基于几何约束条件过约束并联机构自由度瞬时性的简便判别方法

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

Simple M ethods for Distinguishing Instantaneity of M obility of theoverc0nstrained Parallel M echanism Based on the GeometricConstraint ConditionsXU Yundou YAO Jiantao ZHAO Yongsheng(Colege of Mechanical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004)Abstract： The mobility of the paralel mechanism calculated by using the screw theory tool is instantaneous，especialy for theoverconstrained parallel mechanism，not only the nature of the mobility may be changed，but also movement of some mobility couldnot realized at al1.SO whether the mobility iS instantaneous or not mtlt be checked.Since there have been very few investigations onthe methods for distinguishing mobilityS instantaneity of the overconstrained paralel mechanism home and abroad，a simple methodfor distinguishing the mobilityS instantaneity of the overconstrained parallel mechanism iS put forward based on the geometricconstraint conditions of也eir own.For this method.the geometric constraint equations are estab1ished according to geometricconstraint conditions of the diferent limbs of the overconstained paralel mechanism，and then whether the geometric constraintequations exist nonzero real solution is examined to determine the instantaneity of the mobility，and five overconstrained parallelmechan isms are taken as examples to elaborate the specifc steps of the method.Then a simulation analysis method for distinguishingmobilityS instantaneity of the overconstrained parallel mechanism iS proposed based on the simulation software ADAM S.And forthis method.the extra degrees of freedom that are automatically added in the simulation model are firstly detected，then whether theextra degrees of freedom produce displacement is examined to judge the instantaneity of the mobility.Similarly，the above fiveoverconstrained paralel mechanisms are analyzed by using this simulation analrsis method.The results obtained by using these twokinds of distingu ishing methods are consistent，which efectively verifies the COlTectness of the tw o distinguishing metho。

Key words：Overconstrained parallel mechanism Instantaneity ofmobility Geomec constraints Software AD AMS0 前言并联机构的自由度性质分析是其运动学、动力国家科技重大专项(2010ZX04013-021)和国家自然科学基金(51275439)资助项目。20120419收到初稿，20120924收到修改稿学分析的基矗目前分析并联机构自由度采用比较广泛且成熟的工具是螺旋理论 钔。但是由于采用螺旋理论工具计算得到的并联机构自由度是瞬时的 卅，所以必须进-步对其进行自由度瞬时性的判别。

文献[1-2]按照机构具有的 自由度数 目和性质2013年 3月 许允斗等：基于几何约束条件过约束并联机构 自由度瞬时f生的简便判别方法 l1给定机构-定大小的有限运动，再检查加于动平台上的约束是否发生变化，从而判断机构的自由度是否变化。然而实际上，文献[1-2]分析的绝大多数并联机构 自由度是连续的，因为机构发生有限运动后各分支约束力螺旋性质均没有改变。而当约束力螺旋性质发生变化时，尽管自由度性质发生改变，但是自由度数目是否发生变化还需要根据发生变化后的约束力螺旋的性质进行深入分析。对于-些复杂的并联机构，由于其运动规律非常复杂，甚至很难得到发生某个自由度的有限运动后分支的约束力螺旋，所以这些机构能否实现某个 自由度的有限运动更难判断。

对于非过约束并联机构，尽管发生有限运动后自由度性质可能改变，但是 自由度数目不会改变，它们始终能够实现指定自由度数目的运动。而对于过约束并联机构，由于其含有公共约束或冗余约束，自由度性质的改变可能导致自由度数 目的改变，所以过约束并联机构能否实现采用螺旋理论工具计算得到的自由度的运动需要深入的探讨与研究。

除了文献1.2]Pb，国内外对过约束并联机构自由度瞬时性的判别方法的研究非常少。文献[7采用约束功率和约束加功率对-种简单的平面过约束并联机构 自由度的连续性进行了判别，但是求解加功率需要对约束功率方程求导，过程非常繁杂，文献[8利用过约束并联机构是否存在等效串联运动链来判断自由度是否是全局的，但等效串联运动链的存在性判断本身就相当复杂。鉴于上述原因，本文将基于机构本身的几何约束条件建立-种判别过约束并联机构自由度瞬时性的简便方法。

此外，目前大部分运动仿真软件并不能实现过约束并联机构运动的准确仿真，所以它们也不能实现过约束并联机构自由度瞬时陛判别的仿真分析。

因此，本文将基于仿真软件 ADAMS提出-种能实现过约束并联机构 自由度瞬时性判别的仿真分析方法。

1 基于几何约束条件过约束并联机构自由度瞬时性的判别方法该判别方法的基本原理如下：首先根据运动副最少的分支的各个运动副位移计算其他各分支末端的位置；然后根据其他各分支的几何约束条件建立其他各分支的几何约束方程；最后根据几何约束方程检查能否得到运动副最少的分支的各个运动副位移的非零实数解，若没有非零实数解，则说明机构的自由度是瞬时的，实际上不能实现这些自由度的运动，否则说明能实现这些自由度的运动。

