数控机床加工过程综合误差数学模型

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当今，数控机床的应用越来越广泛，数控机床的加工精度是切削加工的核心问题，减杏工误差是提高加工水平的重点 。其中，几何误差是机床最为主要的误差源 I4 ，但是随着数控技术的不断发展，以及现代机械加工中精度要求的提高，切削力导致的误差问题变得重要起来 。数控机床加工过程中几何误差和切削力误差同时存在，工件的质量受几何误差和切削力误差的综合影响。

在现代精密加工制造的情况下，由于数控装备的误差而导致加工精度不达标的问题 日益突出，数控机床加工过程中，多种误差源的存在制约着零件精度的提高 。现在-般应用两种方法来提高数控机床的加工精度：其-就是误差防止法，致力于提高数控机床各个部件的制造精度，但是这种方法的成本随着机床精度的提高呈指数形式增长；其二就是误差补偿法，首先对机床的各种误差进行分析，然后借助数控系统产生-种新的误差，使其与原本误差进行抵消，最终达到提高加工精度的目的。这种方法相比于传统的误差预防法 来说是-种经济便捷的手段，在实际应用中意义重大。目前，作为现代机械制造业的重要技术支柱之-的误差补偿技术得到了广泛的应用 。

误差补偿技术就是通过测量分析机床误差，建立误差补偿的数学模型，人为的创造并引入-个新的误差源，使其与现有误差相抵消，从而达到数控程序指定的运动轨迹，实现机床精度的软升级 。综上所述，误差补偿技术就是以测量误差、分析误差和建立误差补偿数学模型为基础的技术 ，要实现误差补偿首先就得精确测量误差，分析误差的来源以及规律，从而建立误差补偿的数学模型，最后达到误差补偿的目的。

本文建立数控机床加工综合误差的数学建模，就是推导出工件与刀具，在机床空间内的相对位置误差与机床传动链各部件偏离正确位置导致的误差之间的函数关系。

1 数控机床坐标轴和运动方向的规定本文应用齐次坐标变换来推导综合误差的数学模型。首先建立机床的绝对坐标系和各部件的局部坐标系，确定机床各个溜板的运动方向，这样才能应用齐次坐标变换原理，找到各部件坐标之间的齐次变换矩阵，从而描述刀具与工件的相对位置误差。

图 1为三轴立式加工中心示意图，如图 1所示，首先将绝对坐标系 0建立在机床基座上，且方向与机床坐标轴 轴、y轴、z轴的方向-致。然后，分别将局部坐标系 、， 、z 、 、s、c、 建立在 向溜基金项目：河南戍础研究与前沿技术基金项目(082300413204)作者简介：樊 皓(1986-)，男，辽宁沈阳人，硕士生；李 航(1964-)，男，河南洛阳人，教授，博士，硕士生导师，主要研究方向为精密测试理论与技术。

收稿 日期 ：2012-05-11第 1期 樊 皓等 ：数控机床加工过程综合误差数学模型 ·17·板、，向溜板、z向溜板、工作台、主轴、刀具、工件上，且方向与绝对坐标系 0-致。为了便于分析，同时降低模型的复杂程度，设机床零点为绝对坐标系 0的原点，并且在加工中心铣削进给初始时，将机床各个局部坐标系的原点也设置在机床零点。在加工中心切削时，工件通过夹具装夹在工作台上，它和工作台间没有相对运动，两坐标系-直重合。

2 数控机床关键部件(传动链)的综合误差模型2.1 加工误差产生的机理图2为加工误差产生的机理示意图，机床传动系统是由- 系列开环传动链组成的，传动链的-端是工件，另-端则是刀具。对这类机构的-个根本要求是刀具与工件问的相对位置误差不能超过规定的范围。切削加工中，零件的加工精度主要撒于工件和刀刃在切削成形运动过程中相互位置的正确程度。工件和刀具安装在机床和夹具上，并受机床和夹具的约束。切削加工过程中决定加工表面几何形状、尺寸和相互位置的工艺系统的各个环节如偏离了正确的相对位置，就会引起加工误差。工艺系统 自身的原始误差称为几何误差， 图1 三轴立式加工中心示意图而由于工艺系统受加工过程中切削力的影响，所导致的刀具和工件之间的相对位置发生偏移产生的误差称为切削力误差。数控机床的综合加工误差就是几何误差和切削力误差的矢量和，它们有时相互抵消，有时相互叠加。

2.2 数控机床关键部件的综合误差模型2.2.1 X、Y、Z轴移动副的综合误差模型图3为 轴方向的误差分量示意图，在切削力的作用下， 向溜板存在几何误差分量和切削力导致的误差分量 。

