同轴对转行星齿轮传动系统的固有特性

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Natural Characteristics of Co-axial Counter.rotatingEpicyclic TransmissionLIU Jing ，SHI Wan-kai ，ZOU Zhuo·hang(1.The State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China；2.School of Information Engineering，Wuhan University of Technology，Wuhan 430070，China)Abstract：Based on the method of gear system dynamics and La grange equation，a translational-rota-tional coupling dynamic model of the Co-axial Counter-rotating Epicyclic Transmissions(CCET)isbuilt to analyze the natural frequencies；The system natural frequency and vibration vector can be ob-tained by solving the eigenvalue according to the relevant parameters of the CCET，and the analysisresult shows that there are three diferent vibration modes：ordinary gear train vibration mode，differ。

ential gear train vibration mode and coupling vibration mode.With the increase of the planetary gearof diferential gear train，the relationship between the double root and the number of the planetary gearof diferential gear train is received.The impact of coupling stifness to natural characteristics of thesystem is analyzed。

Key words：CO-axial counter-rotating；planetary gear ；vibration mode；coupling stifness收稿 日期 ：2013-02-14基金项目：国家自然科学基金项目(51075408/E050201)作者简介：刘敬(1986-)，男，湖北孝感人，硕士研究生，主要从事机械设计及理论研究。

行星齿轮传动系统具有体积孝传动比大、承载能力强等优点。同轴对转传动系统不仅具有普通行星齿轮传动的特点，还可以将单-输入转换成两个输出，实现减速增扭的作用。

国内外学者对行星齿轮系统的固有特性进行了深入研究 。Kahraman等 采用集中质量法建立了行星齿轮系统的非线性时变动态模型，考虑不同误差种类对系统动态特性的影响，并通过实验模型验证了不同误差与行星轮个数对系统动态特性的影响。Lin和 Parker3 建立了直齿行星齿轮传动系统的扭转-横向耦合模型，分析了无阻尼振动下系统的3种振动模式：扭转振动、横向振动和行星轮振动。Zhu等4 建立了柔性销轴行星传动系统的动力学模型，分析了其模态特性与不同变量对 固有频率灵敏度 的影响。赵永强等 以人字齿封闭行星轮系为研究对象，指出了系统存在星形轮系振动模态、行星轮系振动模态和耦合振动模态，并对其进行了模态跃迁现象分析。罗玉涛等 推导并建立了混合动力传动系统的纯扭转动力学模型，讨论了耦合刚度对系统固有频率的影响。秦大同等 基于 Lagrange方程建立了盾构机多级行星齿轮传动的动力学模型，并分析了该系统的模态特性、位移响应和加速度响应等特性。

1 齿轮传动系统的动力学模型同轴对转传动系统如图 1所示。定轴轮系由太阳轮 z 行星轮Zp (i1，2，，Ⅳ)和内齿圈z 。

组成；差动轮系由太阳轮 、行星轮 z ( 1，2，， )、内齿圈 z，2和行星架 C组成，其中，内齿圈是双齿圈且采用相同的几何参数。输入扭矩通过太阳轮分流传递给定轴轮系机构与差动轮系机构，并通过 内齿圈和行星架 C分别形成输 出 A和 。

为了简化计算模型，在建立同轴对转系统的平移-扭转齿轮传动系统的动力学模型时做以下假设：各个构件为刚体；各级行星轮在圆周均匀分布，其平移质量与转动惯量分别相等；系统中各个构件的支撑刚度为常值，各对齿轮之间的啮合刚度也为常值，忽略啮合阻尼对系统的影响；忽略齿轮对啮合时的摩擦力、传递误差等。

图 1 同轴对转传动 系统基于集中质量参数法建立同轴对转传动系统的动力学模型。图 2(a)为固定坐标系下定轴轮系的动力学模型，其中 为太阳轮 Z .与行星轮z 的啮合刚度，K 为内齿圈z， 与行星轮 z 的啮合刚度；图2(b)为差动轮系以行星架转速 ，为动坐标的动力学模型，其中 为太阳轮z 与行星轮 z 的啮合刚度，K 为内齿圈z 与行星轮 z ，的啮合刚度。图(2)中：k。为太阳轮 z z ：之间的耦合扭转刚度；k 为内齿圈 z zr2之间的耦合扭转刚度；k 为行星架的扭转刚度；k k 分别为内齿圈Z zr2的支撑刚度； Dl、 分别为行星轮 zz 的支撑刚度。行星轮支撑刚度按 Montestruc提供的方法进行计算。

