一种新的缺口件疲劳寿命分布计算模型

实际工程结构中含有很多的缺口件，缺口件的应力集中部位是结构的疲劳薄弱环节，缺口件的疲劳寿命或强度控制着结构的疲劳寿命或强度。同时由于构件的材料特性、几何特性、载荷历程以及环境条件等都具有-定程度的随机性，结构的疲劳寿命表现出较大的分散性。准确地预测出缺口件的疲劳寿命分布或强度分布对结构疲劳可靠性估算有着重要的意义。

目前已有多种获得缺口件疲劳寿命分布的方法，Ling等分别用最大似然法 1 和最小二乘法 对45钢缺口件疲劳寿命试验数据进行统计分析得到了其概率疲劳寿命曲线(P.S-N曲线)。Zheng等 J由材料拉伸性能计算出缺口件疲劳寿命经验公式中疲劳裂纹起始抗力系数和门槛值，并由它们的概率分布得到P-S-N曲线。Yan等 用类似的方法得到了 45钢摩擦焊缺 口连接件的疲劳寿命分布。

Zhao等 提出了P-S.N曲线的蒙特卡洛重构方法2012年 11月20日收到 教育部长江学者创新团队项目(Irt0906)资助第-作者简介：奚 蔚(1986-)，男，博士研究生，研究方向：疲劳可靠性、随机有限元。E-mail：weixi###nuaa.edu.cn。

通信作者简介：姚卫星(1957-)，男，博士，教授、博士生导师，研究方向：结构疲劳、复合材料结构设计、可靠性工程。

Xiong等 通过对确定性的应力寿命曲线进行随机化来得到概率疲劳寿命。

本文在分析了缺 口件疲劳寿命分散性的主要来源以及它们之间层次关系的基础上，建立了-种缺口件疲劳寿命分布计算模型。该模型先通过随机有限元方法计算得到缺口根部应力场强的概率分布，再结合光滑件的疲劳寿命试验数据，最终给出缺口件的疲劳寿命分布。

1 疲劳寿命分布分析方法1.1 基本思想按照疲劳机理可以将影响疲劳强度或疲劳寿命的因素分成三类 ，包括影响局部应力应变大小的因素，如载荷特性、缺口应力集中等；影响材料微观结构的因素，如材料种类、缺陷等；影响疲劳损伤源的因素，如表面粗糙度等。影响疲劳强度的因素众多，试图考虑所有因素是不现实的。对于-般缺口件，可以认为其寿命主要由局部应力应变大型材料微观结构决定，同时，这两者本身也具有-定的随机性。局部应力应变的分散性由构件材料、载荷以及几何特性的随机性引起，材料微观结构的不均匀性是材料固有属性。在常幅载荷下，这两种分散性对缺口件寿命分散性影响的层次关系可用图 110期 奚 蔚，等：-种新的缺口件疲劳寿命分布计算模型表示。当局部应力应变的分散性和某-局部应力应变水平下微观结构不均匀性引起的寿命分散性分别确定后，将两者结合起来，就可以得到缺 口件疲劳寿命分布。

图1 缺口件寿命分散性影响因素的层次关系对光滑件来说，因为不存在应力集 中，其寿命分散性可近似认为完全由微观结构不均匀性造成，同时假设微观结构不均匀性对缺口件和光滑件寿命分散性的影响是相同的，所以微观结构不均匀性引起的缺口件寿命分散性可由光滑件试验寿命分散性得到。局部应力应变分散性可通过随机有限元法(SFEM)计算得到 。

1.2 局部应力应变分散性的计算利用随机有限元法求解局部应力应变分散性，首先需要选择-个符合疲劳机制的局部应力应变量，即疲劳损伤参量，来反映缺口的疲劳严重程度；然后借助随机有限元分析得到该应力应变量的概率分布，具体工作包括变量不确定性的描述、随机场的离散和随机有限元计算。

1.2.1 疲劳损伤参量的选取人们已提出很多种疲劳损伤参量，按照其建立的物理基础，可以分为平均应力模型、断裂力学模型和场强法模型。现选用场强法模型，该模型能考虑到应力梯度对缺口件疲劳寿命的影响，在对有关疲劳现象的解释和寿命预测准确度上有着很好的表现 J。该理论认为缺口件的疲劳强度撒于材料危险部位局部小区域内的损伤累积，如果缺口局部应力应变场强的历程与光滑试件的应力应变历程相同，则两者寿命相同。其疲劳损伤参量场强n 定义为 专 (r)ds (1)式(1)中，D为缺口破坏区，这里认为是-个以要计算场强点为圆心的圆；S为区域D的面积； )为破坏应力函数，这里选用Von Mises等效应力； (r)为权函数，其形式为 西(r)1-CF(1sin0)，r为区域 D中任-点与要计算场强点的距离，0为该点与要计算场强点的连线偏离破坏区对称轴的角度，c为与应力梯度有关的系数，取为c I去卦1.2.2 场强概率分布的计算随机有限元分析时，首先要对结构中的不确定性参数进行描述。关于材料、载荷以及几何特性的随机性，其中载荷和几何特性的随机性用单个离散随机变量来描述，材料特性属于连续介质力学参数，其空间变异性特点用随机场来描述，由随机场相关函数唯-定义。

