基于1维石灰岩／硅橡胶声子晶体的振动控制研究

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在对能带理论的研究中，通常把存在电磁波带隙，介电常数周期分布的材料或结构称为光子晶体口 ]，把存在弹性波带隙，弹性常数周期性分布的材料或结构称为声子晶体 ].有关光子晶体和声子晶体这 2类新型功能材料的研究成为近年来的研究热点.就声子晶体而言，其弹性波带隙特性有着广阔的应用可能，比如防震、减振、降噪、声功能器件等方面.根据声子晶体的相关理论，设计出能在-定频率范围内抑制结构振动，降低对应的声辐射，对提高结构的工作性能及抗疲劳能力具有重要意义L5].在常规的声子晶体中，1维杆状(或柱状)声子晶体的研究已经在理论计算、模拟仿真和实验研究 3个方面取得进展 .这些论文中，主要研究对象是金属/金属型或金属/非金属型复合结构，研究非金属/非金属型复合结构的较少，且对结构材料参数变化如何影响带隙特征的分析不够系统.因此，本文以 1维杆状石灰岩/硅橡胶声子晶体为例，基于集中质量法系统分析该声子晶体各参数线性变化与弹性波能带结构之间的关系，为深入 1维杆状(或柱状)声子晶体在振动控制方面的应用研究提供依据。

理论模型及计算方法1.1 理 论模 型理想的1维声子晶体结构由无穷多个无限大平板组成，仅在 1个方向上具有周期性，在另外 2个非周期方向上无限大，这种模型在实际中是不存在的.但是，实际工程中的有限杆状结构确具有很好的 1维特性和纵向振动特性.i维杆状声子晶体的主要振动模式是沿周期方向的纵向振动以及弯曲振动，纵向振动由弹性波的纵波激发，弯曲振动由弹性波的横波激发，对于细长杆状结构而言，横波激发对带隙的影响较小，可以忽略不计口引，也就是要求杆的横截面在振动过程中始终保持平面.只考虑沿着周期方向(z方向)的纵波传播情况.即介质中的弹性波仅与 z方向有关，与 方向和 方向无关，这时采用集中质量法计算弹性波的传输特性就比较理想.图 1是 1维 2组元杆状声子晶体结构及原胞离散示意图.该模型由A，B两种材料沿着方向交替排列构成细长有限杆状复合结构，2种弹性材料均匀、各向同性、截面相同，材料的材料参数和结构参数严格沿z方向周期性变化，它们的长度分别为。 和ne，且n aB-n，认为是该声子晶体的1个晶格常收稿 日期 ：2012 11-14基金项 目：国家自然科学基金(10664006)；云南侍育厅科研基金(2010Y093)作者简介：邱学云(1979-)，男，云南宣威人，文山学院讲师，主要从事声子晶体研究第2期 邱学云等：基于 1维石灰岩/硅橡胶声子晶体的振动控制研究 39数 ，对应 1个周期结构。

1.2 集中质量法集中质量法的基本思想是通过将连续介质中的质量集中到多个节点或截面上，将连续系统问题转化为相应的离散问题进行求解.其本质是将无限自由度系统转化为有限自由度系统进行近似求解，这也是解决大多数实际工程问题的常用策略.采用集中质量法的基本思想，同时借鉴有限元法对离散单元刚度矩阵的计算方法，并引入周期边界条件，结合 Bloch定理，可以得到 1种新的声子晶体能带结构计算方法，即集中质量法.集中质量法与平面波法相比，在相同精度下，集中质量法计算量明显减少，收敛性大大提高，能更加直观地描述声子晶体内部作用机理 .对集中质量法和平面波法计算比较，文献C6]已有详细表述.温激鸿，等口]基于集中质量法对 1维 2组元声子晶体结构进行了原胞简化、理论推导和计算分析.本文重点是系统分析 1维石灰岩/硅橡胶声子晶体的结构参数和材料参数对该结构模型带隙调控的规律，为此类声子晶体的制备提供理论依据。

