支持薄壁结构交互装配变形仿真的力学模型研究

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M echanical M odel of Thin.wall Part Elastic Deformation for InteractiveAssembling SimulationCHENG Huanchong WU Dianliang BAO Jinsong(Computer Integrated Manufacture Institute，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240)Abstract：Interactive assembly based on rigid body geometric model is widely used in product assimilability testing，assemblingprocess planning and operation training.Due to the difculties on calculating the part deformation and stress during assemblingprocess.the deform able parts assembling simulation is still a problem in the area of virtual assembly.The deformation duringassembling is more important for min-wall structures.such as aircraft body，ship body and SO on.The numerical methods as a finiteelement method(FEM)Cant meet the requirement of computing speed during interactive assembling simulation.Other methodsbased on spring-mass model Can t be used to calculate bending efect of a thin-wall part。A mechan ical model based on planartriangles gird of min-wall part is proposed to calculate the elastic deform ation.From the planar triangular element.a high-orderLaplace deform method is used to construct the basic equation for elastic deform ation compming.Th e comparison of our model andtypical shel model of FEM shows that our computing model has a higher eficiency and a better integration with the interactivevirtual assembly system for calculating the deform ation and stress ofthin·wal structures。

Key words：Assembling deform ation Virtual assembly Assembling simulation Th in-wall structure0 前言大型薄壁构件刚度较小，装配过程的装配变形和应力导致形状误差、连接装配操作困难、构件变形和应力难以分析和评估等问题。变形和应力对产品的使用性能、可维护性等有非常不利影响，如飞机机身和机翼的装配应力将引起局部应力腐蚀、引国家自然科学基金资助项目(51075274，51075264)。20120725收到初稿，20121225收到修改稿起铆钉等连接件的疲劳破坏。

合理的装配工艺可以控制装配变形和应力，虚拟装配已成为制定合理装配工艺的重要手段之-，目前基于刚体模型的产品装配过程实时仿真已经较为成熟并广泛用于可装配性验证、装配工艺分析、装配操作培训、产品维护训练中。但这种几何层面仿真对装配变形仿真不适用。

目前最 主要 的方法是 基于有 限元 法(Finiteelement method，FEM)、边界元法(Boundary elementmethod，BEM)、有限条分法(Finite strip method，FSM)2013年 5月 程奂种等：支持薄壁结构交互装配变形仿真的力学模型研究的数值分析方法。LIU等 采用 FEM 进行柔性板金件装配过程的变形仿真计算，基于影响因子法设计了-种 新 的迭代 控制 方法 来加 快 计算 过程 。

OUDJENE等2将板金成型模具与板金变形应力有限元分析统-进行，所采用的分析方法也可以用于装配过程的薄壁结构应力分析。文献[3.6]均属于采用 FEM对各类薄壁结构在不同条件的变形和应力进行分析，目标都是加快变形和应力的计算速度，但仍无法满足交互装配过程仿真所需要的计算速度。基于薄壁结构形状特点，用 FSM 法来进行变形和应力分析，如文献[7使用该法研究钢带在冷作成型过程的应力和变形，但其计算速度也无法满足装配仿真时变形快速计算需求，且要求分析对象形状旧能规则。BAIZ等8使用多区域边界元法分析薄壁结构的曲屈应力，与FEM法结果相比精度上具有优势，速度上并无优势。

上述方法需要迭代求解大规模的刚度方程组，求解时计算规模庞大，计算时间很长，通常用于分析装配过程某些状态的变形与应力，难以用于伴随装配过程仿真的变形计算。

另-类是基于解析模型的变形计算方法，存在适用范围孝精度低等缺点，而且通常要靠试验来辅助建立分析模型。目前仅在线缆简单操作中分析弹性变形较为成功，法国的 MIKCHD VITCH等9J对虚拟环境中包含变形和应力分析的梁类零件装配操作仿真进行大量研究，复杂结构计算时也要通过试验来建立变形和应力解析模型。

支持大型薄壁构件装配过程变形计算的力学模型是实现薄壁结构装配过程变形仿真和分析的关键[10-15J。本文提出基于平面三角形网格几何模型的薄壁件弹性变形力学模型，从平面三角单元出发采用 Laplace变形方法构建薄壁件弹性变形基本求解方程、并给出边界条件处理方法。

1 薄壁构件的等效力学建模1.1 薄壁件几何模型表达薄壁件的基本组成是曲面和加强筋，加强筋的作用在于提高构件的刚度和稳定性。本文将加强筋对整个构件刚度的贡献进行等效简化为-张均匀薄板，其厚度为-个 等效厚度”，该厚度保证构件具有与原构件具有相同的刚度，简化后，薄壁件变形化为对薄壁曲面件的变形分析。

本文采用平面单元网格来描述薄壁曲面件，三角网格在变形过程中，按照节点位移求解时保持其平面性，弯曲发生在三角形边上。由于三角形的简单连接关系，可将刚度矩阵、求解模型进行简化，从而加快求解速度。据此-张曲面可近似表达为S (1)f1，2， ，， k1，2， ， ，t， ，2， ，3j J1，2，，J∈ e1，2，3式中 --三角网格- - 网格的-个结点，--网格含有的结点数- - 网格含有的边数目 ，- - 网格含有的三角形数目rj，1 ，2， ，，- - 逆时针排列1.2 薄壁构件的等效力学模型在构造等效力学模型时，根据薄壁构件特点作出以下假设：薄壁件使用-张等厚度曲面来代替，曲面的表达采用第 1.1节中的空间三角网格模型表达；将上述等厚度曲面当做线弹性板壳处理；所研究的变形符合 小变形假设”，在线弹性变形范围；材料为各向同性线弹性模型；三维空间内的线弹性三角单元网格为流形模型，即不含-条边被三个以上三角形共用的情况。