随机场模型-般不能在随机有限元分析中直接使用，要进行随机场的离散处理将随机场用有限数量的随机变量表示。已经出现了多种随机场离散方法，其中在展开项相同的情况下，KL分解得到的相关函数的误差最小1 ，该方法的关键是求解积分方程得到相关函数的特征值和特征函数。当积分区域不规则或者相关函数模型比较复杂时，需要用数值方法求解积分方程。Ghanem等 提出了求解积分方程的KL展开 Galerkin法，该方法需寻找到Hilbert空间里的-组完备基函数，并用它来对相关函数的特征函数进行展开，从而最终求解得到特征值和特征函数。史 良胜等H 选用随机场网格的形函数作为基函数，将其应用于地下水的流动随机分析中。该法基于KL展开的思想，离散精度高；由于采用随机场网格的形函数作为基函数，其对积分区域几何形状的适应性强；同时基函数形式也相对简单固定，积分计算容易进行。采用这种思想，编制了随机场网格为平面四边形单元时的离散程序来对缺口件弹性模量随机厨行离散，其原理如下。

假设二维随机侈( ， )的均值为肛( ， )，标准差为 ( ， )，其 KL展开描述为2678 科 学 技 术 与 工 程 13卷∞( ， ) ( ， )a(x， )∑ ( )赢( )(2)式(2)中： 为空间点坐标， ( ，Y )；0为具有随机性的参数； (0)为互不相关的均值为 0、标准差为1的随机变量； ( )、A 分别为特征函数和特征值系列。

holm积分方程得到Jnc( Y1 ，Yz)，(X2 Y2)dxzdy2 Y1)(3)式(3)中 为随机场定义域，积分方程核 C( ，Y ；：，Y：)为随机场相关函数。

将积分区域 力离散为 个四边形单元，特征函数，在某单元e四个节点上的值依次为 ，在该单元内特征函数的近似表达式为：U(X ，Y ) ∑ ( Y ) 。

式(3)左边在某单元 e内积分得YE)d n( Y1)d (C ( ：) )d 咖 ( y )doec咖 ( z，yz) n( ，y·)dOedOjq∑A (4)式(3)右边在某单元 e内积分得k Y ) n( Y )doefa.A ( ) 咖 ( Y1)dOeA ( ，Y1) n( ，Y1)daL A (5)上两式中， 表示第 e个随机场网格单元区域； 表示第E个随机场网格单元区域； 分别取单元 e的四个节点编号 k，f，r，s。由于式(4)中E的变化范围是所有单元，所以q会取到所有节点的编号，即1，2，， ； 为随机场网格节点总数；p会取到单元 e的四个节点编号 k，Z，r，s。由式(4)和式(5)形成单元矩阵A 和 。

A B AmA肼(6)(7)按上述方法在所有单元上分别形成单元矩阵，然后装配得到总体矩阵A、曰，从而式(3)可以近似表示成矩阵形式AF ABF (8)特征向量 的各分量为特征函数在各节点的值。这样求解积分方程式(3)的问题就转化为求解方程式(8)的特征值和特征向量问题，这是-个广义特征值问题，容易求解得到。

特征值和特征函数求得后，按照式(2)，就可以用有限个独立的随机变量 ( )；i1，， 来模拟整个随机场的变化。

经随机场离散得到-系列输入随机变量后，就可用蒙特卡洛随机有限元法(MSFEM) 计算出场强的概率分布。

1.3 疲劳寿命分布计算模型计算得到场强的分散性后，就可按照图 1所示缺口件寿命分散性影响因素的层次关系图，将它同微观结构不均匀性引起的寿命分散性结合起来(反映在光滑件疲劳寿命试验数据的分散性中)，最终计算出缺口件寿命分布，分析计算模型如图2所示。

首先对结构的不确定性参数进行描述，对其中用随机场描述的参数进行随机场离散，得到-系列输入随机变量，然后采用拉丁超立方法对随机变量进行抽样，用得到的样本值调用确定性有限元程序进行建模和分析求得结构的应力分布，再用式(1)计算缺口根部最大场强点的场强，并按 Goodman模型 -㈢]。

