含运动副间隙的平面函数机构运动点可靠性分析

第 20卷第 5期2013年 10月工 程 设 计 学 报Chinese Journal of Engineering DesignV0l|20 NO．5oct．2O13DOI：10．3785／j．issn．1006—754X．2013．05．010含运动副间隙的平面函数机构运动点可靠性分析邹文韬，王志刚，张均富(西华大学 机械工程与 自动化学院，四川 成都 610039)摘 要：运动副间隙是影响机构运动与动力性能的一类最重要的不确定性．为精确估计含运动副间隙的机构运动可靠度，建立机构运动间隙合理、有效的概率模型是关键．为此，以含运动副间隙的函数生成机构为例，在其运动误差函数中综合考虑机构的结构误差和随机误差，应用截尾混合降维法对运动副间隙变量进行处理并建立机构运动误差的概率等效模型 ，采用一次二阶矩法实现等效模型的求解．数值实例验证了截尾混合降维法在考虑结构误差和随机误差含运动副间隙的函数机构运动可靠性分析中的有效性.

关键词：运动可靠度；函数机构 ；运动副间隙中图分类号 ：TH l12；TH l15 文献标 志码 ：A 文章编号 ：1006—754X(2013)05—0409—05Point kinematics reliability of planar function mechanisms with j oint clearanceZOU Wen—tao，WANG Zhi—gang，ZHANG Jun—fu(School of Mechanical Engineering＆．Automation，Xihua UniversiW，Chengdu 610039，China)Abstract：Joint clearance is the most important uncertainty to affect on kinematic and dynamic per—formance of mechanisms． To accurately evaluate the kinematic reliability of mechanisms withjoint clearance，the key is to create reasonable and effective probabilistic model of joint clearance.

Taking the function generator mechanisms with j oint clearance for example，the structure errorand random error were considered to create the motion error function of mechanisms． The CutHybrid Dimension Reduction Method was applied to handle the correlation of joint clearance vari—ables and then the equivalent probabilistic model of motion error was established．The First Or—der and Second M oment method was used to solve the point kinematic reliability of the mecha—nisms．The results show that the Cut Hybrid Dimension Reduction Method iS validation for sol—ving kinematic reliability of planar function mechanisms with joint clearance when the structureerror and random error are considered.

Key words：kinematic reliability；function mechanisms；j oint clearance真实机构系统 总是存在尺寸公差、运动副间隙以及材料受热受力变形等不确定性，这些不确定性导致机构真实运动输出与理想期望输 出之间存在偏差．机构运动精度可靠度就是对这种偏差 的概率描述．目前 ，机构运动精度可靠性研究包括 ：1)在给定机构主动件运动规律下机构运动输出在某指定时间点达到规定值或落在允许范围内的概率；2)机构在指定运动区间上其运动输出达到规定值或落在允许范围内的概率．前者称为机构运动的点可靠度 ，其研究较为成熟_l ；后者称为 区间可靠度 (或时变可靠度)，其研究已开始起步I6。].

机构系统 中，运动副间隙对其运动和动力性能影响很大．适量的运动副间隙是保证机构运转灵 活的基础，但运动副间隙的存在将严重影响机构的运收稿 日期 ：2012—11-23.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275425)；教育部“春晖计划”资助项 目(z2011081).

作者简介：邹文韬(1988一)，男 ，重庆万州人 ，硕士生，从事机构概率设计研究，E—mail：blacksnow521###126．com.

通信联系人：张均富(1972一)，男，四川乐山人 ，教授，博士，从事概率工程设计、机器人机构学研究 ，E-mail：zhangjunfu###126．com.

工 程 设 计 学 报 第 2O卷动精度，引起机构 的振动与冲击．凶此 ，研究含运动副间隙的机构系统的运动与动力学性能对真实机构的设计有着重要意义．在机构的运动精度方面，运动副间隙对机构运动误差的影响 已被学者们 广泛关注l8 ．但在现有研究文献中，考虑含运动副间隙的机构运动可靠性的研 究还不完善，所建立的可靠性分析模型的有效性和求解算法的精度有待研究.

最近 ，Wang等 解 释 了 用 FOSM 方 法 和FRM 方法求解含运动副间隙机构的运动可靠度精度差的根本原因在于运动副间隙变量间的统计相关性 ，基于此提出了含运动副间隙 的机构运动可靠性建模 方法～ 混合 降维 方法 (hybrid dimensionreduction method，HDRM)，采用 FSM 方法对考虑随机误差 (含尺寸公差、运动副间隙)的曲柄滑块机构运动可靠度分析获得满意精度解．然而，真实机构系统的设计一般应考虑机构的结构误差和随机误差 ，因此如何将机构 的这 2类误差合并考虑进行机构的可靠性分析有待进一步研究．为此，提 出采用文献[13]的 HDRM方法研究综合考虑前述两类机构误差的平面 函数生成机构 的可靠性建模 和分析 问题，以期对 HDRM 方法进行拓展并应用到更具一般性的机构可靠性分析 ，进而增强该建模方法 的实用性 .

