一类不确定机械系统的双调节自适应模糊建模与鲁棒控制

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Adaptive Fuzzy Modeling and Robust Control with Double Aajustment fora Class of Uncertain M echanical SystemWANG Yongfu ·2 ZHANG Yimin CHAI Tianyou(1.School of Mechanical Engineering and Automation，Northeastern University，Shenyang 1 1 08 1 9；2.State Key Laboratory of Synthetical Automation of Process Industry，Northeastern University，Shenyang110819)Abstract：Modeling and control compensation of fi'iction force is a chalenging task for mechanical systems with uncertain fi'ictior1。

The traditional way，such as mathematical approaches，is found quite dif cult to achieve satisfactory performances due to somenonlinearity and uncertainties of the system.In view of the defects and lack of self-learning ability and environmental adaptability ofconventional friction models.It aims to develop adaptive fuzzy modeling techniques to characterize the friction dynamics，which Canthen be employed in a feed-forward compensation control，where both the tracking error and the friction modeling error are utilizedto adjust adaptive param eters.An adaptive version of the fuzzy feed-forward compensation control law is employed in the controlsystem.A theoretical result on estimates of error bounds for closed-loop systems is established by the Lyapunov stability theory。

Simulation and experiment results demonstrate the usefulness an d efectiveness of our proposed control strategy。

Key words：Uncertain friction Adaptive Fuzzy modeling Robust control0 前言- 个机械动力系统常常包含摩擦环节，由于摩擦是-种复杂的、非线性的、具有不确定性的自然国家自然科学基金(51275085，51135003)、国家重点基础研究发展计划(973 计 划 ，2009CB320601)、沈 阳 市 科技 基 金 (F10.205.1-40，F12-175-9-00)和中央高校基本科研业务费专项基金 110503001)资助项目。20120922收到初稿，20130120收到修改稿现象，使得机械动力系统呈现复杂的不确定性。摩擦的存在降低了系统性能，特别是对某些系统，如机械手、数控机床、转台以及坐标测量机而言，摩擦对这些系统性能的提高构成严重障碍。在工程实际中为克服摩擦给机械系统带来的危害，人们从控制角度提出-些补偿方法。总的来说分为以下两大类：如果已知摩擦模型便可以在控制系统中施加-个控制作用，使之抵消每-瞬时的摩擦力，这样就62 机 械 工 程 学 报 第49卷第 9期可以消除摩擦对系统性能的影响，这就是基于摩擦模型的补偿；不依赖于模型的补偿主要是基于高增益的PD控制器补偿方法u J。

基于摩擦模型的补偿是人们对摩擦的物理过程给出-种近似的数学模型，通过摩擦试验数据辨识其参数。这种基于摩擦模型的补偿技术主要问题有以下几点：① 由于摩擦的内在机理还在探索与研究中，人们已提出多种摩擦模型但没有形成统-描述形式，在实际应用中很难确定哪种摩擦模型更合适；② 现有的摩擦模型只是对真实摩擦过程的- 种近似描述，故在控制补偿时很难保证控制精度；⑧ 现有这些摩擦模型从形式上看比较复杂，很难进行控制系统的设计与稳定性分析。另外，不依赖于模型的高增益PD补偿的主要问题是只能在-定程度上减小摩擦的影响且鲁棒性与稳定性较差。

最近，理论和实际工程应用表明智能系统和 自适应控制等方法对不确定非线性系统进行智能建模与控制的有效性和实用性L3 引。这里已用 自适应模糊系统对摩擦进行静态和动态模糊建模研究L1引。但前期方案中，自适应参数仅考虑由系统跟踪误差调节，而没有考虑摩擦建模误差影响。本文将探索自适应参数由跟踪误差和摩擦建模误差共同调节方案，并考虑系统存在不确定摩擦建模误差情况下如何设计鲁棒控制器。采用此方案意义在于：① 由于自适应参数中引入了摩擦建模误差，加快了系统跟踪误差收敛速度；② 摩擦建模误差调节自适应参数的本质问题就是自适应参数收敛到真值问题，使得自适应模糊系统能更好地逼近非线性摩擦力；③ 自适应参数由两种误差调节更具有双重意义，它为如何构造具有实际意义的自适应模糊系统提供-个方向性指导，也就是既要保证控制系统的跟踪性能，也要保证建模系统的逼近性能。

