基于三维的摩擦表面分形维数计算方法

Three.dimensional Calculation Methods of Fractal Dimension I.0rFriction SurfacesSun Ang Zhu Xinhe Xu diuiun(Transportation Equipments and Ocean Engineering Colege，Dalian Maritime University，Dalian Liaoning 1 16026，China)Abstract：The calculation results of fraetal dimension by the method based two-dimensional surface axe uncertainty andrandomness.Four kinds of three-dimensional calculation methods，Fractal Brown Act method，the original box dimensionAct method，improved differential box-counting method and wavelet transform method were used respectively to calculatefraetal dimension of the three-dimensional surface constructed with W -M function，and the calculation results were com-pared with the standard value of fractal dimension.The resuh shows that box-counting method has the largest elTor becauseof the restriction on the number of sampling points the calculation scale cannot be too large，therefore only in smal scaleit has good linearity.Wavelet Transform has little error，but the calculation is complex，and the filter influences the calcu-lation result severely，therefore it is crucial to choose a suitable filter.Fractal Brown Act method has better linearity andlitter eror which is less than 3% .Therefore Fractal Brown Act is a suitable method to calculate the 3 D fraetal dimension offriction surface。

Keywords：three-dimensional surface；fraetal dimension；fraetal brown dimension；box-counting method；wavelettransfol1TU摩擦磨损系统是复杂的非线性动力系统，分形理论作为非线性研究的-种新方法，近些年来在摩擦磨损的研究中得到应用，为摩擦磨损的深入研究提供了新的途径。Majudar和Bhushan基于 w-M分形函数以及分形参数的尺度独立性，并结合 Hertz定律和基金项目：中央高校基本科研业务费资助项目 (3132013312)；大连海 事 大 学优 秀科 技 创新 团 队培 育 计划 资 助 项 目(2012TD012)。

收稿 日期 ：2013-02-08作者简介：孙昂 (197O-)，女，博士研究生，副教授，研究方向为现代润滑理论及应用.E-mail：sunangd10772###sina.COB。

Zhou等 根据M.B分形接触模型和Archard的黏着公式建立了完整的磨损预测分形模型，并根据该公式求得使磨损率最低的理论分形维数值。Wang等 对模型不断改进，把微接触点的变形状态由原先的弹性、塑性扩展到弹性、弹塑性、塑性3种，并确定了临界接触面积和分形模型的分析方法，使分形模型更加接近实际工况。王新华等 根据塑变理论推导出磨粒磨损模型，确定了分形维数与磨损率的规律，并得出最佳分形维数值。Zhou 考虑到磨损的实际过程，首次将分形磨损公式分成磨合阶段、正常磨损阶段、急剧磨损阶段3种情况并得出理论分形预测模型，模拟出14 润滑与密封 第 38卷粗糙表面整个磨损周期变化规律，并提供了模型的实验验证方法。

从上面的研究中可以看出分形维数的计算对于摩擦磨损的预测具有十分重要的作用。此前受表面形貌测量工具所限，国内外对摩擦磨损表面的分形研究局限在二维表面，对三维形貌的研究往往采取二维轮廓曲线族来代替 ，这给研究带来很大的随意性和不确定性 ，近几年来出现了三维空间数字图像的分形维数计算方法 ，因此本文作者将研究误差最小的三维摩擦表面分形维数计算方法。采用如下方法：先根据三维w-M函数模拟出标准的曲面，然后用分形布朗法、原始盒维数法、改进差分盒维数法和小波变换法计算该标准曲面的分形维数值，将计算所得的分形维数值分别与标准值 比较，就可得出误差最小分形维数计算方法。

1 分形维数1.1 布朗运动维数分形布朗运动 (FBM)是被广泛采用的-种描述自然界复杂随机运动的数学模型 ，当考察某-点的邻域时，通常总能找到-个满足 FBM的曲面来拟合邻域内点对应的空问曲面，据此可计算得到该图像区域的布朗运动维数 (BMD)。

对于图像中 的区域，若其中各点高度 ，(i，)构成指数为 的分形布朗曲面，则有：E(I，( ，Y )-，( ，Y。)I)oc( 可 )令：AI△rl，( 2，Y2)-，( l，Y1)lArV/(x2- 1) (Y2-Y1)于是有： 1 △ 。C(△r)式中：Ⅳ 表示该 区域 中所有距离 为 △r的点 的个数。

考虑到数字图像中点的位置是离散化表示的，△r通常取为-系列整数，即Ark1，2， ，M于是有： △，△r。C式中：Ⅳ△，表示该区域中所有距离为 的点的个数，两边取对数可得 ：ln 1，)肌n c (2)式中：C为常数。

可见，只要求出-系列ln( 1 -I )及1n 2个数据对的值，便可通过最小二乘法估计出H的值。

鲁0 1 2 3 4lg(r/p-m)图 1 FBM法计算的双对数图Fig 1 The bi-logarithm figure using the FBM method1.2 原始盒维数法 (DBC)及改进盒维数法 (RDBC)盒维数法是先将三维曲面划分为-个个立方体单元，-个立方体就可以看做-个 盒子”，然后用高度不同的盒子分别去覆盖三维曲面，然后统计出所用盒子总数量，最后根据特定算法来计算出分形维数的方法。根据所用统计方法的不同可以将算法分为原始盒维数法 (DBC)和改进盒维数法 (RDBC)。