(a)定轴轮系动力学模型 (b)差动轮糸动力学模型图2 同轴对转系统动力学模型同轴对转传动系统共有(133N3M)个 自由度，其广义坐标如下：X ( 1， 1， 1， ，s ，叼pl， ，1，H 1，Vr1，2， 2， 2， 阿， 阿，叼哪， r2，Hr2， ， ) ，i 1，2，，Ⅳ；J1，2，， (1)式(1)中： rl、 、 耐和 r2分别为齿轮 z刘 敬，等：同轴对转行星齿轮传动系统的固有特性 43z z z z 和 沿啮合线的微位移； 和( s，r；Y1，2)分别为齿轮 y中心的横向和纵向微位移； 和 叼 为行星轮z 中心的径向和切向微位移， 和 叼 为行星轮 z 在动坐标系下中心的径向和切向微位移； 为行星架 c在其半径 r。

M-xp-∑N (- )：0 - -∑i1 ( -6r1 6r1 6r2m - ∑ 6 sin(ot： )krl 0m，1 l∑ 6叫COS(O2 )k 1 10(5)2 同轴对转系统的动力学平衡方程 差动轮系平衡方程：设 和 为定轴轮系第 i个行星轮与太阳轮和内齿圈沿啮合线的等效微位移，6 和6 为差动轮系第 个行星轮与太阳轮和内齿圈沿啮合线的等效微位移，则：6印 Xs1-戈Pl-Oplsino/1-叼piCOSO/11 sin( 1- ) lCOS( l- )6 rpl - lopisintx2-叼PiCOSO/2-sin( z )VrlCOS( )(2)耐 - 阿 - 6jsinot3 - mjCOSOt32sin( 3- ) 2COS( 3-咖 )6，阿 戈耐 - r28jsinot4-r/mjcosoq -月r2sin( 4 ) COS(O/4，bj)式(2)中： 21r(i-1)/N为定轴轮系第 i个行星轮相对于第 1个行星轮的位置角；咖 2，r( -1)/M为差动轮系第.J个行星轮相对于第 i个行星轮的位置角； 和 O/ 分别为定轴轮系行星轮与太阳轮和内齿圈的啮合角，Ot，和 O/ 分别为差动轮系行星轮与太阳轮和内齿圈的啮合角。

根据 Lagrange方程推导出同轴对转系统各个自由度的振动微分方程。

定轴轮系平衡方程：， 薹 kl。( Xsl -蓑) Tli 1 116 1。ns。∑N 6。sin( 。- )：0 (3) s( t- )0r -Ksp6 ：0 - sin0t1 i6 sinazkpipi0- 6 COSO/1- 叫COSO/2kp1 0M - ( - )：0，2 MK sm。i(sm，i -rbs2(rbsl- )0m 2 ∑Ks 耐sin(a3J1Mm 2∑ 晒 COS(9/3- )0 (6)- )0M喇 喇- Ks嘲8 s喇 K州6 rmj 0， 晒 -Ks耐6 sina3Kr州6 fsin 4知 0 (7)，n面西耐-K 6 阿COSt)/3-K 6，cosct4kp2(叼耐- 。)0M2l r6(Tr l-rbr2m - ∑ 州sin(a ) ：0mr2 ∑K州6删cos(4 ) r2 0(8)。

- ∑ ( 。- 面)kc -T3/r (9)J1其中： 和 m分别为各个构件的等效质量和平移质量，且 MJ/r ；J为构件的转动惯量，对于齿轮，r是其基圆半径 r ，对于行星架，r是其当量基圆半径 r T1为同轴对转系统的输入扭矩， 为差动轮系内齿圈 z，2的输出扭矩， 为差动轮系行星架 C的输出扭矩。

