深沟球轴承径向载荷分布与刚度参数的研究

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动力伺服刀架作为高档数控机床的关键部件，需要满足刀架高精度定位的要求 ，所以对其中的传动部件的精度要求非常高。滚动轴承，特别是深沟球轴承作为动力伺服刀架传动系统的重要部件，其传动过程中的变形与刚度将直接影响刀架的传动精度，所以对其中深沟球轴承的载荷与刚度的求解十分必要。

深沟球轴承的径向刚度与外载荷以及接触变形有关 ，要解决深沟球轴承的刚度问题，首先就要求的深沟球轴承在承受径向载荷的时候，轴承内部接触力的分布情况以及相应的应力分布，最终根据变形与外载荷的关系得到-个关于刚度的参数，为以后的深沟球轴承的选型和应用提供理论依据，方便工程中的应用。

在对深沟球轴承的径向刚度参数的求解方法的研究中，首先需要解决的问题是接触模型的建立。深沟球轴承内部的接触形式是钢球与内外滚道之间的接触，属于两个圆弧之间的接触，所以通常选用的模型是Hertz弹性理论接触模型，此模型能够满足深沟球轴承内部接触问题的求解条件1l。

在对滚动轴承接触问题以及径向刚度的研究过程中，国内外很多学者均做了很多的研究，文献 推导出了滚动轴承接触应力和变形公式，并用COSDE计算机程序进行实现；文献弛 用理论推导的方法得到的轴承的径向位移与载荷分布。但是这些方法得到的结论都过于复杂，在进行查阅和选型时非常的不方便。文献 利用ANSYS有限元分析的方法得到了深沟球轴承载荷分布、接触应力的分布情况以及其刚度特性；文献61利用 Patran/Nastran软件计算深沟球轴承的径向刚度；文献 利用 ADAMS软件分析了深沟球轴承的接触应力；文献 对圆柱滚子轴承进行了非线性刚度分析。这些分析方法都是基于软件进行分析计算，缺少理论上的-些有力证据。

基于 Hertz弹性理论接触模型，对深沟球轴承在径向载荷的来稿日期 ：2012-1 1-27基金项目：长江学者和创新团队发展计划项目RT0816；高档数控机床与基础制造装备”科技重大专项2010ZX04014-014作者简介：王天哲，1988-，女，河南太康人，硕士研究生，主要研究方向：滚动轴承的疲劳寿命研究76 王天哲等：深沟球轴承径向栽荷分布与刚度参数的研究 第9期作用下的内部载荷分布以及接触变形进行了推导，建立了整套理论体系。创新点是在于将深沟球轴承的径向变形分解为滚动体与 为：内外圈的变形，分别求出其变形量之后进行数值相加即是总的径向变形。在得到外载荷与轴承径向变形的基础上，提出了深沟球轴承的轴承刚度参数这-概念，为以后深沟球轴承的运动学和动力学分析提供理论依据。

图 1两物体之间的接触Fig.1 The Contact of Two Bodies2理论推导此处的计算过程是基于以下几点假设进行的：1深沟球轴承只承受径向载荷；2深沟球轴承没有内部游隙；3轴承的接触角为0。这几点基本的假设可以在很大程度上方便求解的过程，并且符合-般的工况条件。

2。1载荷分布情况若深沟球轴承没有内部游隙，那么当对其进行施加径向载荷时，载荷区域正好是圆周的-半，各个钢球分别承受不同的载荷，它们的合力与径向载荷保持平衡 ，具体情况，如图2所示。假设轴承外部的径向载荷为 ，最大承载钢球A的载荷为QA， 为钢球之间的夹角，则根据 Stribeck的推导，可得到 与 之间的关系。

根据图2中的受力情况，对整个轴承进行受力平衡分析，得到： 2QBcos2/2Qccos22/.. 1式中： -径 向载荷 N； 、QB、Q 、曰、C球承受载荷 N；r 两个相邻球之间的夹角，2/2/Z，z 的数量。

通过赫兹接触理论，点接触弹性趋近量与载荷的关系：6。。p” 2 Q 3/2因此载荷与变形的关系式： c。s 3.
.