原始盒维数法计算步骤如下：(1)将三维曲面的投影得到平面 XOY，本实验中XOY平面由1 024×1 024的矩阵组成～该平面平均划分为尺度为 ×7.的正方形单元。每个正方形单元的4个结点分别对应 4个表面轮廓幅值分别为Z(i，)，Z(i1，J1)，Z(i，J1)，Z(i1，J)。这样图像平面XOY的每边就被分为 (1 024/T)份，第三维z轴也同样被分为 (1 024/)份，设 为单个盒子高度，则hmax(。)/(1 024/T) (3)这样就得到各单元4个结点的高度值 h(i， )，h(i1， 1)，h(i，J1)，h(i1， )。

(3)找出4个高度值中最小值，记为 b，则覆盖该段曲面需要的盒子数n(i，)(a-b)/T1INT((max(z(i，J)，z(i1， )，。(i√1)， (i1，J1))-min( (i， )，。(i1，)，z(i， 1)，z(i1，J1)))/ 1) (4)其中INT表示取整运算。

(4)依照此法，计算出覆盖全部曲面需要的盒子数.s(7-)。

2013年第 8期 孙 昂等：基于三维的摩擦表面分形维数计算方法 15Js( )： ：n(i， ) (5)(5)逐步增大尺度 7，记录每个尺度下的 值，得到 (1g ，lgS(r))数组。用线性回归可得斜率K，这样分形维数值D-K。图2为D2.5的标准曲面用DBC法计算时的双对数图。

l412莹1086422 3 4 5 6 7Ig(r/m)图2 DBC法计算的双对数图Fig 2 The bi-logarithm figure using the DBC methodRDBC与 DBC法前两步相同，主要的不同在第三步 n值的确定：nINT(max(z(i， )， (i1， )，z(i， 1)，z(i1 J1))/h-INT(min(z(i， )， (i1， )， (i， 1)，z(i1， 1)))/h) (6)式 (6)意味着盒子不是从网格最小值处开始计数，而是从同-的高度开始。该法能有效避免计数过程中的人为因素，使计算结果更接近真实的分形维数值。图3为D2.5的标准曲面用 RDBC法计算时的双对数图。对比图 2可以看出在小尺度时，纵轴lgS( )的值明显增大了。

2 3 4 5 6 7 8lg(r， m)图3 RDBC法计算的双对数图Fig 3 Th e bi-logarithm figure using the RDBC method学 放大镜 ”。从这- 点上看 ，小波与分形在分析思想上有相同之处。因此小波变换也常被作为计算分形维数的手段之-。小波变换法的核心是-系列数学滤波器，处理图像信号需要使用离散二维小波，它将-组表面形貌信号分解为4部分，具体步骤如下 ：将三维曲面信号记为C㈨ ，n，m分别为行下标和列下标，则二维小波变换过程为，先利用分析滤波器 h，g对每-个行向量做小波变换，得到低频部分 ∑ Ckl，l，j和高频部分∑g C川-f. ，然后分别利用分析滤波器 h，g对已得到数据的每-个列向量做小波变换，这样就能得到 4组系数：低频系数C 和 3个小波系数 d 1。

d 1. d . ，最后得到每个系数都是原形貌大小的1/4。因此看来，二维变换相当于将-维变换连续用了2次。

对于-个特定分形信号( ，Y，z( ，Y))，其标准差为 ，有1 r∞ - 2Var(d m)2 J l (∞)l d∞ (7)二 1TJ- I ( I将式 (7)两边取对数，可以看出lg(Var(am))- lgm应为-条直线～三维曲面信号进行小波分析得出小波系数 并代入式 (7)，并用线性回归进行分析，得出其斜率k，则曲面分形维数 D：3-K。图为 D2.5的标准曲面利用 db3”小波基经 9层小波变换计算所得的双对数图。

0.0 0.5- 1.0- 1.5- 2.0 2.5. 3.00 2 4 6 8 10Igm图4 小波变换法计算的双对数图Fig 4 The bi-logarithm figure using the wavelet transformation2 计算结果分析1.3 小波变换法 使用前述的4种方法分别计算 D2.2，2.5，小波变换的特点是使用的观察尺度越小，观察 2.9的标准曲面，并计算其误差，所得结果如表 1所到的细节信息越丰富，因而可以将该功能理解为数 示。

4 2 0 8 6 4 2 目 -h v的)暑16 润滑与密封 第38卷表 1 4种方法计算的分形维数及其误差Tab1e l Fractal dimension and their en0rs calculated four kinds of methods可以看出，4种方法计算的曲面分形维数，分形布朗法和小波变换法的精确度基本相同，且大于其他2种方法，而原始盒维数法计算结果误差最大，因为其受采样点数量的限制，选择的尺度不能太大，只有在小尺度时，直线性较好，随尺度的增大，计算结果相互重叠，直线性越来越差，尺度最大的-段几乎呈平行状态。虽然小波变换法误差较小，但其有2个缺点，-是数学计算复杂，且使用的滤波器不同会使结果不同，因此选择合适的滤波器非常重要；二是在计算复杂曲面数据时，很容易跳点 (如图4所示)，这会给计算带来不确定性。分形布朗法直线性较好，误差也较小，误差基本在3%以内。

3 结论比较了4种三维摩擦表面分形维数的计算方法，结果表明：(1)采用盒维数法计算时，选择的尺度不能太大，只有在小尺度时，直线性较好；(2)小波变换法计算的分形维数误差最小，但数学计算复杂，且使用的滤波器不同结果也不同，因此选择合适的滤波器非常重要；(3)分形布朗法适于小区域的计算，误差小，直线性好，适于三维摩擦表面分形维数的计算。