2 计算结果及分析2.1 实例计算下面以材料 A石灰岩、材料 B硅橡胶组成的 1维 2组元声子晶体为例来分析非金属/非金属型声子晶体中材 料参数 和结构 参数对 声子 晶体带 隙起 止频率 的影 响.所用 材料参 数如下：密度 灰岩为3 000 kg·m ，杨氏模量 E石灰岩为 7.7×10 Pa，泊松比 石灰岩为 0.327 58；密度 p硅橡胶为 1 300 kg·m ，杨氏模量 E硅橡胶为 1.175×10 Pa，白松比 口硅橡胶为 0.468 7。

图2是采用集中质量法基于 MATLAB编程计算画图得到的-维石灰岩/硅橡胶杆状声子晶体弹性波带隙结构图，该声子晶体晶格常数n为 0.05 m，计算中每个原胞简化为自由度数为 100的弹簧振子结构，其中每个结构简化为相同自由度数的弹簧振子，两种材料厚度相同，即组份比为 1：1.图 2中阴影部分从下到上分别为该声子晶体的第 1，第 2带隙。

a.晶体结构囊鬟誊l晶格常数 aok ～k. 1 k. k.Im1 m3 mJ mb.原胞离散图1 1维 2组元杆状声子晶体结构及原胞离散示意图800600400200O-， - - - 、 - ～ . ./ 。

- 6O .4O .20 O 20 4O 60q/(rad·m～ )图2 1维石灰岩/硅橡胶杆状声子晶体带隙结构图q为波矢通过计算可以看出第 1带隙起止频率可以降到500 Hz范围以内，第 2带隙起止频率可以降到1 kHz范围以内，且两能带带隙都较宽.这-声子晶体模型，理论上能够实现中低频率段的振动控制，具体而言就是通过对该结构的带隙调控来实现。

2.2 声子晶体的带隙调控声子晶体丰富的声学特性和广泛的应用前景主要撒于其能带结构中的带隙特性，因此，通过改变周期性结构的材料参数来调节带隙，实现振动控制的需要，成为声子晶体相关研究的重要课题之-.对于两种不同的材料 A，B构成的 1维 2组元杆状声子晶体，影响其振动带隙的参数为原胞的晶格常数、组份比和每种材料的密度和弹性模量，下面对各参数进行计算分析。

40 河南师范大学学报(自然科学版)2.2.1 原胞的晶格常数对带隙的影响 图 3是固定石灰岩/硅橡胶声子晶体中两种材料的密度和弹性模量，同时固定两种材料的组份比t为 1，只改变结构的晶格常数 n，计算其变化对第 1，第 2带隙频率的影响情况.从变化曲线可以看出，随着晶格常数 n的增大，两带隙的起止频率都降低，趋向低频率区域，同时带隙宽度也逐渐减小，减小的程度随着晶格常数的增大而减缓，可以推知随着晶格常数逐渐增大，该声子晶体的带隙范围相应变窄.所以，可通过调控晶格常数来获得所需的带隙频率区域。

a/(cm) t图3晶格常数对带隙的影响 图4硅橡胶组份比t对带隙的影响2.2.2 原胞的组份比对带隙的影响 图4是固定结构的晶格常数 n-0.05 ITt，增大硅橡胶的组份比 t(t-硅橡胶厚度/晶格常数)对带隙的影响情况.随着硅橡胶的组份比t的增大，即硅橡胶所占比例不断增大，第 1带隙的起始频率先减畜增大，计算数据显示在 t-0.6时达到最小，即可获得最低的带隙起始频率为176.567 9 Hz.另外 ，第 1带隙的截止频率 、第 2带隙的起止频率及其带隙宽度都随硅橡胶组份 比 t的增大而减小，减小的程度逐步减缓，带宽逐渐变窄.由此可见，保持晶格常数不变，通过调节硅橡胶的厚度或比例可以获得低频、宽带带隙，如图所示当t-0.426时，第 1，第 2带隙的起止频率下降到1 kHz，这对中低频率段的振动控制就具有较强的理论意义。

