基于改进双树复小波变换的轴承多故障诊断

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在滚动轴承故障诊断技术中，常用的方法有包络谱分析、短时傅里叶变换]、Wigner-vile分布[2]、小 波 变 换[3训、Hilbert-Huang 变 换L5 ]、Teager-Huang变换[7 等，在这些轴承故障诊断技术中，小波变换分析技术的应用最为普遍。离散小波变换由于具有多分辨的能力，在机械设备故障诊断中得到了广泛应用[4]。离散小波变换采用Malet算法，在信号的分解和重构过程中容易产生频率混叠现象，不能正确反映信号的真实频率成分，严重影响了故障特征信息的提龋双树复小波变换[8 ](dual-tree corn-plex wavelet transform，简称DTCWT)不仅具有近似平移不变性，且在-定程度上能有效减少频率混叠的产生，成功应用于图像处理[1 ]、语音识别[1引、信号降噪处理 H 和发动机故障诊断 等领域；但双树复小波变换不能从根本上完全消除频率混叠现象，限制了其应用效果。

笔者将双树复小波变换与经验模态分解(em-pirical mode decomposition，简称 EMD)结合，提出了-种改进双树复小波变换方法，将其应用于齿轮箱轴承多故障振动信号故障特征信息的提龋仿真和实测齿轮箱振动信号分析结果表明 ，该方法能有效消除频率混叠现象，能有效提取轴承的故障特征，· 国家 自然科学基金资助项 目(50975185，50775219)收稿 日期 ：2011-03-25；修改稿收到 日期：2011-12-06提高了轴承多故障诊断的效果。

1 双树复小波变换双树复小波变换首先由Kingsbury等L8 提出，后经Selesnick等 ]进-步发展。双树复小波变换保留了复小波变换的优良特性，采用双树滤波器的形式保证了信号的完全重构性；因此，双树复小波变换是-种具有近似平移不变性、良好的方向选择性、有限的数据冗余性、完全重构性和计算效率高等特性的小波变换。双树复小波变换采用两颗并行的实小波变换实现对信号的分解和重构，分别称为实部树和虚部树。在信号的分解与重构过程中始终保持虚部树的采样位置位于实部树的中间，使之能有效利用实部树和虚部树的小波分解系数，实现实部树和虚部树的信息互补和近似平移不变性，减少了有用信息的丢失。双树复小波变换在各层分解过程中利用小波系数二分法减少了多余的计算，提高了计算的速度。双树复小波变换的分解与重构过程如图1所示。

根据双树复小波的构造方法，复小波可表示为( )- %( ) (f) (1)其中：%( )，体(f)为两个实小波；i为复数单位。

由于双树复小波变换由两个并行的小波变换组成，根据小波理论，实部树小波变换的小波系数和尺度系数为54 振 动、测 试 与 诊 断 第 33卷图 1 双树复小波变换 的分解和重构过程r ∞ (n)-2寺l z体(2 t-n)dt ( -1，2，， )(2)r r ∞c ( )2专I z(f) (2 t-n)dt (3)d - ∞ 虚部树小波变换的小波系数和尺度系数为r o。

f ( )2专I z%(2 f-n)dtJ - ∞ 双树复小波变换 的小波系数和尺度系数为因此，双树复小波变换后的重构信号主(f)的幅值包络可表示为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 - 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 - Env - √Treee l TreeiZm y (12)由式(11)和式(12)可知，双树复小波变换能将信号z( )进行有效幅值解调，得到信号z( )的幅值包络。通过对幅值包络进行傅里叶变换，得到信号的包络谱。

(5) 2 经验模态分解(，z)- (n)ida(n) ( 1，2，， )(6)c5(n)- c； ( ) c (n) (7)双树复小波变换的小波系数和尺度系数可由式(8)和 (9)进行重构dj-2 [∑ (n)cA(2 - )∑ ( )%(2 t-k)3 (8)k- --ooc，2 [∑c ( )%(2 f-n)示为∑f1，(”)%(2 t-是)] (9)k 双树复小波变换后的重构信号 。 可表示为- d (1O)根据式(8)～(1O)，原信号z的重构信号可表王(f)- Tree l /Treei gi y (11)经验模态 分解n (empirical mode decomposi-tion，简称EMD)是通过对非线性、非平稳信号的分解获得-系列表征信号特征时间尺度的固有模态函数 (intrinsic mode function，简称 IMF)，使得各个IMF是单分量的幅值或频率调制信号，从而使瞬时频率的定义具有物理意义。经验模态分解经过-系列筛选过程实现，具体算可