1 不确定机械动力系统1.1 数学模型为便于问题描述，考虑下面所用的-维机械运动系统㈣ ，系统动力方程如下m ： U - / -， - ，出式中 m--运动体质量- - 运动体位移U--输入控制力- - 不确定摩擦力1.2 摩擦模型与补偿对于式(1)，设F，是真实摩擦力F，的摩擦估计值，基于摩擦模型补偿控制律可用下面形式m( klekEe)十 (2)式中 eYr-毒夕，-Y，-- 期望参考输入毛--微分系数- - 比例系数把式(2)代入式(1)得rt2， ( 白垂k2e) - (3)经简单整理，可得下面误差动态方程为毛毒k2e)Fs (4)式中，FZ： - ， ，- 。

如果F，Fr，则可得下面动态跟踪误差方程 毒kze0 (5)显 然 ， 如 果 取 矢 量 ( ，k：) 使 Ⅳ( )S 为Hurwitz的方程，则有lim - l曼(f)I0。

从以上分析可以看出，摩擦力的精确建模对于系统控制精度是十分重要的。因此，有关摩擦建模的研究-直非常活跃，到目前为止，已提出的摩擦模型有几十种，主要分为静态摩擦模型和动态摩擦模型两大类。其中静态摩擦模型主要包括经典摩擦模型(静摩擦库仑黏性模型)、指数模型、Karnopp模型等；动态摩擦模型主要包括 LuGre模型、七参数模型等。

1.3 摩擦模型的自适应特性到目前为止已提出的摩擦模型有几十种，其中CANUDAS等 在 1995年提出的LuGre模型是-个较为完善的动态摩擦模型，它能较精确地描述摩擦力的动态和静态特性。目前，基于 LuGre模型的摩擦补偿控制已成为理论和应用研究-个热点，该模型具体表达式如下Ff0-ozo ±o2v： v -Ivl z (6)g(1，)0"og(v)F ( -F)exp(-(v/vA )式中 ， --动态摩擦因数F --库仑摩擦力F --静摩擦力- - 黏性摩擦因数2013年 5月 王永富等：-类不确定机械系统的双调节 自适应模糊建模与鲁棒控制 63V 换速度g(1，)- stribeck效应函数z--接触面鬃毛的平均变形该模型的优点在于对摩擦环节的动态特性补偿效果较好。其缺点：① 由式(6)知模型参数多，准确辨识其参数十分困难；② 实际摩擦力是随着机械系统的磨合等情况在变化，但 LuGre模型参数很难实现随着环境变化而进行动态调整，也就是说很难实现自适应特性，故很难保证整个动态历程的模型精度；⑨ LuGre模型形式比较复杂，很难进行控制系统的设计与稳定性分析。

2 摩擦的模糊建模与鲁棒控制由上面的LuGre摩擦模型分析可知，建立精确的摩擦模型非常困难，而且即使得到了较精确的模型，也会因其复杂的表达形式使得系统分析和基于模型的补偿难于实施。因此，为了达到控制目的，自适应模糊系统仅是速度的函数l ↑年来，-些专家提出了动态摩擦力可能是位置和速度的函数 。在这里进-步扩展该设计，如果式(1)的状态R( )：If( is ) and (x2 is )Then Ff is Bj (7)式中 -x( ，x2) ( ， )， ， - - 模糊集合- ㈣式中， ，为漠糊隶属度函数取得最大值的点，也就是 (F )：l时。

若定义下面模糊基函数兀 ( )-EjMI(Hi2-I'I，(Xi) 9式(8)可改写成如下形式( )旦 ( ) (10)式中，壁( ，户 ，， M) 模糊系统的参数矢量，( )( ( )，， (兰)) 模糊基函数矢量。

