部分覆盖压电约束层阻尼板的建模与控制特性分析

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约束层阻尼(CLD)近年来广泛用于工程结构的减振抑噪，根据约束层材料的不同，可分为被动约束层阻尼(PCLD)和主动约束层阻尼(ACLD)。PCLD结构的约束层由普通弹性材料构成，而ACLD结构则采用智能材料(如压电材料)作为约束层。ACLD结构通过敷设在基体结构上的传感层感知结构的变形，并采用适当的控制策略实时地调节作用于粘弹性层的主动力，可更有效地抑制结构的振动。由于 ACLD结构同时具有 PCLD的可靠性、鲁棒性和主动阻尼的智能性、高效性，在机械、航天等各领域都具有广泛的应用前景。ACLD板的结构较复杂，解析法㈣的求解范围有限，目前多采用有限元法求解该类问题。文献 用有限元法对于ACLD结构的建模、控制策略和减振性能等进行了广泛的研究，取得了大量的成果。但是，有限元法也有自身的局限性，如高频计算精度较差，结构参数改变需重新建模，计算效率较低等考虑压电材料的逆压电效应，建立了-种ACLD矩形板的数学模型，导出了对边简支ACLD板在谐激励作用下的整合-阶常微分矩阵方程，并基于精细元法提出了-种求解部分覆盖 ACLD矩形板动力学特性的半解析半数值方法。

2 ACLD板的动力学分析ACLD矩形板通常由基板、粘弹性层、压电约束层和传感层构成。由于传感层非常薄，通倡它与基板视为-体，因此，ACLD板可视为三层的层合结构，如图 l所示。为了便于推导，采用卞理论，并作以下假设7l：(1)系统变形服从克希霍夫理论；(2)转动惯量忽略不计 ；(3)仅考虑粘弹性材料的阻尼；(4)每层在 方向的位移和 方向的转角是相等的；(5)层间的位移完全连续；(6)所施加的控制电压沿板平面是均匀的。

来稿日期：2012-10-18基金项目：国家自然科学基金项目(51105083)；广西自然科学基金项目(2O1OcxNsFAOl3O24，2O12cxNsFAAO53207)作者简介：范健文，(1963-)，男，广东信宜人，副教授，主要研究方向：车辆工程、结构振动与控制等方面的研究162 范健文等：部分覆盖压电约束层阻尼板的建模与控制特性分析 第8期2.1压电约束层和基板的-阶状态方程仅考虑压电材料的逆压电效应。对于 沿方向极化正交各向异性压电材料，其材料主轴方向的本构方程为 ：- 式中"-e e 广 压电常数，系数矩阵 c；方向的电场强度；EV/h；- 压电约束层的控制电压。

式(I)中等式右边第-项为普通弹性材料的本构关系，第二项为压电材料所引起的附加项，因此，压电约束层的膜内力可写为：，”- ， - (2)式中： ， ， -机械膜力； ， ； 厂 压电膜力 ，结合(1)式可得：/v(”pi由上式可知，N 3)0，N f3) ，都与 无关。

采用速度反镭制策略，施加的电压受控于基板上某-指定点( )的法线速度，即：(甜)-kdnv(Wo，Yo)式中： 厂速度增益系数。

(4)对于有-对边简支(沿 Y轴方向)的矩形板 ，将膜内力表达式(2)式经 Fourier展开后代人矩形卞的平衡方程、几何方程和物理方程，经整理并无量纲化后可导出指定波数n下压电约束层的-阶控制方程：(3)f3) . ㈥ - ～ (苦 ㈥(3)式中： ， 意长度；Y (3)状态向量；q (3) (3)H 击(3) (3) (3) (3N sM(～(23)-(～23)0 0 0 0 0 j p p -(3) (3) (23)(7-) ：0- 无量纲，f和p-外激励和约束层与粘弹层间的层间作用力幅值；g -系数矩阵。

同理可求出基板的-阶控制方程 ：譬 ”-( ” ㈦由于式(5)和式(6)中的层间相互作用力未知，方程不能直接求解。

2.2 ACLD板的整合-阶状态方程对于粘弹性层，仅考虑它的剪切变形，根据-阶剪切变形理论和层间连续条件。ACLD板的切向层间相互作用力，如图 1所示。

基板(1)粘弹性层(2)约hl2，2图 1 ACLD板的切向层问相互作用力Fig.1 Tangential Interactions Between Layers in an ACLD Plate消去层间相互作用力，经整理后可导出ACLD板的整合-阶常微分矩阵方程 ：A Z-BZ ( Yo) (7)式中：系数矩阵 A，曰为 12阶方阵，各元素的具体表达式见附录；耷 Nl (1) (I) (3) (- 整合的状态向量； ，/K )l～ -( -( )lu S～ 广义单位压电作动力向量。(7)式为耦合控制方程，包含未知的反馈点位移w(x。，Yo)，直接求解的难度很大。

根据叠加原理，板上任意点的位移可以由(7)式表示为：(n Jw(x， ) ∑ (x/L)sin( )nlr (n)Lf∑ (x/L)sin(n"y/b Yo j (8)nl J(H) (n)式中： (X0/L)， (X0/L)-由 ， 单独作用时在点( ，y)处所引起的位移。令 。，Y-Yo代人(8)式后即可求出反馈点的位移：∞ f )w。，Yo)∑W- (x0/L)sin(n"tryoIb)/nlr (n) I1-∑ (。/L)sin(nryo/b)I (9)nl3部分覆盖 ACLD板的动力学分析部分带状覆盖 ACLD板可沿方向分为3段，如图2所示。第- 段和第三段未敷设ACLD(光板)，其控制方程为(7)式；第二段为敷设ACLD的层合板，其控制方程为(1 1)式～每-段内又细分成 z、m、n个单元，由齐次扩容精细积分法日可求出各段相邻单元之间的传递关系。