JM,4图 2轴承内部的载荷分布情况Fig.2 L0ad Distribution of Bearing同理，也可以将后面的参数进行变形。于是，式1可以转化FQ2QA c。s5/2T2Qc。s 22/ 12cos5/22/c0s 2 4此式表示深沟球轴承最大承载钢球所承载的载荷与外部径向载荷之间的关系。

为了书写的方便，可以将式6简化为： M 5其中，M：12cosmy2COS5/2 2COS5/2 因为此处的载荷是径向载荷，所以iT-<90。。

式7表示外部径向载荷与最大承载钢球的载荷之间的关系，通过此式可以发现以下关系：肘是 的函数，7是球数 z的函数，所以对于不同的球数 Z，可以得到不同的 值。Stfibeck在推导中发现，当求出不同的Z所对应的 值后，Z/M的值几乎是-不变的常数，这个发现在以后化简外部载荷与钢球载荷之间的关系具有非常重要的意义。在用MATLAB进行编程求解验证了这- 结论，如图3所示。最后考虑到深沟球轴承所在的工况条件等因素的影响，在工程应用当中-般取整数5，可以得到最大承载钢球与外载荷之间的关系。

QG：4.464.444.42- 4.4譬4.384364-344.32钢球数z与删 之间的关系-- - -- 。

. .J二60 l0 20 30 4U 50 60 7U 8o 9o lo0Z图3钢球数 z与 Z/M之间的关系Fig.3 The Relationship Between Z and Z/M22最大接触应力的求解根据Henz弹性接触理论可知，接触区域为-椭圆，应力分布为半椭球状。如图 4所示。

图4接触区域与接触应力载荷分布Fig.4 Contact Area and Contact Load DistributionNo.9Sept.2013 机械设计与制造 77式中S' n' ab 轴。

∽ 嘲 2a,b V V V 式中：-接触区域椭圆长半轴和短半轴。 R-R.R- f-l厶 1。厶 1厶 r1 故平均应力为： 厶 /
p 8 3轴承刚度参数的确定接触面积的合力等于以为a,b、Po半轴的半椭球的体积，P。的平均值即为平均接触应力：p ： 9 m 3 po所以接触区域的最大应力为：po 3Q 10此处所求得的为深沟球轴承在径向载荷的作用下，在轴承滚道正下方的滚动体所承受的最大接触应力，且径向载荷为静载荷的作用。

2.3接触区的接触变形量根据-些科研人员的推导，可以得到弹性趋近量 6的表达式为：缸 11式中：Ke-第-类完全椭圆积分；E -材料的特性参数，有：- E E E
2式中： 。 、E，、E厂两接触物体的泊松比和弹性模量。

将式12带入式13可得：器 12再将其推导出的 a的结果代进去，得到弹性趋近量的表达式：8-8 2 30 其中。

艿 ： 14式中： e-第二类完全椭圆积分； -两接触物体的曲率和mm ；e--触面椭圆的偏心率。

在求解深沟球轴承的径向刚度时，假设轴承的保持架为刚性 ，仅仅在内滚道与滚动体和外滚道与滚动体的接触处产生接触变形。

钢球与内滚道接触的变形量 ：.f ∑8i 2 y,piE J丁 15钢球与外滚道接触的变形量：。f ∑ 2∑ E 丁 16轴承刚度的确定需要建立轴承所受载荷与位移之间的关系，所以根据前面公式的推导，可以得到轴承所承受的径向外载荷与径向位移之间的关系式。

首先，用变形量 占表示载荷 Q，得到：Q：将式18带入式6中： 令：手. 18.占 19. 20故 k为所求轴承的刚度参数。式20的提出，为 MATLAB的编程提供了很大的方便，E 和 均为轴承给定的参数，对于某- 型号的轴承来说是常值。第-类和第二类椭圆积分常数只与接触面椭圆的偏心率e有关，所以在编程的时候，只需用-个循环根据不同的曲率函数的表达式使曲率函数接近相等，求出e即可。

根据 k的表达式可以得知，深沟球轴承的刚度参数只与轴承的参数有关，与其工作环境、工作状况等因素无关，可以说是轴承的-个固有特性，不同的轴承有不同曲线，如图5所示。所以在深沟球轴承的选型和对其进行动力学分析中可以提供很大的方便。

轴承外载荷与变形量之间的关系式与刚度曲线的给出，为以后对轴承进行ADAMS动力学仿真和轴承疲劳寿命的预测提供了理论依据。

l09876z 543210104深沟球轴承最大变形量与外部径向载荷之间的关系///////// 。

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.126mm图5深沟球轴承最大变形量与径向载荷间的关系曲线Fig.5 The Relationship Between Maximum RadialDeformation and Load of Beating78 机 械设 计 与 制造NO.9Sept.201 34结论1根据在径向载荷作用下深沟球轴承内部的载荷分布情况，即在轴承在工作过程中的瞬间受力情况▲而可知轴承在滚动过程中是按照脉动循环进行受力，可以进-步对深沟球轴承进行寿命预测和可靠性分析。

2每-个轴承都有给定的轴承刚度曲线，将此过程编织成了MATLAB程序，只要改变初始条件再运行程序就能得到不同轴承的刚度曲线。为以后用 ADAMS对其进行运动学和动力学分析时刚度参数的选取提供了方便 ，提高分析的准确性；同时也为以后对轴承的疲劳寿命的分析提供了理论基矗