下面以几种过约束并联机构为例阐述该方法的具体判别步骤。

1.1 平面 RRP机构如图 1所示为-平面二连杆机构，该机构可看成以 AB连杆为动平台的并联机构，左分支是单个转动副，右分支则是由移动副(P)和转动副(R)串联而成，在初始位置，AB连杆轴线与移动副轴线垂直。

为方便分析，在 点建立固定坐标系 Axy，其中轴与AB连杆轴线的初始位置重合，如图 1所示。

图 1 平面 RRP机构由螺旋理论分析可知，左分支给动平台施加 1个平行 轴方向的约束力 。和 1个平行Y轴方向的约束力Sr 右分支给动平台施加 1个平行 轴方向的约束力Sr-3。显然，& 与5 ，的轴线重合，为-个公共约束。此时该机构有 1个转动自由度。下面对该转动自由度的瞬时性进行判别。

设发生转动后，AB连杆轴线与 轴的夹角为 ，则 点在axy固定坐标系的坐标为(1cose/sine) 。

由于机构自身的几何约束， 只能在Y轴方向移动，其x轴坐标值恒为，所以式(1)恒成立lcose， (1)由式(1)可得 恒等于零，所以该平面机构的转动自由度是瞬时的，AB连杆不能真正实现转动。

1.2 空间RSu单闭环机构如图2所示为-空间RSU单闭环机构，该机构可看成以AC连杆为动平台的并联机构，左分支是单个虎克铰(U)，右分支则是由转动副和球副(S)串联而成。在初始位置，AC连杆轴线垂直于 U副两条轴线形成的平面，并与转动副轴线平行。为方便分析，在AC连杆 点处建立动坐标系Auvw，其中u轴与u副两条轴线形成的平面法线平行，1，轴和w轴分别和u副的两条轴线重合，在 点建立固定坐标系Bxyz。在初始位置两坐标系各坐标轴都相互平行，如图2所示。

由螺旋理论分析可知，左分支给动平台施加 3个分别平行于轴、v轴和w轴方向的约束力& 、墨 和 .3，还有1个平行U轴方向的约束力偶 ，12 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 5期图2 空间RSU单闭环机构右分支给动平台施加 1个沿着BC连杆轴线方向的约束力Sr. 和1个平行 轴方向的约束力墨 。显然，约束力 .，与 . 的轴线也是重合的，为-个公共约束。此时该机构有-个绕过u副中心且与W轴平行的轴线转动的自由度。同样下面对该转动自由度的瞬时性进行判别。

设发生转动后u副依次绕平行于动坐标系 的w轴和 v轴两轴线转动的角度分别为 和 ，则动坐标系A相对于固定坐标系 的姿态矩阵可表示为：RRot(w，a)Rot(v， )由图 2可知，C 点在坐标系 下的坐标为C(f，0 0) ，A 点在坐标系 下 的坐标为A(- 0-1)T，然后可得 c点在坐标系 下的坐标为C ： C A ：n (12 COS6tCOSfl-f2 12 sinacosfl-12 sinfl-l1)(3)则由AB连杆自身的几何约束可知，C点在固定坐标系 下的 轴坐标为零，所以式(4)恒成立12COSaCOSfl-2 0 (4)由式(4)可得a 0，所以该机构的转动 自由度也是瞬时的。

1.3 2SSU并联机构如图3所示为2SSU并联机构，该并联机构由3个分支组成，左分支还是单个虎克铰，右边两个分支均是由两个球副串联而成。在初始位置，U副两条轴线形成的平面与两个 SS分支形成的平面alblb2a2平行。为方便分析，在Ablb2连杆 点处建立动坐标系Auvw，其中U轴与 u副两条轴线形成的平面法线平行，1，轴和W轴分别和U副的两条轴线重合，在 点建立固定坐标系Bxyz。在初始位置两坐标系各坐标轴都相互平行，如图3所示。

图 3 2SSU并联机构由螺旋理论分析可知，左分支给动平台施加 3个分别平行于u轴、v轴和w轴方向的约束力Sr。

、墨：和墨.3，还有1个平行U轴方向的约束力偶 I4，右边两个分支分别给动平台施加 1个沿着 Ss连杆轴线方向的约束力&5和 I6o其中Sr， 、Sr， 和墨 是线性相关的，其最大相性无关数为 2，所以该机构有-个冗余约束。此时该机构有-个绕过 u副中心且与w轴平行的轴线转动的自由度。同样下面对该转动自由度的瞬时性进行判别。

设发生转动后u副依次绕平行于动坐标系 的v轴和 w轴两轴线转动的角度分别为 和 ，则动坐标系 相对于固定坐标系 的姿态矩阵 Rot(v，a)Rot(w， )由图 3可知，al及 a2点在坐标系 下的坐标分别为 (0-fl 0) 及嚣口：：(0 fl 0) ，bl及bE点在坐标系 下的坐标分别为 ：( -O) 及b2(f3 l O) ，A 点在坐标系 下的坐标为A(-厶 0 ) ，然后可得b1及62点在坐标系下的坐标分别为 ，bl： Ba口Ab (6)2 I：R则由两根 SS连杆 自身的杆长约束，可得两个几何约束方程l - 口。If2 1。-口口。I：f2 7由于式(7)两个约束方程只含有两个未知数，即和 ，假如这两个约束方程是相互独立的，那么只能得到 和 确定的-组解，也就是说这种情况下该机构是不能实现转动自由度的。假如式(7)的两个约束方程是相关的，也就是两个式子的左边相减.口眦∞m 痂 0∞ -， 、咖 宝 - 乏2013年 3月 许允斗等：基于几何约束条件过约束并联机构自由度瞬时性的简便判别方法 13恒等于零，即式(8)恒成立sin ( sina-cosa厶)0 f8)显然要使式(8)成立， 和 必须等于-个确定值，也就是说式(8)不是恒成立的。总而言之，该机构的转动 自由度是瞬时的，实际上并不能真正实现。

