含间隙四自由度系统混沌动力学分析

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钢铁行业的快速发展带动了各类轧机承载能力及电机转速的大幅度增加。-些重型轧机上下工作轧辊分别使用不同的电机驱动，轧机传动系统连接处部件甚至辊颈经常遭到损坏 ，事故的发生与含间隙传动系统的扭转振动息息相关，并且呈现出异常复杂的动力学特性，为工业生产带来了极大的不便。许多研究者致力于轧机扭转振动方面的研究以揭示其机理，掌握其规律，从而加以控制和利用。

对于工程机械系统的运动分析和研究，经常采用经典物理学理论 (-般不考虑间隙的影响)。实际工程中，由于机械传动系统的安装和磨损等因素使得间隙存在是不可避免的。含问隙机械系统的理论研究已经引起了国内外学者的广泛关注 [2-31 9并且对于含间隙、摩擦等分段光滑力学因素的力学模型的动力学特性和混沌控制方面也得到了深入的研究。

随着混沌动力学理论的发展，目前在轧机传动系统动力学研究中，含间隙机械系统的应用研究也在日益深入 [4-16]o如李万祥和丁旺财等人将轧机传动系统简化为三 自由度含间隙模型并对其进行分析，发现三自由度系统存在复杂的混沌特性 。孟令启和吴浩亮等人对立辊轧机扭转振动进行非线性分析，克服了以前线性系统建模中刚度和阻尼不随时间变化的缺点 。李鸿光与闻邦椿等人对含间隙轧机主传动系统扭振特性进行了研究，将系统简化为单自由度模型进行解析计算和数值分析，研究其模型主要是分析轧辊与轧件动摩擦系数非线性的影响，表明系统存在混沌运动特征 。上夯通大学何迪等人为调制与解调无线通讯中超混沌系统方面作出了贡献 [12]o高飞等人在控制离散混沌系统方面提出了-种新的方法 [14]0由于现实中辊缝打滑现象频繁，难以实现轧机的稳定轧制状态，轧制力矩出现大幅度波动，其主要成分是简谐波动，因此从轧制力矩中提闰谐成分作为动力学模型的激励形式进行研究。

本文将轧机传动系统简化为四自由度含间隙系统，对简谐激励下的系统动力学响应进行数值分析，得到系统的混沌分岔图，为工业生产中优化控制提供理论参考。

1 系统动力学模型及数学模型本文将实际轧机主传动系统的扭振模型简化收稿 日期：2012-04-23 基金项目：河北省自然科学基金资助项目 (E2011203176)作者简介： 杜国君 (1961-)，男，黑龙江铁力人，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为非线性振动、数值分析等，Emaildugj2002###yahoo.eom。

246 燕山大学学报 2013为四自由度含问隙碰撞振动系统进行分析，建立系统动力学模型如图 1所示，其中振子 1、振子 2、振子 3、振子 4的质量分别是 、 、 、 ，振子分别由刚度为K 、 、 、 的线性弹簧连接， -、 、 、 相应位置上存在阻尼为c。、G、C3、G的比例阻尼器。由于轧辊打滑引起系统发生扭 转振 动，使得 轧辊 外 载激 励 的形 式 为P-Psin(f2Tr)，模型为-类含间隙非自治系统。

KI Ps i面 r1图 1 含间隙系统力学模型示意图Fig. 1 Schematic ofvibratory system with clearance假 设 系 统 的 初 始 条 件 为 %-- )(40，当 - 士 时，振子 1与系统发生碰撞，并带动其他振子运动。当 - ∈(- ， )时，振子 1与系统脱离，单独做强迫振动。

根据达朗贝尔原理，建立系统的振动方程。令Po：√JP ，由于轧机传动系统的刚度是质量的lO 倍，为了减少方程各系数间的差别，利用量纲 定理对方程中各系数进行无量纲化处理，其中无刚量间隙用b表示，方程 (1)即为系统的无量纲方程：l 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4XIX3X42- 0 0- - 00 - -60 0 - I - - n 0 0I- 女l l 2-fig2 0i 0 ～ 也 蛇 坞 - nl 0 0 - 柚其中，X1X23X4 lX2X3普， ， 每， 普 ，2'3，4，户慵 ， ，6 61(。

方程 (1)中关于 。和 ：的恒等式改写为2- 竺 )-eO L 2( -文)2 -文，) (jc -jc3 、其中，f lc1-x2-6)e：Iol 、 tl l-x2b)2 数值仿真分析x1～x2>6- 6≤ - 6。

Xl-X2<-6根据动力学模型振动方程，采用数值计算方法对系统进行分析，并且利用 C语言编写计算机仿真程序如图2所示。采用龙格库塔方法对系统动态响应进行数值计算。