1 机构运动误差建模1．1 机构运动分析不失一般性 ，以含运动副间隙的 曲柄摇杆机构为研究对象 ，如 图 l所示．图 1中，曲柄转角 0为机构运动输入，摇杆摆角 为机构运动输 出．记 L一(L ，?，L )，构件尺寸 L，(i— l，? ，4)通常看作服从正态 分布的独立 随机变量 ，也 即 L～ N( ，盯 )，均值 一 ( ，? ， )为对应尺寸的名义尺寸 ，标准差 一 (0-， ．，?0- )采用 3 原则确定．机构的 4个回转副用 C。，C ，C 和 C 表示，其间隙大小用间隙圆半径 r 表示 ，r 一rh— 其中 rb表示轴承半径 ， 表示轴颈半径．以每个轴承几何中心为参考点建立该运动副的局部参考坐标系 ，则轴颈 几何中心在其对应局部坐标系中的位置为 c，(X ，Yj)( — l，?，4)，应注意到 X ，y，为统计相关的随机变量．通常均假设变量 X ，y 在 间隙圆内服从均匀 分 布 或 正态 分 布，”j，这 里假 设 其 服从 均 匀分布.

根据图 1，含运 动副间隙的曲柄摇杆机构 的环路方程为图 1 含运动 副间隙的 曲柄摇杆机构Fig．1 Crank—rocker mechanisms with joint clearanceLl COS +L2 COS 一『J_{cos妒一L4+Xl+ 2一 j X1=0，1Ll sin +L2 sin L3 sin +yl+Y2一Y3 Yl=0． J(1)由此可 以得到机构运动输出为一 2arctan B~~／B2~A 2-C2 1，(2)式中，A一 2EL。，B一 2FL ，C— E +F。+， ～L；，E — LI～ Ll COS + Xl斗u X2一 X{ X ，F — Ll sin 0一 Yl Y2+ Y + y .

1．2 机构运动误差的概率模型用于函数生成的曲柄摇杆机构的运动误差定义为机构实际输 }H (s， )和理想输 m ·( )问的偏差 ，即g(S， )一 (S， )一 1( )， (3)式中，S一 (L，( ，y))，L一 (j ，?。』 )为机构尺寸变量，(x，y)一 ((X ，Y )，?，(X ，y_))为机构的运动副变量 ，g(S， )为机构运动误差函数.

将式(3)改写为g(S， )一 EC(s， ) ( ， )]+[ (ps， )一 ( )].

(4)由式 (4)可 知，机构 运 动误 差 包括 结 构误 差g ． (g 一 ( s，0)一 (0))和 随 机 误 差g? (g 1d一 (S， )一 (|【‘s， ))两部分.

若仅考虑尺寸公差 的随机性 ，则可将误差 函数g(S， )在均值 s处近似展开为g(S， )≈g(ps， )+∑n ( ， ) ·U ，(5)式 中，ps一( f 1，?， f 1)n ( s， )： 1 ，由直接线性化方法 求解.

根据 式 (4)、(5)可得 到 g(S， )的均值 (s，)为(s， )一 g( s，臼)一 CqUs， )一I)[I ( )． (6)第 5期 邹文韬，等：含运动副间隙的平面函数机构运动点可靠性分析由式(5)可得到 g(S， )的方差 ：(s， )为4；(s， )一∑口 ( ， )· 2 .

i— l差函数 g(S， )的均值和均方差.

(7) 3 实例分析同时考虑机构的尺寸公差和运动副间隙 ，可采用截尾降维方法 (Cut—HDRM) ¨ 进行机构运 动误差建模．根据文献[13]，对误差函数 g(S， )截尾降维处理得到g(S， )≈ g(s， )一 ＆o+ ( GL U )+ 一 1 —¨1∑g(Xj，Yj， )， (8)式中，ao一(1一q)g( s， )，n 一 l ，U ～ N (0，1)，ps 一 (pL，( x， y)) 一 ( L ，? ，tit1， (／ix1，1
)，? ，( x4，,uv4))，(X，，Yj，psXi~ ) 一 ( L， ( x ，? ， x一 ，X ，／zx,+ ，? ， x4，／Iy ，? ， 一 ， ， yJ+ ，? ，／iy4))·对式(8)中毒(s， )进行矩估计得到其均值为≈n。+∑ rc『， (9)其方差为2≈∑( ) +∑ 2 (10)式中， 和 采用 7点高斯积分求解n引.

