、±2。和 0。共 11种风攻角下的静力气动力系数，见图6.可见，截面4的升力系数曲线斜率均为正，不会发生驰振；截面 1发生驰振的风攻角范围为 4。～6。，而对于常规地表，大的风攻角出现的概率较低；截面2和截面3的升力系数负斜率段位于 0。附近.下面有代表性地选蓉面2进行分析。

根据A： I 计算截面2的驰振力系数，O ot j d：0结果见表2.从表2可见，风攻角在 -2。-4。之间时，驰振力系数为负值，易诱发驰振。

根据 Den Hartog判定公式，风轴系下驰振力系数 ：f C ) (C 和C 分别为风轴系下、 uU / 0的升力系数和阻力系数)，体轴系下驰振力系数A： I ，2种坐标系下驰振力系数的比较见(1Ot 1 d0表2.可见，2种坐标系下的驰振力系数相差较小。

l 21.0o 80.6。-40.20.0风攻角/r 1(a)截面 1风攻角/r 1(C)截面 3督风攻角/(。1(b)截面2风攻角/f。1(d)截面4- 口- 阻力系数CH -△- 升力系数Cv图6 4种截面的三分 系数Fig.6 Three-component coeficients for four cross sections表2 风轴系与体轴系下的驰振力系数Tab.2 Galloping coeficients in the two coordinate systems下第1期 李永乐等：悬索桥主缆架设过程驰振性能时域分析3 驰振时域分析3.1 单自由度驰振模型- 维单质点振动模型见图7。

t 札图7 单自由度驰振模型Fig.7 A single-degree·of-freedom model for galloping用ANSYS建立单自由度振动的有限元模型，模型由杆单元与质量点单元组成，杆单元用Linkl0单元模拟，质量点单元用 Mass21单元模拟.取主缆二阶竖弯的频率 0.123 8 Hz作为模型振动频率，单质点的质量取主缆每延米的质量，杆单元的刚度根据频率和质量反算确定，取最不利的初始风攻角(即驰振力系数 -4.154对应的风攻角)1。，系统阻尼比取0.5%.考虑到结构振动频率较低，而振动达到稳定所需时间较长，取时步为0.25 s.基于选定的模型参数，选取初始风速，根据式(8)可以计算出驰振临界风速的理论值为3.38 m/s。

采用时域法分析单质点系统的振动，只考虑质点在横风向振动的情况，约束其他方向的自由度。

输入风荷载时，考虑平均风的作用.采用时域法分析单自由度驰振模型的步骤如下：(i)在质点上施加自重力及剧荷载，通过静力计算确定平衡位置；(2)给质点施加-个小的扰动(-个瞬时荷载)，此时质点处 的合成风速和风攻角将发生变化；(3)提取质点速度，计算新的合成风速、合成风攻角和升力系数；(4)根据步骤(3)计算的新的合成风速、风攻角和升力系数计算新的剧荷载，并施加在质点上再进行计算；(5)重复步骤(3)和(4)，即可实现时域法对单自由度驰振模型的分析。

施加初始扰动后，不同风速下质点的振动时程见图8.当振动幅值基本保持稳定时，可以认为驰振达到稳定状态，此时对应的风速作为驰振临界风速.从图8可见，当风速为 3.5 m/s时，单质点的位移振幅基本稳定 ，取该风速作为驰振临界风速，与临界风速的理论值 3.38 m/s相比，2种方法所得结果较吻合.因所采用的单自由度驰振模型的时域分析法和理论公式都是基于 Den Hartog理论假定得出的，故两者结果吻合表明了驰振时域分析方法的可靠性。

0.00010.oo3童 -0.006蜷.0.009.O.Ol20.000. 0.003g 0.006. 0.009 蜷. 0.012. 0.O150.000.0.004墨008-O.012(b)0.000.0.004 O.008坚鞲 O.0120 50 10O 15O 200 0 5O 10O 15O 200迭代时问/s 迭代时间/s(e)风速 3.5 m/s (d)风速 3.7 m/s图 8 不同风速下的位移时程Fig.8 Displacement time history VS.wind speed为考察风速对驰振振幅的影响，分别就 2、4、6、8和 10 m/s五种风速的情况进行了计算.图9是风速为6 m/s时驰振的发展过程，可见，1 200 s以后振动基本达到稳定.与理论认识不同，实际结构的驰振并不是无限发散的振动，与升力系数负斜率段的区间大小有关.当振幅较大时，振动过程中相应风攻角可能已超出了负斜率段，从而对系统作负功，使振幅逐渐稳定下来。

不同风速下振动稳定后的振幅见图 l0.可见，当风速小于临界风速时，质点不发生振动；当风速大于临界风速时，振幅总体上随风速增大呈线性关系增大。

3.2 实桥三维驰振模型采用 ANSYS软件，对简化的三维有限元模型(图2(b))进行驰振的时域分析.分析同时考虑横风向和顺风向风荷载的作用，在每个节点同时施加2个方向的作用力。

采用时域法分析时，相关参数与单自由度驰振模型相同，风荷载的施加也与单自由度驰振模型风26 西 南 交 通 大 学 学 报 第48卷乓罂蜷0 400 800 1 200 1 600迭代时间/s图9 风速6 m/s时的位移时程Fig.9 Displacement time history for wind speed of 6 m/s肛U噩/(m s 、图 10 不同风速下的振幅Fig.10 Amplitude VS.wind speed荷载施加类似，但实体三维驰振模型在节点运动和所 受 风 荷 载 等 方 面 有 差 异.针 对 2、4、6、8和 10 m/s五种风速下的驰振振动进行了计算，主缆振动达到稳定后，不同风速下达到最大振幅时各节点的振型见图11.可见，不同风速下主缆的振动以反对称振动为主，跨中节点振幅小，1/4跨和3/4 跨处节点振幅较大.风速较低时振幅小，振动形态复杂；风速较高时振幅大，振动形态单-。