将方程(3)-(9)整理成如下的矩阵形式：[M]Xj[K(t)]XF (1O)其中： 、 分别为广义质量矩阵和广义坐标位移列阵；F为外载荷列阵；K为刚度矩阵。

重 庆 理 工 大 学 学 报3 固有特性分析根据式(10)建立的同轴对转系统平移-耦合动力学模型对系统进行模态分析，可得到系统的各阶固有频率与对应的振型。式(10)对应的特征值问题为∞2 (11)其中： 为系统的第 阶固有频率； 为对应固有频率下的振型矢。

表 1给出了某-同轴对转系统的几何参数，通过计算可以得到系统的各阶固有频率与振型矢量。主要考虑系统不同的振动模式、两级行星轮个数与固有频率重根数的关系、行星轮个数的改变对振动模式的影响、系统耦合刚度的变化对固有频率的影响等。

表 1 同轴对转系统的几何参数耦合冈4度 k12(N·m- ) k。1 5.2×10s，k，1，21×106表2列出了定轴系统行星轮N3时，系统在差动轮系行星轮M3、4、5下的固有频率，同时分析了不同固有频率下系统的振动矢量，得到以下的结论：1)定轴轮系振动模式① 此时差动轮系振动幅值为0，定轴轮系各构件主要表现为平移模式振动，即中心构件的扭转振动为0。图3为定轴轮系振动模式的振型图。

② 随着差动轮系行星轮个数的增加，定轴轮系各振动频率不发生变化，差动轮系振动频率个数为(3M1)。

2)差动轮系振动模式① 此时定轴轮系各构件振动幅值为0。当M为奇数时，差动轮系的振动频率均为重根，重根数为(3M1)/2，各构件主要表现为平移模式振动；当 为偶数时，差动轮系的振动频率有单根和重根，此时单根主要表现为差动级行星轮模式振动，重根主要表现为平移模式振动。图4为差动轮系振动模式的振型图。

② 定轴轮系行星轮-定时，随着差动轮系行星轮个数的增加，系统的振动频率变化趋势为逐渐增大，这与文献[5]中的结果-致。

表2 定轴系统行星轮的固有频率(N3)刘 敬，等：同轴对转行星齿轮传动系统的固有特性 45(a)定轴轮 系 (b)差动轮 系图3 定轴轮系振动模式振型图(M：3，Ⅳ：3) 图5 耦合振动模式振型图( 4，Ⅳ3，，230 Hz)图4 差动轮 系振动模 式振 型图(M 4，N3)3)耦合振动模式① 随着差动轮系行星轮个数的增加，耦合振动频率个数不发生变化，共有 11个固有频率，并且无重根。

② 系统的振型主要为两级构件的扭转模式振动。图5为耦合振动模式的振型图。

4 系统的耦合刚度对固有特性的影响定轴轮系与差动轮系有两种不同的耦合，即两个太阳轮的扭转耦合与两个内齿圈的扭转耦合。以两太阳轮的耦合刚度为设计变量，两内齿圈的耦合刚度为定值，考查不同太阳轮扭转耦合刚度下系统的固有频率变化情况。此时取两级行星轮个数为MN3，k 1.0×10 ，计算不同太阳轮耦合刚度下系统的固有频率，可以得到如下结论：扭转刚度的变化对定轴轮系振动模式和差动轮系振动模式的固有频率没有影响，各阶频率保持不变。说明定轴轮系振动模式和差动轮系振动模式的固有频率只与齿轮的啮合刚度和质量有关，与扭转耦合刚度无关，与文献[7]的结论-致。

表3列出了太阳轮耦合扭转刚度下系统的固有频率。随着两太阳轮耦合刚度的增加，耦合振动模式的固有频率也相应递增。

表3 太阳轮耦合扭转刚度下系统的固有频率(M3，N3)5 结论1)基于 Lagrange方程采用集中参数法建立了同轴对转传动系统的平移-扭转耦合动力学方程，分析了其固有特性。

2)同轴对转系统具有 3种不同的振动模式：定轴轮系振动模式、差动轮系振动模式和耦合振动模式。讨论了不同差动轮系行星轮个数对系统固有特性的影响，指出了重根数与行星轮个数的46 重 庆 理 工 大 学 学 报(上接第35页)