Z0图2 加工误差产生的机理示意图 图3 x轴方向的误差分量示意图当X方向溜板作切削进给运动移动距离 时，X向溜板存在几何误差分量：线性误差 6 、6 、 ，角位移误差 、 、 ；存在切削力误差分量：线性误差6 、艿 、6 ，角位移误差 、 、 。y轴与X轴之间的垂直度误差 s F、s G ，坐标系 X 相对于坐标系 Y 的齐次变换矩阵为Tx，y， Tx， ·T△ ， Ts- ，18品 - - 0- 三- - 二-10- - 106 66 6 (s s F ) 61式中， ，是 X向溜板和 Y向溜板之间的垂直度误差导致的齐次变换矩阵，· 18· 河 南 科 技 大 学 学 报 ：自然 科 学 版T- x y。

1s 00G F- y - y100同理可得，y轴和 z轴的综合误差数学模型。 巧。 1 1l 0 0 0 1 - F 6 z F]，。 Tz，oTz，oT z，o l- 鼍 Z ： 8 6 s l。 占-ys帖十z l z I2.2.2 主轴综合误差模型图4为主轴误差分量示意图，如图4所示，在切削力的作用下，主轴上存在平移误差6 6 、6： 和转角误差 0 OyS o机床加工时，主轴坐标系 s相对 z向溜板坐标系 z 的齐次变换矩阵1 0O l- 0 s 0 s0 00 s 6- 0 s 6 51 6 50 l(5)2.2.3 刀具综合误差模型刀具固定在主轴上，在加工过程中产生切削力引起的平移误差6 、6 6 那么刀具坐标系c相对于主轴坐标系S的齐次变化矩阵1 0 0 6 c0 1 0 占 c0 0 1 6 cO 0 0 16(2)(3)(4)图4 主轴误差分量示意图(6)2.2.4 工作台综合误差模型数控机床加工过程中，产生切削力引起的平移误差6-艿 占 和转角误差 0 OyT"，0 那么工作台坐标系 相对于 向溜板坐标系 的齐次变换矩阵- Trx，1 -0 0 r r0 r 1 -0 6 r- 0 r 0 r 1 6：r0 0 0 1(7)3 数控机床加工过程综合误差数学模型的推导在机床实际加工.过程中，当机床按照数控指令作进给运动， 、)，、z三轴分别移动，机床受到切削力作用，不仅存在几何误差还有切削力误差，根据齐次坐标原理，可得坐标系 相对于坐标系c的齐次变换矩阵Tc ：Tco·T0 (Tcs·Tsz，·Tz，0)·( 0y，· y - ，r·T )。 (8)F 矗0 O 1 G co，L 0 0 1 0 第 1期 樊 皓等：数控机床加工过程综合误差数学模型 ·19·为了推导出加工过程中由于几何误差和切削力影响造成的各轴综合误差，引入刀具坐标系 C相对于工件坐标系 W的综合误差矩阵E。 ，基于齐次坐标原理可得EG 1△ -- △00- △0-1△0O△0 △- △0 △Y1 △0 1(9)矩阵中△ 、Ay、△ 就是所要求得的三轴数控机床综合误差，即刀具实际切削点相对于理论切削点在 、l，、Z这 3个轴方向上的位置误差。假设机床加工过程中并不产生几何误差、切削力误差以及其他误差，那么得到刀具坐标系 C相对于工件坐标系 的齐次变换矩阵 T。

，Tc (TcsTs ，·Tz，o)·(To ，·T · ， ·T )1 00 10 00 000 Y10 1(10)在实际机床工作情况下，误差影响加工精度，设综合误差变换矩阵为 E。

，那么理想情况下 ，坐标系C相对于坐标系 W的变换矩阵与实际情况下这两个坐标系的相对变换矩阵的关系为Tc Ec Tc ， (1 1)得到Ec Tc ·(Tc )1 - A0 A0y AxA0 I - AO Ay～ AOy △ 1 △0 0 0 1 (T。 ·T ，· ，。)·(T。 T ，·T · )·( 。 )～； (12)- - - - (Tcs。Tsz， ，0)。(T0y，·T ，· ， ·T )·1 O 0 -0 1 0 ～v0 0 l -0 0 0 1， (13)式中，T 、Tsz，、Tz T 、T -、Tx T， 这 7个变换矩阵在上文中已经分析推导求得，分别代人式(13)中，忽略高阶项，得到数控加工切削力误差数学模型AXx(2- - G - -oD- F - ))，(0 G -2 s F -2 ) (-0 - -Oyez)6 6 6 。6 6 6 艿 6 6 ； (14)△y (-0 r 2-；Gy2 20vr20rz)2yz(0 r ：yo5-2- s-2- F)6 6 6，G6 6 8 G6 6 占 F ； (15)AZ (0 -20 s-2-：Gz-2s -2 - - -2 F -OyF- )y(20 s～0 2- c2s 2 - - 2 -o5-o5)6 6 。6： 6 6二。 (16)4 结论利用机器人运动学的齐次坐标原理，建立了包含 21项几何误差分量和35项切削力误差分量的三轴立式数控铣床的加工综合误差数学模型，给出的误差分量识别方法和综合误差建模方法具有通用性，可以应用在其他类型的数控机床误差建模中，所建立的综合误差数学模型为数控铣床综合误差补偿做好了准备。