图 2 计算机仿真程序流程图Fig.2 Schematic of flow chart of calculation2.1 系统周期运动的分岔取 d l， -，耽， 2，X3，囊， ， ，r)ER。xS，r-0.0，X。- 6， 。- 2>0)为庞加莱截面，计算系统的动力学响应，系统的无量纲参数分别为：b2.13， 0.03， O.03， 0.03， ：0.03， 1.0，20.808， 3：O.818， 0.774， ，1.0， 艘0.062，n0.057，/640.274，f 1.0， 0.0， 0.0，第 3期 杜国君 等 含间隙四自由度系统混沌动力学分析 247 0.0。如图3所示为激励频率影响的分岔混沌图。

图3 分岔混沌图Fig.3 Bifurcation and chaos diagram1 ， 1.，4 1，b 1 7 1 H 1 g2CO(b)B部分图4 混沌局部放大图Fig.4 Schematic ofpartial chaos从图4可以看到系统进入混沌状态的过程∩以明显看出，当轧辊打滑发生时系统呈现出复杂的动力学特性。由图3可知，当激励频率co1.789或o90.907 1时系统发生分岔，由单周期运动变为倍周期运动。当激励频率co1.762或co0.83 1 4时系统再次发生分岔，由倍周期运动变为四周期运动。

当∞进-步改变系统进入混沌状态∩见轧辊打滑是有害的。随着波动频率的增大，系统动态响应呈现出交错稳定性，这就是轧机打滑很难控制的原因。有时系统是稳定的，但当系数发生微小变化时，将很难控制系统恢复平稳状态。

2.2 系统的混沌通道根据前面系统针对混沌演化过程进行仿真分析，得到如图 5所示的庞加莱映射图。如图 5(a)可见，系统在co1.05时，截面图像呈现为-个点，系统具有稳定的 1-1-1周期运动，此处采用力 -g表达系统碰撞状态的周期运动 。随着O9的减小，如图 5(b)、(c)所示系统进入相位锁定状态。随后系统的稳定性被破坏，如图5(d)所示进入混沌状态。图 5中横坐标为位移x ，纵坐标为速度 ：。

图 5 投影的庞加 莱映射图Fig.5 Projected Poincare map为 了 便 于 观 察 碰 撞 状 态，当x。-娩∈(-∞，-b]w[b，o)时，同样选取 ：为图 6横坐标。如图 6(a)所示，当co1.05时，整个相轨道是-条自封闭曲线，系统做稳定的单周期简谐振动，系统碰撞状态为双边碰撞。如图 6(b)所示，当o90.84时，相轨迹是-条自相交封闭曲线，其运动为稳定的倍周期运动，运动周期为激励周期的2倍。如图 6(c)所示，当o90.826 4时，系统再次分岔，相轨迹是-条自相交四轨道封闭曲线，其运动为稳定的四周期运动。 随着CO进-步减小到0.79时，系统周期运动特性遭到破坏，相轨迹呈现出混沌状态，相轨迹为-种杂乱的曲线，如图6(d)所示∩以明显看出，影响轧机传动系统混沌振动的主要因素是改变轧辊激励频率。

燕山大学学报 20l3图6 系统相图Fig.6 Phase portraits图 7所示为振子 2的时域动态响应曲线。由图 7(a)可见其动态特性呈现出周期特性。从图7(b)可以看出，当混沌振动发生时，其动态响应为非周期特性，并且振幅大约降低了 1/3。含间隙系统的周期振动被破坏，系统的振幅和频率呈现出无序特性。因此为了确保轧机轧制过程的工作效率应该避免打滑。

(a)∞1.05图 7 振 子 2的时域动态响应Fig.7 The time-domain dynamic response of oscillators 2分析表明，轧制过程中打滑现象极易导致系统动态响应不稳定，容易出现混沌现象，这与工程实际情况相符。出现混沌振动后无法准确预测下-时刻系统的运动形式和趋势，因此很难有效控制系统的运动状态。为了避免轧机打滑应在工程中采取-些相应措施，应尽量去掉轧件的氧化皮，改进润滑条件，改进上、下轧辊速度同步控制等。

3 结论通过对轧机含间隙传动系统的非线性扭振分析，得到以下结论：1)随着激励频率的减小，系统的周期运动经过相位锁定等环节后逐步遭到破坏。

2)含间隙系统动力学参数的敏感度很强，系统参数的微小变化可能导致系统的本质变化，甚至产生分岔和混沌现象。

3)结果表明轧机打滑可能引起轧机传动系统振动，甚至混沌现象，其动态响应是错综复杂的，因此为了确保轧机轧制过程的工作效率应该避免打滑。

本文的研究工作及结论可为工程实际中控制轧辊打滑提供理论参考。