曰 曰～ ～ ～ ～垃 l 。 ， ， ， 曰 曰10期 奚 蔚，等：-种新的缺口件疲劳寿命分布计算模型修正到光滑件疲劳寿命试验数据所在的应力均值水平下。由修正的场强值查取光滑件疲劳寿命数据求取缺口件寿命时，引入存活率随机变量 (服从0，1]区间上的均匀分布)并进行抽样，从而将光滑件应力寿命曲线的随机性，即微观结构不均匀性引起的寿命分散性 ，考虑进来。抽样寿命的表达式为lNi[-In(1-Up。

)] 。 ～式中， 表示第 i次抽样寿命； 表示存活率随机变量 u 的第 i次抽样值；ct ，/3 分别是第 i次抽样得到的应力场强值水平下光滑件疲劳寿命分布(两参数 Weibul1分布)的形状参数和尺度参数值。当蒙特卡洛模拟抽样结束后，对计算结果进行统计分析就可以得到疲劳寿命的概率分布。

图2 缺口件疲劳寿命分布计算模型2 算例分析算例选择文献[17]中LY12CZ铝合金包铝板材(轴向加载)的中心孔缺口件，试件的形状尺寸如图3所示，板厚 1.0 mm，试验频率为 35～240 Hz，试验在室温空气中进行。按照图2所示的缺口件疲劳寿命分布计算模型计算其在多个应力水平下的疲劳寿命分布，并与试验结果进行比较以验证本文方法的有效性。

图 3 中心孔缺 口件不意图假设试件中的不确定性参数主要为弹性模量E、两端载荷 P和缺口半径 R。弹性模量的变异性用随机厨行处理，并假设其为高斯平稳随机场，均值为 68 000 MPa1 ，变异 系数在 3% ～4% 之间1 ，这里取为3.5%，相关函数选择单指数型，方向和Y方向相关长度设定为25 mm，其表达式为I l-x21 I Yl-y21p( 1，Y1； 2，Y2)e- -- 。

载荷和半径的随机性用单-正态分布随机变量表示 ，其中载荷的变异系数根据试验机加载系统误差的-般情况设为 0.5%。由于试件图纸中未标注孔径的公差尺寸，其公差等级按 IT12处理，对于直径 2 mm的孔，公差为 0.1 mm，半径的公差即为0.05 mm，按 30"规则，其标准差近似认为是 0.05/3 mm。

由于几何和载荷的对称性，随机场网格和有限元网格均取缺口件的 1/4进行建模，如图4和图5所示。应力场强计算时的扯 D取为 0.185 mm[7]。场强值修正时所参考的光滑件疲劳寿命数据是载荷均值为90 MPa时的成组疲劳寿命试验数据。

图4 随机场网格示意图图5 有限元网格示意图计算了应力均值 S 48.7 MPa，应力最大值s 分别为150 MPa，130 MPa，120 MPa和115 MPa下的应力场强概率分布和疲劳寿命分布。表 1给出了各应力水平下场强的均值和标准差。图6给出了2680 科 学 技 术 与 工 程 13卷存活率 S 99.9%、84.1%、50%、15.9%和 0.1%下的预测应力寿命曲线与相应存活率下的疲劳寿命试验值 的对比，其中，虚线代表不考虑应力场强的分散性而只考虑微观结构不均匀性引起的寿命分散性时的缺口件疲劳寿命分布，实线代表将两者都考虑进来时的缺口件疲劳寿命分布，可以看出它们在较低或较高存活率下差别较大，实线所代表的考虑了场强分散性的疲劳寿命分布计算值与试验值吻合的更好。

表 1 中心孔缺口件各应力水平下应力场强的均值和标准差S /MPa 150 130 120 1 15应力场强均值/MPa 233.617 7 203.158 1 187.933 3 180.329 7应力场强标准差/MPa 3.0500 1 2.4633 6 2.2953 4 2.o664 6疲劳寿命N/cycles图6 指定存活率下的预测应力寿命曲线与疲劳寿命试验值对比3 讨论与结论(1)建立了-种缺口件疲劳寿命分布计算模型，该模型从疲劳机理出发综合考虑了构件材料、载荷以及几何特性的随机性引起的局部应力应变分散性和微观结构不均匀性引起的寿命分散性，并将两者有机地结合了起来。算例表明这种方法比较精确和有效，可以较好地预测缺I1件的疲劳寿命分布。

(2)由于局部应力应变量选用的是应力场强，所以该方法能考虑到应力梯度对缺 口件疲劳寿命的影响，更符合疲劳破坏机理。

(3)应力场强计算使用的是有限元分析结果，所以该方法对任意缺口型式和尺寸的试件都适用。