基于广义形态分量分析的降噪技术研究

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De-noising method based on generalized morphological component analysisL/Hui ，ZHENG Hai-qi ，TANG Li-wei(1.Department of Electromechanical Engineering，Shijiazhuang Vocational Colege of Railway Technology，Shijiazhuang 050041，China；2.First Department，Ordnance Engineering Colege，Shijiazhuang 050003，China)Abstract： Morphological component analysis(MCA)is a novel signal or image procesing technique based onsignal morphological diversity and sparse representation.MCA takes advantage of the sparse representation of analyzeddata in over-complete dictionaries to separate features in the data based on their morphology.Aiming at the problem ofextracting a useful signal from strong background noise，a novel de-noising approach based on generalized morphologicalcomponent analysis(GMCA)was presented.By introducing the virtual observation signal into the original signal，the onedimensional observation signal vector was converted into multi-dimensional virtual observation signals.The GMCA wasthen applied to the virtual observation signals，the blind source separation was realized and the noise was eliminated.Thesimulation and test results showed that not only a weak signal is separated，but also the signal noise ratio of the separatedsignal is improved；the fault of gear wear can be effectively detected and diagnosed；the denoising performance is betterthan the traditional independent component analysis method。

Key words：generalized morphological component analysis；sparse component analysis；fault diagnosis；denoising；independent component analysis在机械设备信号测试系统中，传感器所拾取的振动信号不可避免地受到不同类型噪声的干扰，严重影响机械设备故障特征的提韧故障诊断的准确性。但是，由于噪声产生机理和类型的复杂性，有效去除信号中的噪声有时变得十分困难。因此，信号的降噪处理- 直是信号处理领域的热点和难点问题I J。目前 ，常用的信号降噪方法有滤波器滤波 J、小波降噪 J、Hil。

bert-Huang变换(HHT)降噪 、盲源分离降噪lL4 等，这些方法各有 自己的优势和不足↑年来，为了对多分量的复杂信号进行分析，基于多种基函数的稀疏信号分解方法得到迅速发展，其中原子分解 (Atom基金项目：国家自然科学基金资助项目(50975185，50775219)收稿日期：2011-11-07 修改稿收到日期：2011-12-09第-作者 李 辉 男，博士后，教授，1968年生Decomposition)和独立分量分析 (Independent Compo-nent Analysis，简称 ICA)得到了广泛应用。传统的独立分量分析方法假设源信号是统计独立的，其结果是把信号分解成若干个相互独立的成分，虽然ICA方法在许多应用中 取得了较好的效果，但是 ICA基于统计独立的假设条件，具有较大的局限性。最近，Starck等 基于信号的稀疏表示和形态多样性，提出了形态分量分析 (Morphological Component Analysis，简称MCA)的信号或图像处理方法，其基本思想是利用信号组成成分的形态差异性，不同的信号分量可以用不同的字典稀疏表示，其结果是把源信号分解成若干个形态各异的稀疏信号，因此，被分解出的各个信号分量更易于具有实际的物理意义。形态分量分析方法已在图像处理 "J、医学信号分析 引等领域得到了应用，且取得了较好的效果。但是，广义 MCA要求观测信号的振 动 与 冲 击 2013年第 32卷数目不小于源信号的数目。为此，本文提出了通过增加虚拟观测信号的数目，将源信号和噪声信号分离。

并将该方法的降噪效果与基于独立分量分析的降噪方法进行了对比，并将该方法应用于齿轮箱齿轮磨损故障诊断中。仿真和实测齿轮箱振动信号分析结果表明：该方法能有效提取强背景噪声中的微弱信号，其信号分离性能和降噪效果均优于传统的独立分量分析方法。

1 MCA方法简介1.1 形态分量分析的基本原理[蛆对于任意的实信号 s∈ ，假设 s是 个不同形态分量 s 的线性组合，即s，∑.s ，每个信号分量s 都存在着相对应的能够稀疏表示该信号分量的字典，即S 4 Ot ，其中， 为过完备字典，Ot 为分解系数，并且该字典仅能稀疏表示该信号分量，对于其它信号分量不能稀疏表示。则 s的稀疏分解可以归结为求解如下优化问题： 1l O(k Il l s.t· -㈦Z 4 ( )放宽约束条件，式(1)可转换为：K Kl OLk l·A I s- (2)式中：A为给定阈值。