首先，导出线弹性三角面单元刚度矩阵，并给出该三角网格模型的全局刚度矩阵。假定-个三角单元具有结点 ， ， )，节点的 矢量表示 ( Yi zi) ， 该三 角 形 的外法 矢 量栉( 1，如图1所示。

图 1 三维空间内的线弹性三角单元对该三角形，采用质心坐标进行参数化，3个质心坐标为 ，仍，仍)，并为法向添加另-个参数 。

则这4个参数到 ，Y，z的映射关系为l 1jc2Yl Y2l 0x3 ny仍仍同样，x，y，z到参数 ，仍，伤， 的反向映射关系为130 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 9期萎1： .z 仍×由于板壳厚度很薄，法向应力可以忽略，因此仇的影响无意义，因此矩阵中与其有关的项无意义，所以用×指代～式(3)中矩阵的右上角 3x3矩阵记作 ，即f ， ，：] B I ， ，y仍，：l (4)仍， ， 伤， /l对于平面三角单元，其面积为 ( - )×( - )· n (5)式中，v1， ， 为结点v1， ， 的矢量形式，从原点到 结 点 的 矢 量 ， ， ，伤 为 质 心 坐 标 ， 且仍仍1，则将式(4)展开可计算出B矩阵中的每-项 -Y3nzZ3ny nz-Z2ny)/2仍. 堕Ox(-ylnzz，neY3n-z3ne)/2 ： (-y2rtzg2 Ylrz-Zlrty)/2在该线弹性三角单元上，任意-点位移的插值可以简单地表达为仍 仍 伤 (6)式中， ， ， 为三个结点 ， ， 处的位移值，由于不考虑单元厚度，因此仇忽略，则V aaxaaOz由于法向厚度忽略，因此其梯度为 0，故有，l·B 0 (8)设有权重函数w，则在三角单元上对该函数有如同位移-样的插值关系，那么在-个连续区域上的积分在三角单元上可表达为谰 6娩 (Wl W2 W3)L TdA·( )r式中，I BB dA即为刚度矩阵，定义 J I 肋 dAA·肋 (10)对于三角形单元，刚度矩阵k A·B B (11)1 -x3 Y2-Y3 Z2-Z3] Be I - 乃- z3-zl l (12)- X2 Yl-Y2 Z1-Z2根据上述三角形单元的单元刚度矩阵 ，由于三角网格的简单连续性， 为-个对称矩阵，对角线上的项 可由共用结点 的所有三角形的单元刚度矩阵中的所有 之和；非对角线上的项 可由共用边的两个三角形单元刚度矩阵中的 之和。

1.3 薄壁件变形基本求解方程待求解卞坐标示意如图 2所示，卞小变形问题存在如下基本假设。

(1)板厚不变假设。即垂直于中面方向的正应变，很小，可以忽略不计，即占，0，由几何方程得oS/Oz0，从而有 8(x，Y1。

(3)中性层假设，ul瑚0，vl枷0，即 I瑚0，吼：0 0， 0。

图2 待求解卞坐标示意则根据弹性力学理论可导出基本求解方程2V f (13)Ef-12(1--/2) 式中 --待求位移厂--外力- - 材料泊松比E--弹性模量V - 阶 Laplace算子t--当量板厚(9) 1.4 空间三角网格上的高阶Laplace算子基本方程为待求位移 的 4阶 Laplace算子形式，所以可以采用高阶 Laplace算子变形相关方法来求解变形。

、 、、2013年5月 程奂狲等：支持薄壁结构交互装配变形仿真的力学模型研究 133位移计算误差 合成应力计算误差结点号 FEM 结果 本方法结果 误差 FEM结果 本方法结果 误差dl/mm d2/mm Ad/mm tY1/(N/mm) tr2/(N/mm2) r/(N/mm2)图8为位移计算结果的误差曲线，由图可见位移计算值误差不大，如果考虑到测点位置的误差，则计算精度更高∩见本文方法对于板料变形形状的求解结果与有限元法相比具有较高的-致性。图9为合成应力计算结果误差曲线∩见应力的求解结果误差普遍较大，而且呈现出距离被移动结点越近则误差越小，本文模型计算出的结果普遍偏大的现象。

图 8 测点的位移计算误差图9 测点的合成应力计算误差原因分析如下。

(1)合成应力普遍偏大：与三角网格在变形中保持平面，仅靠改变角度来体现变形这个特性有关，这导致同样的弯曲变形主要体现在结点和边处而不是分布在单元上。

(2)距离被移动结点越近则计算误差小：位移值计算在被移动结点附近更加精确，而应力的计算是倚靠位移求解结果进行的。

(3)刚度偏大：模型计算的结果距离被移动的结点越近，则计算结果越偏大(正误差)，而距离越远则结果越偏小(负误差)，这是由于本文模型采用的刚度变换导致刚度偏大导致的。

3 结论(1)在求解薄壁件弹性变形过程中采用基于平面三角形网格几何模型的 Laplace变形法能够避免传统FEM计算中的迭代计算过程，具有较高的求解效率。

(2)使用本文讨论的方法对于结点位移的求解与 FEM 的板壳单元求解结果具有较高的-致性，能够满足虚拟装配过程中方案验证的需要；对于应力求解误差较大，但该误差是由于网格性质和刚度变换导致的，可以通过加密网格、调整刚度变换参数来克服。

(3)在虚拟装配仿真系统中采用本文讨论的方法计算薄壁件的变形和应力，能够达到快速求解的目的，进-步将求解过程所需的很多信息直接存储正在附属于网格结点的数据结构中，简化矩阵运算工作，能够进-步加快求解速度，满足交互虚拟装配仿真时的变形计算速度需求。