径向柱塞式液压马达等接触应力内曲线的精确绘制

2013年 10月第41卷 第 19期机床与液压MACHINE TO0L＆ HYDRAULICS0ct．2013Vo1．41 No．19DOI：10．3969／j．issn．1001—3881．2013．19．042径向柱塞式液压马达等接触应力内曲线的精确绘制黄菲，黄方平，沈萌红(浙江大学宁波理工学院，浙江宁波315100)摘要：针对传统的图解法绘制等接触应力曲线存在作图精度低的缺点，对多作用径向柱塞式液压马达等接触内曲线进行理论分析，得到其微分方程，运用 MATLAB求出等接触内曲线的数值解并采用拟合方法得到近似解析解，然后在 Pro／E等CAD软件中精确绘制出完整的曲线。绘制出的曲线可以直接用于数控曲线磨床进行内曲线液压马达导轨的加工和生产。

关键词：径向柱塞马达；内曲线；等接触应力中图分类号：TH137 文献标识码：B 文章编号：1001—3881(2013)19—148—3Accurate Drawing of Equal Contact Stress Inner Curve for Radial-piston Hydraulic M otorHUANG Fei，HUANG Fangping，SHEN Menghong(Ningbo Institute of Technology，Zhejiang University，Ningbo Zhejiang 315100，China)Abstract：In accordance with the feature of traditional graphic method，drawing of equal contact stress inner curve is always inaccu—rate．Through analyzing equal contact stress inner curve of multi—stroke radial·piston hydraulic motor，its diferential equation was estab—lished．The numerical solution and its approximate analytic solution of diferential equation were obtained by using the mathematic soft—ware MATLAB，the whole inner cHrve could be drawn accurately with Pro／E or other CAD software for manufacture.

Keywords：Radial—piston motor；Inner curve；Equal contact stress内曲线多作用径向柱塞式液压马达是液压系统中极其重要的执行元件，如今已被广泛地应用在工程机械和行走液压领域，随着市场需求的增大，逐渐成为现代液压元件中应用最广的元件之一?。

径向柱塞式多作用内曲线马达的设计经历了以圆弧曲线和摆线为代表的第一代几何学设计和以等加速曲线为代表的第二代运动学设计。为解决此类马达工作时接触应力分布不均而使马达使用寿命较低的问题，以陈卓如教授为代表的专家从提高内曲线寿命的角度率先提出了等接触应力设计理论 。

在设计此类马达内曲线时，通常采用图解法或解析法进行内曲线的设计。图解法作图误差较大，再加上加工时引入的误差导致最后加工出来的内曲线已经和设计相差甚远；当接触应力曲线是通过求解一组三阶非线性微分方程得到时，求解十分困难并且只能得到数值解。近年来，随着 MATLAB等数学软件的兴起和广泛应用以及各类CAD软件的蓬勃发展，可以方便简单地通过解析法精确绘制径向柱塞式液压马达的内曲线，在此类马达的生产加工中有着重要的指导意义和现实意义。

1 等接触应力曲线的求解想要精确地绘制出径向柱塞式液压马达的内曲线，必须先对等接触应力曲线进行求解。

1．1 等接触应力曲线滚动体在液压力作用下沿导轨面运动，导轨上将承受较大的接触应力。如接触应力超过材料的许用值，就要产生磨损。同时，由于周期性载荷的作用 ，可引起点蚀和剥落现象。因此，轨道的接触应力值是评价其寿命的主要衡量参数。以下运用赫兹接触理论对等接触应力曲线进行研究。

对理想线 接触来说，在负荷作用下线接触将扩展为一矩形接触面，在接 触 区内接触应力按半椭 圆柱体分布，如图 1所示。 图1 线接触区内的应力分布接触 区内任恿点的接触应力为：= · 1一( ㈩在接触区中心线上的接触应力最大，其值为：： (2) 一对于圆柱滚子的液压马达，最大应力为：，)N盯z／ (3) √^Z∑E 、。

式中： 为内曲线接触点的主曲率。

收稿日期：2012—09—05基金项目：宁波市工业攻关资助项目 (2010B10002)作者简介：黄菲 (1987一)，男，硕士研究生，主要从事新型液压元件性能研究。E—mail：hfp618###163．corn。

第 19期 黄菲 等：径向柱塞式液压马达等接触应力内曲线的精确绘制 ·149·要使内曲线轨道最大接触应力相等，必须使 Ⅳ·= S·Ⅳ口为常量，其中：s 知 ㈩式中：U=fL／6；羞；K = 2Lp一 一P0+ p；L = Lo+P0一PR；是极角为0时柱塞的留缸长度；是柱塞总长度 ；d。是柱塞直径；-厂是柱塞与缸壁间的摩擦因数。

因此，要求得等接触应力曲线，只需解：aS
． ：0 (5)即可得到圆柱滚子液压马达等接触应力曲线方程。鉴于篇幅的原因，这里不再赘述公式的推导过程口 。

1．2 用MATLAB求解等接触应力曲线为方便用 MATLAB计算，令：则原等接触应力曲线微分方程组可转化为：= 0一 一 arcsin—
Rsl
—
n~4
：0 5 一 √ —二_ 而 +Rc。s =0= 0s—c。 一 sin ( +三 )=。

8 一 7互8=0(7)在 MATLAB中按照上述方程组编写相应的子函数程序，并保存为M文件。

方程组的初值为：(0)=p(0)：(0)=P (0)(0)=P”(0)(0)= (O) (8)(0)= (0)(0)=P (0)(0)= (0)(0)：P (O)(0)=P”(0)x3(0)=P (0)幺(0) (0) (9)毫(0)= (0)(0)=P (0)(0)= (0)(0)=n(o) L 。(0)=77 (0)以下通过具体算例来说明如何用MATLAB实现内曲线的求解。

假定预设计的内曲线多作用液压马达是8作用 10柱塞的，则只需要设计 0—22．5。内的曲线就能绘制出整个曲线。

相关初值如表 1所示 (表中单位均为国际标准单位)。

表 1 等接触应力曲线计算初值首先，在 MATLAB中根据表 1的初值计算出解算方程组所需的所有初值。然后使用MATLAB的隐式微分方程求解函数odel5i对前面编写的等接触应力曲线方程组子函数进行求解，求解结果如图2所示。

O．1550．15目O·1450．140．1352'70(b)极坐标形式图2 0～22．5。内的内曲线以上结果只是等接触应力曲线的数值解曲线，想要用CAD软件精确绘制，必须先对曲线进行拟合而得到近似解析解。由于得到的结果是解析的数值解，所以不存在一般数据采集存在的人为误差和系统误差，故这里作者采用多项式拟合，这样能使整体的拟合误差较小，通过采用不同的阶数进行拟合并分析比较，6次多项式拟合已经能够满足要求。图3是采用 6阶多项式拟合的结果，拟合曲线的标准差和相关系数分别为6 ，P p 卵II = = = = fl ： =赢nat C
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