2 运动可靠性分析机构运动精度可靠度的定义为：在特定条件下、规定时间内，机构运动误差落在给定误差 限范 围的概率．根据式(3)，机构运动精度可靠性的极限状态方程为l g(S， )l— l (s， )一咖( )l≤￡， (11)式 中，e为机构运动误差 限.

则机构在时间点 0处的可靠度R( )为R( )一Pr{I g(S， )l≤ ￡}一Pr{一 ￡≤ g(S， )≤ ￡)， (12)其中，Pr{*}表示事件发生的概率.

对应的机构在时间点 0处的失效概率 P ( )为Pf( )一Pr{l g(S， )I> e}一Pr{g(S，臼)> ￡U g(S， )<一e}．(18)应用 FOSM 方法，机构运动精度可靠度为R c一 ( )一 (二 )，(14)对应的机构运动精度失效概率为Pf( )一 1一 R( )， (15)式 中， (s， )， (Js， )分别表示机构运动输 出误设用图 1所示曲柄摇杆机构实现正弦函数 —sin-z( ∈Eo。，90。])和反正切函数 — arctan z(z∈[O，1])．机构的转角参数和允许误差限如表 1所示．设机构的运动副间隙 Ci(Xj，Yi)服从均匀分布 ，间隙半径 r 一 0．05 mrn，机构运动输出误 差限￡一 0．25。
． 机构尺寸变量 L (i一 1，?，4)服从正态分布 ，分别见表 2和表 3．试求其运动精度可靠度.

表 1 机构的转角参数和允许误差限Table 1 Rotation angle parameters and allowance oferror of mechanism表 2 正弦机构的尺寸变量及其分布Table 2 Distribution of random dimension variables ofsine mechanisms表 3 反正切机构的尺寸变量及其分布Table 3 Distribution of random dimension variablesof arctangent mechanisms图 2为仅考虑尺寸公差 同综合考虑尺寸公差和运动副间隙的机构运动失效概率的对比曲线．其中，图2(a)为正弦机构的机构运动失效概率曲线，图2(b)为反正切机构的机构运动失效概率曲线，FOSM T为用FOSM方法求解考虑尺寸公差不确定性影响的机构运 动 失效 概率 曲线，FOSM
—
C为 用 Cut—HDRM／FOSM 方法求解综合考虑尺寸公差和运动工 程 设 计 学 报 第 20卷副间隙的机构运动精度失效概率．图 2表明 ，运动副间隙对机 构 运动 精度 及其 可 靠度 的影 响是 非 常大的.

el(。)(a)正弦机构的运动失效概率，( )(b)反正切机构的运动失效概率图 2 运动 副间隙对机构运动可靠性的影响Fig．2 The effect on the kinematic reliabilityof joint clearance图 3为采用 FSM，Cut—HDRM／FOSM，MCS等方法求解得到的机构运动精度失效概率 曲线，该可靠性分析模型中同时考虑 了尺寸公差和运动副间隙两类不确定性．其中 ，图 2(a)为正弦机构的机构运动失效概率曲线，图 2(b)为反正切机构的机构运动失效概率曲线．从图中可以看 出，Cut—HDRM／FOSM，MCS的求 解 结果 相 当接 近，而 直接 采 用FOSM算法求解其误差较大．文献[13]指出 FOSM算法无法表达运 动副间隙变量 c，(X，，y，)的相关性 ，进而导致其用于求解含运动副间隙机构的可靠度具有较大误差.

4 结 论针对含运动副间隙的机构运动精度及其可靠性问题，本文将截尾混合降维法进行拓展，并成功地用于综合考虑结构误差和随机误差的平面函数生成机构的运动误差建模，并分析了曲柄摇杆机构实现正弦和反正切函数的瞬时运动失效概率．实例分析表明：臼／(。)(a)正弦机构的运动失效概率0／( )(b)反正 切机构的运动失效概 率图 3 含运动副间隙的机构运 动失效概 率曲线Fig．3 The probability failure of mechanisms withjoint clearance1)运动副问隙对机构运动精度可靠性具有显著影响．相对于仅考虑尺寸公差而言 ，若在机构运动误差建模中还考虑了运动副间隙，则机构 的运动精度失效概率明显增大.

2)采用混合降维法获得的含运动副间隙的曲柄摇杆机构 的瞬时失效概率比直接采用一次二阶矩法获得结果更加接近蒙特卡洛仿 真结果 ，冈此采用混合降维法具有更高的精确度.

3)实例验证了将截尾降维算法拓展应用到综合考虑结构误差和随机误差的含运动副间隙的平面函数机构运动可靠性分析是可行、有效的．该研究拓广了截尾降维算法的应用范 围，为更广泛地含运动副间隙的机构运动可靠性分析提供了有力 T具 ，也为真实机构的设计奠定了基础.

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