基于平稳小波变换的相空间重构方法

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利用传统的线性信号分析方法研究混沌等非线性信号有-定的局限性↑年来，非线性信号分析方法的研究受到广大学者的极大关注。徐金梧等L1 提出利用局部投影算法分析非线性时间序列；游荣义等[2 研究了相空间中脑电近似熵和信息熵的计算方法；吕小青等[3 提出了-种确定延迟时间互信息的-种算法；冯广斌等[4 提出将相空间重构理论与支持向量机结合实现内燃机振动监测数据的建模及预测。

2O世纪 90年代发展起来的平稳小波变换(sta-tionary wavelet transform，简称 SWT)L5 因具有平移不变性而成为小波领域研究热点之-。离散小波变换 (discrete wavelet transform，简称 DwT)的小波系数可以被用来提取信号的特征信息[6]。游荣义 等指出混沌时间序列的小波变换实质上是在重构的相空 间中，混沌吸引子 向小波滤波器张量所张成 的空间中的投影，与Packard等E8-9]提出的时间延迟相空间重构方法本质上是-致的。赵先进等口 提出-种柴油机表面低频振动的状态空间重构方法。

由于SwT分解后的小波系数长度具有与原始信号长度-致的特征，可以利用swT分解后的小波系数进行相空间重构来构造高维特征数据。Hughes等[1妇提出利用小波系数构造的高维特征数据进行Sammon映射，提取心电信号的低维形态特征，并对降维后的信号利用隐式马尔可夫模型分割来提取心电信号的PR间隔和QT间隔。笔者针对非线性信号特征提取 问题 ，提出-种基于SWT的向空间重构新方法，并进而应用非线性降维算法提取信号的低维形态特征 。

1 经典的相空间重构方法I.1 相空间重构方法的基本原理时间延迟相空间重构方法是-种十分方便有效的从单变量时间序列构造相空间的方法。对时间序列zf)，i-1，2，，Ⅳ，选择合适的嵌入维数 和延迟时间r，可以重构-个m维的相空间。重构的相空间可以表示为X - ( ，z ， ，z ( -1) ) (1)其 中：x 为第 个相点，表示 维相空间的-个状态。

1.2 Lorenz系统分析实例笔者 以典型 的非线性 系统-- Lorenz系统为例，说明非线性系统经相空间重构后所得到的系统特征。

式(2)为 Lorenz系统的方程，用 4阶 Runge-· 国家自然科学基金资助项目(编号：5005015，51004013，50905013)收稿 日期：2011-02-25；修改稿收到 日期：2012-06-13982 振 动、测 试 与 诊 断 第32卷Kutta法进行数值积分，积分步长为0.02，积分点数为 2 048。

f - - 3(x- .y) - rz- z - Y (2)圣-xy-b( ：10，b- 8/3，r- 28)图 1为求解式 (2)所得到的Lorenz系统吸引子在z-Y，Y-2和 -z方向的投影以及 3维空间(z-Y- )的相图。

(b)y-z(d)xJ图 1 Lorenz系统吸引子 的相 图图2为利用时间延迟法相空间重构后的Lorenz系统各分量的二维相图( -3，f-3)。其中，图2(d)为Lorenz系统X分量加入信噪比为8.47 dB高斯白噪声后进行相空间重构后的吸引子相图。由于噪声 三≥j三 ： ≥j 簿j j ：的存在 ，相空间重构后无法得到带有噪声的非线性信号的吸引子的形态 。有研究表明，在时间延迟相空间重构方法 中，Lorenz吸引子对 的选择很 不敏感 ，但对 r的选择相对敏感 ，当r选择不合适时，吸引子形状会发生畸变 。

2 新的非线性信号相空间重构方法2.1 平稳小波变换swT是由Nason等[5 提出的-种非正交的小波变换 。SwT进行小波分解的过程没有下抽取过程，各级小波分解系数的长度相同，小波系数具有冗余性。重构过程是对各个冗余小波系数的重构结果取平均的过程，对于信号的奇异点降噪后的重构结果具有抑制伪 gibbs振荡的效果[5]，其降噪效果更好，但同时也带来了计算量大的缺点。因此，经典的DWT是-种非冗余 的小波变换 ，适用于处理不相关性问题，而 SWT更适合于处理相关性问题。

SwT不具备正交性 ，但却具备模式识别和信号降噪中-个重要的性质--平移不变性[1 ，因此在进行信号处理时可以不依赖于原点的选择。笔者正是利用 SWT的平移不变性来通过相空间重构并用非线性降维的方法来获得信号的低维形态特征 。

2.2 基于平稳小波变换的相空间重构新方法利用 DWT小波系数进行相空间重构后 的Lorenz系统各分量的二维相图如图3所示。文献[7]说明了非线性信号经过基于DWT小波系数相空间重构后 ，吸引子轨迹与原有轨迹具有相似的结构，同时系统的关联维数、Kolmogorov熵等非线性不变量得到保 留。

图 4为利用 SwT小波 系数相 空间重构后 的Lorenz系统各分量的二维相图。从 图2、图 3和图4可以看出，由不同相空间重构方法构造出的相空间中Lorenz系统具有相似的吸引子形状。由于SwT对低通和高通滤波器的输出系数不再进行 2倍抽取操作 ，而是在各级滤波器 的值之间进行差值操作5]，所以SwT的系数与原始信号具有等长性。从图4可以看出，基于SWT得到的相图较基于DWT得到的相图更加平滑。因此，利用SWT小波系数对非线性信号进行相空间重构具有更好的细节描述能力。