1.4 SPSRPSU二维转动并联机构如图4所示为SPSRPSU二维转动并联机构，该并联机构由3个分支组成，第 1个分支用 u副连接动平台与基座，第 2个分支依次用 S副、P副和R副连接动平台和基座，P副轴线垂直于R副轴线，而且R副轴线与第 1个分支u副靠近基座的转动副轴线平行，第1分支u副连接动平台的转动副轴线过第 2分支的S副中心点。第 3分支由S副、P副和s副串联而成。动平台上3个铰链点分布在-个直角边长为 a的等腰直角三角形上，其中第-个分支 U副中心位于直角点。基座上两个铰链点与基座上位于动平台铰链点 b-正下方的 1点也组成-个等腰直角三角形，直角边边长为b，其中 1为直角点。在初始位置，两个等腰直角三角形平行.，它们之间的距离为f0。

为方便分析，在动平台上 bl点处建立动坐标系muvw，其中W轴与 u副两条轴线形成的平面法线平行，U轴和v轴分别和u副的两条轴线重合，在1点建立固定坐标系Bxyz。在初始位置两坐标系各坐标轴都相互平行，如图4所示。

图4 SPSRPSU二维转动并联机构由螺旋理论分析可知，U副给动平台施加 3个分别平行于u轴、v轴和w轴方向的约束力 、墨和墨3，还有1个平行W轴方向的约束力偶Sr4，RPS分支给动平台施加1个过球副中心且平行R副轴线的约束力 ， 。其中&。、st。 和墨 是线性相关的，其最大相性无关数为 2，所以该机构也有 1个冗余约束。此时该机构有绕u副两轴线转动的2个自由度。类似地，下面对这两个转动自由度的瞬时性进行判别。

设发生转动后U副依次绕平行于动坐标系 的U轴和 y轴两轴线转动的角度分别为6c和 ，则动坐标系m相对于固定坐标系 的姿态矩阵为Rot(u，a)Rot(v， )由图 4可知，62点在动坐标系 m下的坐标为 (0-口0) ，6l点在固定坐标系 下的坐标为 (O 0 f0) ，然后62点在固定坐标系 下的坐标为 BR (0-acosa0-asina) (10)除了 U 副对动平台施加约束之外，仅有 RPS分支给动平台施加约束，该几何约束表现为 RPS分支末端，即62点在固定坐标系 下的X坐标值恒为零。而从式(10)可以看出，62点在固定坐标系 下的X坐标值敲恒等于零，所以该机构的两个转动自由度不是瞬时的，能实现绕 U副两轴线的转动。

1.5 -种过约束 3自由度并联机构锻造操作机如图 5所示为文献9-10]构型得到的-种过约束 3自由度并联机构锻造操作机。该并联机构由两个分支组成，后分支依次用圆柱副(c)和 u副连接机架和钳杆，其中 C副轴线与U副靠近机架的轴线平行。前分支依次用 P副和平行 4S机构连接机架和钳杆，其中P副轴线与 C副轴线平行。在初始位置，平行 4S机构平面的法线与 U副两条轴线形成的平面法线平行。

为方便分析，在 Ablb2钳杆 点处建立动坐标系Auvw，U轴与U副两条轴线形成的平面法线平行，其中v轴和 W轴分别与交于 点两条转动副轴线重合，在 点建立固定坐标系Bxyz。在初始位置两坐标系各坐标轴都相互平行，如图5所示。

图5 过约束3自由度并联机构锻造操作机由文献[9]可知，该机构后分支给动平台施加 1l；l6 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 5期3 结论(1)本文基于机构 自身的几何约束条件提出的判别过约束并联机构自由度瞬时性方法，只须建立几何约束方程并判断方程是否存在非零实数解，而不需要判断机构发生有限运动后的复杂运动规律进而计算机构发生有限运动后各分支的约束力螺旋，方法不仅简单方便而且逻辑性严密。

(2)基于仿真软件 ADAMS提出的判别过约束并联机构自由度瞬时性的仿真分析方法，只需要建立机构的仿真模型即可实现对过约束并联机构 自由度瞬时性的判别，而完全不需要任何的数学计算，判别快捷且非常简单。

(3)运用上述两种判别方法对 5种过约束并联机构的自由度瞬时性进行了判别，判别结果完全-致，有力地验证了两种判别方法的正确性。而且得到了这 5种过约束并联机构准确的自由度性质，将为它们更加深入的理论以及实际应用研究奠定重要基础 。