2.2.3 密度变化对带隙的影响 当晶格常数、材料组分比保持不变，石灰岩的密度及弹性模量分别大于硅橡胶的密度及弹性模量的前提下，通过单独改变石灰岩的密度，讨论其对结构第 1，第 2带隙的影响，结果见图5.从图5中可以看出，随着石灰岩密度的增大，第 1带隙的起始频率逐渐减小，截止频率不变，带隙宽度逐渐增大.第 2带隙的变化情况与第 1带隙的相同，只是禁带频率范围扩大.可见，石灰岩密度的增大，导致石灰岩和硅橡胶之间的密度差值增大，这也有利于获得低频、宽带振动带隙。

P/(×lO。kg/m。)图5 p石灰岩变化埘带隙的影响 图6 p硅橡胶变化对声子晶体带隙的影响曲线另外-种情况，当晶格常数、材料组分比保持不变，通过单独改变硅橡胶的密度，讨论其对结构第 1，第2带隙的影响，结果见图 6.从图中可以看出，随着硅橡胶的密度的增大，第 1带隙的起始频率变化很小，截止频率逐渐降低，带隙宽度减小.第 2带隙的起始频率和截止频率都逐渐降低，带隙宽度减小.同样也能够调节第 2期 邱学云等：基于 1维石灰岩/硅橡胶声子晶体的振动控制研究 41带隙的频率范围。

2.2.4 硅橡胶弹性模量变化对带隙的影响 图7给出了石灰岩/硅橡胶声子晶体中硅橡胶弹性模量变化对第 1，第 2带隙的影响变化曲线.由图 7可见，随着硅橡胶的弹性模量的增大，导致石灰岩和硅橡胶之间的弹性模量差值增大，使得第 1，第 2带隙的起始频率、截止频率均大幅增大，带隙宽度明显变宽，第 1，第 2带隙的频率范围展宽。

2.2.5 泊松比对带隙的影响 如图 8是材料 A石灰岩的泊松比对声子晶体第 1带隙的影响曲线，由图可知泊松比变化对第 1带隙起止频率和带宽几乎没影响.计算得知石灰岩泊松比变化对声子晶体第 2带隙的影响情况与第 1带隙类似，图 8中不在重复.这是因为泊松比反映的是 2个不同方向应变的关联，而本文的研究对象是 1维声子晶体，不存在 2个不同方向应变的关联.因此，不必考虑泊松比变化对带隙的影响。

3 结 论弹性模量/(×10sPa)图7 象 变化对带隙的影响46546O曼455450l8O1600.20 0.30 0.40 0.50石灰岩的泊松比IN8 o 6 对声子晶体第l带隙的影响采用集中质量法计算了1维 2组元石灰岩/硅橡胶杆状声子晶体的带隙情况.系统分析了该声子晶体模型的结构参数和材料参数对带隙的调控规律.计算发现该声子晶体具有中、低频率段的禁带特征，这为实现该频率区域的振动控制提供了理论依据，具体调控时，可考虑调节该复合结构的相关参数，来达到不同频率控制的要求。

主要结论如下 ：1)对于 1维 2组元石灰岩/硅橡胶杆状声子晶体，调节结构的晶格常数增大时，带隙频率趋向低频率区域，带隙宽度变窄。

2)结构中对材料的组份比调控最容易实现，对于 1维 2组元石灰岩/硅橡胶杆状声子晶体而言，通过调节硅橡胶的厚度或组份比可以获得低频、宽带带隙，当 t0.426时，第 1，第 2带隙的起止频率下降到 1kHz，这对中低频率段的振动控制具有理论意义。

3)调节结构的密度和弹性模量时 ，发现增大两种材料 的密度差或者增大两种材料的弹性模量差能够获得低频宽带带隙。

4)调节结构中材料的泊松 比变化时 ，其对带隙的影响很小，变化在 0.01 Hz 左右 ，不必考虑泊松 比变化对带隙的影响。