32要龄0- 1.20 10 2O 30 40 50 60 70 80 90节点号图 11 不l司风速 F主缆的振型Fig.1 1 Vibration shapes of main cable VS.wind speed风速为4和 10 m/s时，主缆振动达到稳定后的竖向位移时程分别见图 12和图 l3.可见，不同风速下主缆的振动基本上是单模态正弦振动，风速低时主缆振动频率较高，风速高时主缆振动频率较低.此外，与采用单自由度驰振模型相比，采用实桥三维驰振模型分析主缆驰振时，驰振达到稳定所需时间较长，且风速越低，所需时间越长，这可能也是实桥不易观测到主缆发生明显驰振现象的原因之-。

风速为 10 m/s时主缆横桥向振动见图 14.可见，主缆横桥向振动的振幅很小，振动频率更低，且多模态参与振动，横桥向振动对竖向驰振的影响有限。

为了分析不同风速下主缆的振动模态与结构量图 l2 风速4 m/s时主缆的竖向振动时程Fig.1 2 Vertical displacement time history ofmain cables for wind speed of 4 nr/s图 13 风速 10 m/s时主缆的竖向振动时程Fig.1 3 Vertical displacement time history ofmain cables for wind speed of 10 m/s图 14 风速 10 m/s时主缆的横向振动时程Fig.1 4 Lateral displacement time history ofmain cables for wind speed of 10 m/s6 4 2 O 2 4 6 O 0 0 O 0 0 0 第1期 李永乐等：悬索桥主缆架设过程驰振性能时域分析 27固有模态之间的对应关系，对不同风速下主缆的振动进行了频谱分析，结果见图15.可见，当风速较低时，主要振动模态频率约为 0.250 Hz，对应于中跨主缆的四阶竖弯模态；风速为6 m/s时，驰振参振模态较多；当风速大于6 m/s后，0.125 Hz频率对主缆振动的贡献增大；当风速大于 8 m/s后，0.125 Hz频率成为主缆振动的卓越频率，该频率与主缆的二阶自振频率(表 1)非秤近.由此可见，当风速较大时，主缆的大幅驰振以基阶固有模态为主。

O.15O.10坚蜷 0.050.0OL0·403主O.10.0I 儿 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8振动频率/Hz 振动频率/Hz(a)风速4 m/s (b)风速 6 m/sl·2O·91耋。-6蜡030.0O.0 0.2 0.4 0.6 0 8振动频率/Hz罂(c)风速 8 m/s (d)风速 10 m/s图15 不同风速下主缆的竖向振动频谱Fig.15 Spectrums of vertical vibration vs.wind speed从上述研究可知：单自由度驰振模型与理论公式-样，都是基于 Den Hartog理论，只考虑质点横风向的上下振动，不考虑沿桥长方向振动的差异，只能考虑单-模态下的振动，约束是线弹性(从图9也可以看出，正负振动幅值基本相等)；采用实桥三维驰振模型时，可以考虑结构横风向和顺风向共同振动、沿桥长方向各点振动的差异以及多模态参与振动，桥塔对缆索的约束是变化的：向下振动时，桥塔对索的约束加强，向上振动时，桥塔对索的约束变小(从图12和 l3可见，正向振幅明显大于负向振幅)。

综上分析，实桥三维驰振模型因能反映不同方向振动的干扰、沿桥长方向振动的差异、多模态参与振动以及边界约束变化等因素的影响，较单自由度驰振模型能更真实地反映主缆的驰振性能。

图16给出了不同风速下单自由度驰振模型和实桥三维驰振模型分析得到的驰振振幅的比较.从图 16可知，实桥三维驰振模型获得的振动幅度明显大于单自由度驰振模型获得的振动幅度，故基于单 自由度竖向振动假设计算的结果可能偏不安全。

图 16 2种模型获得的驰振振幅Fig.16 Galoping amplitudes based on the two models4 结 论基于体轴系的气动力系数，推导得到了更为简洁的驰振判据表达式，分别基于单自由度驰振模型和实桥三维驰振模型，采用时域法分析了主缆驰振性能，得到以下结论：(1)基于体轴系的驰振判据表达式更为简洁，单自由度驰振模型获得的驰振临界风速与理论值较吻合；实桥三维驰振模型因能反映不同方向振动的干扰、沿桥长方向振动的差异、多模态参与振动以及边界约束变化等因素的影响，较单自由度驰振模型能更真实地反映主缆的驰振性能。

(2)实际结构发生驰振时，振幅并不会无限发散，振动达到稳定后，振幅与风速总体上呈线性关系.实桥三维驰振模型获得的驰振幅度明显大于单自由度驰振模型获得的振幅.与采用单自由度驰振模型相比，采用实桥三维驰振模型分析主缆驰振时，驰振达到稳定所需时间较长，且风速越低，所需时间越长。

(3)采用实桥三维驰振模型分析主缆驰振性能表明，主缆驰振以反对称振动为主；随着风速的增大，驰振卓越频率逐渐减小，对应的主要参振模态由高阶模态逐渐转变为低阶模态，部分风速下多模态参振现象明显.风速较高时，驰振振幅较大，频率较单-，通常以结构竖向基阶模态为主，此时横桥向振幅较小，振动频率更低，多模态参振现象明显。