1 3 I(1 ( ) I-- -叫 f2 2 I- - - - - - - 卫 L - -图2部分带状覆盖 ACLD板的横截面图Fig.2 Cross Section of a Plate with Partial ACLD Treatment在两个交界处( 。和 ：)处分别有 8个连续性条件。在y CNo.8Aug.2013 机械设计与制造 163边界上共存在 12个边界条件，将上述 28个方程与(14)式联立 ，借鉴有限元法组装刚度矩阵的方法，可求出整体矩阵方程：C·V：F (10)式中：整体系数矩阵c- 个(8112m8n28)阶的方阵；- (8112m8n28)阶列向量； (8112m8n28)阶列向量。

自由振动时F-O，则 ACLD板的特征方程可写为：detc0 (11)上式的解为复数，定义固有频率和损耗因子为[21 IR ( )/21r；7/Ira( )/R。( 。)。

在上述解法中借鉴了有限元法思想和精细积分法，因此，我们称之为精细元法。

4数值分析算例 1为了验证方法的正确性，考虑-个四边简支的全覆盖 ACLD板，几何和物理参数为 ：a0.3m，b0.4m，El70GPa，G20.89(10.5i)MPa， 49GPa，I 3O.3，p11104kg/m ，P2999kg/m ，P37500kg/m ，hlO.003m，h，O.002m，h 0.00lme3l 32-6.5C/m 。

表 1自由频率和损耗因子与文献值的比较Tab.1 Comparisons of the Free Vibration Frequenciesand Loss Factors with the Results in Documents计算方法与文献叫 计算结果的比较，如表 1所示。由表 1中可以看出，两者吻合得较好，特别是固有频率，误差均小于l%。由此可见，所建立的力学模型具有较高的精度。算例 2：考虑-个对边简支，另-对边为悬臂约束条件的全覆盖正方形ACLD板，t-b0.4m，其余参数与算例1相同。令速度增益系数k10000，取自由端中点(Xo.--a，y-ob/2)为反馈点，当固定端产生位移激励ur-0.01e m时，终点(xa， )的位移频响函数与光板和PCLD板( )的比较，如图3所示。其中，频响函数定义为：FRFlOlogtw(a，bn)/。速度增益系数变化时ACLD板的频率响应曲线，如图4所示。由图3可以看出，敷设约束层阻尼后，结构的位移大幅减小，特别是在共振峰值处，其位移幅值可减小数十倍。对比PCLD板和 ACLD板的频谱曲线可知，引人压电作动力对结构的频率影响不大，但由于压电作动力的作用 ，ACLD结构对于振动的抑制更为显著，特别是在较低的频率范围内。随着频率的增加，两者的差别又逐渐减校因此，在低频段内的振动控制适合采用ACLD结构，而高频段内的振动抑制采用PCLD结构会更为经济。由图4可知，随着速度增益系数的增大，ACLD板的减振效果逐渐增强。

图 3频响曲线的比Fig.3 Comparision of FRF Curvesf(Hz)图4不同k 时频响曲线的比较Fig.4 Comparision of FRF Curves Varied with算例3：考虑-带状部分覆盖正方形 ACLD板，物理和几何参数与算例 1相同。定义覆盖率CP兰 LxlO0%，覆盖位置cLxlO0%～ACLD结构对称敷设在板的中点，当覆盖长度分别为x2x。1.Oa，0.8a，0.6a时，频率响应曲线，如图5所示。令覆盖长度 2 -0.6a，分别敷设在固定端( o)、中点(CL20%)和自由端(( ：40%)时，频率响应曲线，如图6所示。

，(Hz)图5不同覆盖率时频响曲线的比较Fig.5 Comparision of FRF Curves Varied with CP164No.8机 械设 计 与制 造 Aug.2013图6不同覆盖位置时频响曲线的比较Fig.6 Comparision of FRF Curves Varied with CL由图6可知 ，在参数条件下，全覆盖的减振效果是最好的。

但对比覆盖率为 80%和 60%时的频谱曲线可以看出，在第三个峰值处，60%的覆盖率要优于 80%的覆盖率。这说明增加敷设长度并不-定能够获得更好的减振效果。由图7可以看出，覆盖位置对结构的动力学特性也有很大的影响。当 ACLD结构敷设在自fI端时减振效果最明显，对称敷设次之，敷设在固定端的效果最差。因此，应尽量将 ACLD结构敷设在振动变形最剧烈的地方。

5结论仅考虑压电材料的逆压电效应，建立了 ACLD板的数学模型，并提出了-种应用广泛，具有较高精度的半解析方法。数值分析表明，压电约束层在低频范围能更有效地抑制结构的振动，提高结构的阻尼性能。但在较高频段内，它的减振效果并不明显。文中还分析了速度增益系数等参数对 ACLD板的振动和阻尼特性的影响。

研究表明，ACLD板的动力学籽l生受各种因素的影响，其变化规律较为复杂，通过进-步优化结构参数，有望得到更好的减振性能，这也是我们下-步研究的重点问题。