基于最小势能原理的变截面压杆临界压力的计算方法

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

压杆在工程中有着极其广泛的应用，如建筑结构中的承压柱、汽车起重机的吊臂、多级液压油缸的活塞杆等，其工作时受到较大的压力作用，且长细比较大，因此，稳定性是这类杆件分析中需主要考虑的问题[1]。但通常的稳定性计算 ，压杆是作为等截面直杆进行分析的↑年来，实际工程中，由于各种工艺或造型需要，出现了很多变截面杆，而且，不同于机械类阶梯轴那样的间断变化，其截面是连续的变化。这类杆在新型建筑中应用较广，但其设计的主要问题仍然是稳定性问题。目前工程中对变截面杆可以采用有限元等数值方法进行离散分析，但需要用到大型专业软件，且建模、分析等耗时较多E23。因此，工程界试图寻找具有足够精度的解析解或半解析解，以对变截面压杆的稳定性进行简单、方便的计算与设计。本文采用弹性理论的最小势能原理，通过对假设位移函数的变分运算，来得到变截面压杆线性稳定的计算公式，从而可以对-般意义的变截面压杆进行稳定分析。

1 临界压力的最小势能变分计算对变形体材料，基于能量的变分原理是现代计算力学的基本原理。虚位移原理、最小势能原理等都可以归结为能量泛函的变分原理。最小势能原理在有限元分析中的应用得到广泛的认同。最小势能原理指出，变形体结构平衡的条件是其势能泛函取驻值[ ]。

假设变截面压杆的惯性矩为 J(z)，当压杆受到压力作用发生微小的弯曲而处于临界平衡时，压杆即在此弯曲状态下平衡。取位移试函数系数为：1(z)， 2(z)， (z) (1)这里，每-个函数均需要有 2阶以上的导数。同时，根据压杆的约束情况，该试 函数须满足边界条件。

假设压杆在载荷作用下的挠度为：- 1 1(z) 2 2( ) A ( )∑ 乒 (z) (2)i其中， ， z，， 为待定系数。即，挠度为所取得试函数集的线性组合，由试函数I生质可知，挠度也满足压杆的边界约束条件。压杆此时的变形是在压力载荷作用下的弯曲变形，在小变形情况下，压杆的应变为e - -y - - 努Y：-f∑ (z))Y(3) D-- ( 其中Y为Y轴方向上的挠度，P为曲率半径。

由式(3)可以得到压杆横截面上的应力为：- 层--Ef∑ (z)1Y (4)收稿 日期：2012-O6-14作者简介：谢 海(1985-)，男，湖北武汉人，硕士研究生，主要从事机械动力学方面的研究。

通信作者：李剑敏，电子邮箱：ljmzrz###163.corn88 浙 江 理 工 大 学 学 报 2013年 第 30卷其中E为弹性模量。

由式(3)、式(4)可以计算得到压杆的应变能为- lfaed吉-： Ey 2(∑ (z) dAd -专EJ )(∑ )) dr (5)其中n为压杆的体积，A为压杆的横截面积，z为压杆长度。

另外，可以计算外载荷在此变形中所做功，由于压杆的外力为作用于杆段的轴向压力，故w - F ( dz -号 j ( (-z)) 出 (6)其中 F 为作用于杆段的轴向压力。

由式(5)、式(6)可以得到系统的势能为Ⅱ：u～ -专 ，(z)(∑ ( ) dx-1 Fj (∑ )) dx (7)由最小势能原理，系统平衡的条件为势能泛函全小[ 。对于压杆在临界压力作用下，杆处于微弯平衡状态，因此，其势能取到极小值。注意到势能表达式中，试函数系为假设的已知函数，故势能是待定系数 ， 。，， 的函数，因此，势能的极小也就是对各待定系数的偏导数为 0，即：3Ⅱ ，、-32-1- u-8I-I： 0 以2 (8)OII-32-.- u将势能儿 代人式(8)得：IiI( ) ( )( 如)出-(z)( 如))cLr-0J(z) z(z)( 。 (z))出-F ( )( 如)出-。

可 J( ) (-z)( (z) -FN )( )dz-o而各待定系数 ， 。，，A 与积分无关，则可以定义如下参数：j。k z 出： 户 ∽ - -FNbu则方程(9)可以用式 (IO)所定义的参数表达为：l2- O0 O I i-o (12)2 两端简支压杆的临界压力言 -- 图1所示。假设压杆- ---- -为变截面杆，其惯性 图1 简支压杆cz -，。( (手) 6(手) c(手) )(z)- 1 sin号 2sin (14～ - -第 谢 海等：基于最小势能原理的变截面压杆临界压力的计算方法 89显然，假设的挠度满足压杆的边界约束。

将式(13)、式 (14)代人式 (10)，得到平衡的特征方程为：(Ea1l-FN) 1 12 2-0 (15)1Ea12/1 ( 2- 9FN)Az- 0其中，fn - ((- 3)a(- 1- 1)6 1 )- cnI - (- 1)n(～ )6 1 c )由方程(15)的非零解条件，可以得到1- FN2Ea12Ea 22- 9FN从而可以解得：FN- EanEa 22-- 0 (16)(9Ea1Ea 2) -36E2(以1la2～n2)) (17)式(17)即为该变截面杆的临界压力。特别，当变截面杆的惯性矩中a-b-c-0，d-1，即，J( z)- 0，为恒截面杆，这时，有- J。

j以 -0 (18)：将式(18)代入式(17)，可以得到： - 口。/Z ，即众所周知的等截面杆临界压力，从而表明了本文计算的正确性。

3 结 论利用最小势能原理，可以对各种约束条件下的变截面杆进行临界应力和临界压力的求解。该方法的实质是基于能量泛函的变分原理，因此，对各种不同材料(如非线性材料)、载荷(如考虑压杆的自重)、边界约束等复杂情况都能够适用。该计算方法简单明了，可以在工程中得到广泛的应用。