2.2 鲁棒控制器设计从前面的式(2)～(5)的分析可以看出，如果摩擦估计 ，则可以获得理想的跟踪效果，但实际中获得理想的逼近 是几乎不可能的〖虑到摩擦建模误差的存在，式(2)应改取如下反镭制律U， ( P) -U (11)式中，U 为考虑摩擦建模误差的H。补偿控制。

把式(1 1)代入式(1)，经简单整理后可得如下动态误差方程童 曼 ( ) (12)式中 (三- 、B(0 1/m)星(P 毒)T定义如下最优参数矢量旦 argmino 国(sup lI )- (点l堡)I) (13)式中，q ， 为 和 的界。

定义摩擦建模的最小逼近误差刃 ( )- ( ) (14)跟踪误差方程式(12)能改写成如下形式童： 曼 ( ( 1 )-Pl(xIo )Bu Bar (15)联合式(10)、式(15)能被改写如下形式童Ae ( ) Bnr (16)式中， ：0-0。

定义摩擦逼近误差 -， (甜- )-( -F，)Ff-F，(17)联合式(10)和式(14)，可 以得到如下逼 近误差方程占tD" ( ) (18)对于反镭制律式(11)的关键问题是如何设计自适机 械 工 程 学 报 第49卷第 9期应模糊系统的参数矢量和鲁棒补偿控制项U ，下面将用式(17)定义的摩擦逼近误差 和跟踪误差曼来调节 自适应参数矢量，现将反镭制律、鲁棒补偿控制项U 以及自适应参数的选取总结如下定理 1。

定理 1：对于不确定机械系统式(1)，如果采用控制方案如式(19)～(22)，其中P为下列Riccati方程式(231的正定解，那么系统可获得：① 如果tO"∈L2[0，o)，获得鲁棒H 跟踪性能指标；② 如果 ∈ 0，o)，那么跟踪误差是-致最终有界Um(y， 毒 P) -U。 (19)U -二 Pe (20)( )o ( ) (21) r l ( Pe IolI< r-Xa Pe ) ： ) )!≥0IP[·]ILol ㈤旦

投影算子P ( 叩占)- ，(eTBp r/c )T(x)O-o在实现上述控制器时，需要注意下面事项：① 如果自适应方程式(22)r/≠0，意味着摩擦建模误差参与自适应参数的调节；② 在设计实际控制器上时，由于 是未知的，为了得到摩擦建模误差信号需要高阶信号 是已知条件，但在仿真时，可以用 - 获得建模误差 信号；③ 实际应用中如果考虑到传感器硬件成本等因素，可以考虑提出的模糊观测器法 " 或差分法估计高阶信号 。

3 鲁棒性能指标分析证明：取 Lyapunov函数为l2-eTp-e (24) 2- - 2 --求 的微分，可推出矿 P曼le-T2 P童 (25) 2- - - ，，- - -基于式(16)，可以得到矿： 1 TATp里- 竺 P BB P里壁 ( ) P星万 BTp-e-eTPA曼--eTpTBB P里里.r ) eTPB万) (26)7由式(23)，式(26)可改写成矿- eT -击eTpBTpeeTpB 重(mTBTpeeTpB 重 (27)进-步方程式(27)可以改写成下面不等式≤- eT 万T万曼 童 ( ) (28)由于 ：- ，如果自适应方程式(22)中r/o，也就是自适应参数仅由误差调节，不等式(28)可写如下≤-I1 -e Qe l tO" 万 (29) - ， 、- ，如果自适应方程式(22)中叩≠0，也就是自适应参数由跟踪误差和摩擦建模误差共同调节，不等式(29)可写成下面形式矿≤- 曼 Q竺 巧T万7 万 (30)由于最小逼近误差万是-很小量，不等式(30)可忽略后面的微小项叩 刃，近似于不等式(29)。