2.3 几种相空间重构方法的比较图2 利用时间延迟法相空间重构后各分量的二维相图 表 1列出了时间延迟法、基于 DWT小波系数、加：2 m 5 O m ：2加-第6期 章立军，等：基于平稳小波变换的相空间重构方法 983ij ：；三lO5O- 5- 10- 4O -20 0 20 40(c)z (d) 含噪声)图3 利用DWT小波系数重构相空间中各分量的二维相图图4 利用SwT小波系数重构相空间中各分量的二维相 图基于SWT小波系数的 3种相空间重构方法 的比较(设原有信号长度为Ⅳ)。由于利用SwT小波系数相空间重构后相点的个数与原始信号的点数-致，便于从相空间重构后的相图中分析原有信号(系统)对应每个时间点的性质，下面就以SWT小波系数来进行相空间重构，并研究非线性信号的低维形态特征表示方法 。

3 非线性信号 的低维形态特征表示方法从图2、图3和图4可以看出，带有噪声的Lorenz信号经相空间重构后，都无法直接得到吸引子的形态特征 ，因此需要进-步处理 ，以提取带有噪声情况下非线性信号的低维形态特征。

3.1 非线性降维算法简介在非线性降维算法方面，近年来出现了较多研究成果 。Roweis等[1。]提出局部线性嵌入算法(1ocal-ly linear embedding，简称 LLE)；Tenenbaum 等[]提出非线性减维算法Isomap；Zhang等[1S3提出局部切 空 间变 换 (1ocal tangent space alignment，简称LTSA)算法〖虑到LTSA算法在邻域参数鲁棒性和 主流形识别与重构方面的优点 ，笔者选用 LTSA算法来提取蕴含在高维数据中的信号低维形态特征 。

LTSA 算 法 的基 本原 理 如下 ：对数 据集 X， ，，zⅣ]，x ∈R ，要从中寻找-个d维( >)的主流形。找出每个数据点的邻近点，用邻域中低维( 维)切空间的坐标近似表示局部的非线性几何特性，再通过变换矩阵将各数据点邻域切空间的局部坐标 映射到-个统-的全局坐标上，即从 m维的数据中，得到-个全局的d维坐标，从而实现数据振 动、测 试 与 诊 断 第32卷降维 。

3.2 基于平稳小波变换的高维信号降维分析方法首先，对非线性信号进行 层swT分解，得到层小波低频近似系数和小波高频细节系数；然后，利用第t，层低频近似系数和各层高频细节系数构造(1)维高维数据集；最后，利用LTSA把数据降到低维(如2维)，就可以得到信号的低维形态特征。

图5为对Lorenz非线性信号取 -4，利用LT-SA降维 (邻 近点数 k选 为 64)后 Lorenz吸引子在2维空间中的低维形态特征。比较图2(d)、图3(d)、图4(d)和图5(d)可以看出，利用LTSA降维后可以获得带有噪声的非线性信号的低维形态特征，并且这种低维特征同样与原有非线性信号的吸引子轨迹相似；因此，可以利用这种低维形态特征来分析信号中的某些特征(如冲击特征等)。

图5 Lorenz系统各分量的低维表述3.3 讨 论1)高维数据的重构方法。笔者所提方法是利用swT分解得到的最高层近似系数和各层细节系数来进行相空间重构，从而构造高维数据集。试验结果表明，利用所有低频近似系数和高频细节系数构造高维数据集，或者利用原始信号、低频近似系数和高频细节系数来构造高维数据集，同样可以得到非线性信号低维形态特征。但是，如果用DWT的各层小波系数重构 的信 号构成高维数据集时，由于 DWT不具备平移不变性，利用LTSA降维后并不能得到特征明显的信号低维形态特征。

2)SwT分解层数 的选择。笔者所提方法需要对构造的高维数据进行非线性降维处理来分析信号的低维形态特征，所以小波分解的层数 至少要分解到4层 。由于SWT算法的限制，分解 的层数 最大 只能到 log N，其 中Ⅳ 为信号的长度 (Ⅳ 能被 2整除)。

3)非线性降维算法中邻近点数k的选择。在利用LTSA对高维数据进行降维处理中，邻近点数 k的选择与信号的采样频率、噪声大小等都有-定的关系。采样频率越大、噪声越大邻近点数也应越大，但过大的邻域会导致局部几何特性的变形。通过试验 ，邻近点数是选为32～128都能得到较好的结果 。

经过数值仿真试验分析，基于SwT分解后得到的小波系数构造高维数据并进行非线性降维处理的信号分析方法，对非线性信号的分析是稳定、可靠的。

4 结 论1)在传统相空间重构方法的基础上，利用SwT的平移不变性特征 ，提 出了-种基于SWT的相空间重构新方法。非线性信号利用swT的小波系数进行相空间重构，吸引子轨迹与原有轨迹具有相似的结构。该方法 比时间延迟法和利用 DWT小波系数相空间重构具有参数不敏感 、相空间重构后相点个数与原始信号长度-致的优点。

2)基于SWT小波系数相空间重构后的高维数据，经过LTSA非线性降维后所提取信号的低维形态特征具有与原始信号吸引子轨迹-致的特点。由于LTSA的邻域参数鲁棒性和主流形识别与重构方面的优点，这种低维形态特征可以用于提痊有噪声的机械振动信号的故障特征。