从t：0到tT对式(29)积分可推得) - Q 1 2 珂T万df(31)因为 0，式(31)可改写如下形式曼TQ ≤l2-eT(0)P ) T(0) (o)去 万r刃df (32)式(32)就是H 性能指标，即控制目标①达到。

由式(29)可推得≤- eTQ竺 1 2 T ≤- 三 P2 (3)式中， 是矩阵Q的最小特征值。

对于 >0，如果选择 >P /6 ，那么存2013年5月 王永富等：-类不确定机械系统的双调节白适应模糊建模与鲁棒控制 65在 >0使得矿≤- TQP-1 2(.oT ≤，2-～ 2 (34)- l竺l 1 巨 ≤- I I a式 (34)说 明 跟 踪 误 差 是 - 致 最 终 有 界(Uniformly ultimately bounded，tam)的，即控制 目标②达到。所以从稳定性理论上看，自适应参数无论是用单调节方案还是双调节方案，系统都能保证良好的稳定性及性能。

4 数值结果与试验把文 中所采用 的 自适应摩擦建 模与鲁棒控制方案用于如下运动系统进行试验m u- (35) - ，， lj)，(1)建立 自适应模糊系统。定义如下模糊集及隶属函数1( )( )exp(-( 1.5) )( )exp(-(薯0.5) )( )exp(-( -O.5) )( )exp(-( -1.5) )(建立摩擦模糊规则库R(J)：If( is ) and (x2 is )Then ( is Bj J1，2，，6设 ∑； 。兀 。 ( )，可得到估计摩擦力 ( )，其实现如下J ) ( ，， )T (36)壁( ，o2，， )(2)系统参数选择：ml kg， 0.1，白2， 4，r0.08，r/100， 5 N ， 0.04FN， 1， 1。设参考输入为 (f)sint，系统状态初始值选择为xx(O) (0)1.2，自适应参数初始 值 选 择 为 壁(-8，-6，-1，3，8，1)为 (-lO，lO)和(0，10)之，间随机数。选择r，20 l5、 Q：15 3oj解 Riccati方程式(23)可得P ((3)控制方程及 自适应律 (-sin(t)2e4)Ff- 。

。：- (P ) (37)， ( )(5P5毒7占)4.1 传统摩擦模型的自适应特性在这个例子，验证传统摩擦模型作为补偿控制项的自适应特性。假设方程式(1)中的初始真实摩擦力Fs ( - )exp(-IV/ ) 1，为 Stribeek摩擦力，并且该摩擦力的参数和结构随系统的磨合等环境因素在逐渐变化。这-物理现象如下表 1分两种情况：环境 1表示真实摩擦力 的参数在三个不同时间段的参数变化，但模型结构没有变化。环境 2表示真实摩擦力 不但参数变化，模型结构逐渐演变为 Coulomb摩擦力。

表 1 摩擦模型参数与结构图 1a和图 1b分别是系统跟踪误差 e在摩擦环境 1和环境 2随时间响应的曲线。该结果是控制器取 u (j；， P)Fr时获得的， 其中摩擦力估计用 Stribeck摩擦模型，但其参数在0

4.2 模糊摩擦模型的自适应特性下面验证 自适应模糊系统作为摩擦新模型所取得的控制效果。两种仿真环境和前面叙述的相同。

图2a和图2b是在摩擦环境 1情况下，误差随时间响机 械 工 程 学 报 第 49卷第 9期WANG Xiangjiang，WANG Xingsong，MAO Yan，et a1。

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作者简介：王永富(通信作者)，男，1969年出生，博士，教授。主要研究方向为机电系统的智能建模与控制。

E·mail：yfwg###mail.neu.edu.cn张义民，男，1958年出生，博士，教授，长江学者。主要研究方向为可靠性设计和非线性振动。

E-mail：ymzhang###mail.ncu.edu.cn柴天佑，男，1947年出生，博士，教授，中国工程院院士。主要研究方向为流程工业综合自动化，自适应控制。