根据 S Ot ，给定 s ，可以得到 ：OL S (3)式中： ( )～， 为 的伪逆矩阵；为残余信号。

根据式(3)，式(2)求解系数O/ -， 的问题，可以转化为求解信号分量s -，s 的问题：K Kl s lJl -k∑ ls (4)1.2 MCA的实现步骤根据式 (4)的优化问题，Starck等 在 BCR(Block Coordinate.Relaxation)方法 的基础上，给 出了MCA的数值实现步骤：(1)给定最大迭代次数Lmax和阈值 ：L A /2；(2)当6 >A /2时k1，，K，假设Sk'#k和OL ，不变，更新s ：① 计算残余量 s- s ；② 计算 ；③ 采用阈值法筛选 ，阈值为 6 ，得到分解系数 ；④ 重构 s ：s ；假设 s ，和 O/ 不变，更新 Ot ：(3)更新阈值：6 -A /2。

1.3 广义形态分量分析(GMCA)的实现步骤在形态分量分析方法中，为了匹配被分析信号 自身的结构特征，需要根据信号的结构特征设计和选择字典。常用的字典有 Dirac字典、Fourier字典、小波字典和小波包字典等，字典不仅要匹配被分析信号的特征结构，而且要保证信号分解的计算效率和重构算法的精度。但是，由于在求解式(4)的优化问题时，每次迭代都要用到字典 ，因此 MCA方法计算工作量较大，信号分离速度慢。为此，Starck等 在 MCA的基础上，提出了快速广义形态分量分析(Generalized Mor-phological Component Analysis，简称 GMCA)方法。GM-CA仅在迭代前利用字典 得到信号的稀疏表示，而在以后的迭代中不再使用，因此，大大提高了计算速度，且信号分离精度较高。在快速GMCA算法中，式(4)的优化问题变为：1 三min÷l B-A l 2，A I l： (5)，Ct 厶 1式中：BX4，X为观测数据矩阵，每个观测信号为-列向量，P0或P1，A为混合矩阵，A为迭代阈值。

GMCA算法的实现步骤为：(1)给定观测数据矩阵 、字典 、最大迭代次数 、源信号数目K、观测数据向量数Ⅳ 、停止迭代阈值A和阈值更新方法；(2)随机选取初始混合矩阵A ；(3)由B 得到矩阵B；(4)设置初始阈值 A ；(5)当A >A 时，k1，，K更新系数 ： Thresh (A B)；更新昆合矩阵A：A 1Bcck1 ，并将矩阵A归-化；(6)更新阈值 A 。

GMCA是-种快速有效的盲源分离方法，它充分利用了信号的形态多样性和稀疏性的特点，把源信号视为不同形态分量的稀疏表示，并充分利用稀疏性来估计源信号和混合矩阵A，在图像处理领域取得了良好的效果 ，但在齿轮箱故障诊断中的应用还未见报道。

2 基于GMCA的降噪原理GMCA方法处理的数据对象通常为多维观测信号，因此，当处理-维观测信号时，必须引入虚拟观测信号，将-维观测信号扩展为多维观测信号。

对于由传感器采集得到的-维观测信号 (t)，假设 (t)为源信号S(t)和噪声信号/，(t)的线性叠加，则观测信号 ，(t)与未知的源信号 ( )之间的关系可表示为：第 1期 李 辉等：基于广义形态分量分析的降噪技术研究 147(t)s扎(f) (6)假设噪声信号 (t)中含有多种不同的噪声分量，n(t)∑kl (t)，k 为第 i个噪声的权重系数，则式(6)可表示为：M1(t)s(t)> ki凡 (t) (7)在GMCA算法中，要求观测信号的数量不小于源信号的数量，因此，根据式(7)，若将各种不同的噪声信号分量[ (t)， (t)，，n (t)]也视为源信号，显然源信号的数量将大于观测信号的数量，为此，需引入虚拟观测信号。若将 个噪声分量( (t)，n (t)，，n (t))作为 个虚拟观测信号，则式(7)所示的-维观测信号将变为M1维观测信号：g量1 k10 10 0 ： ：O OMs( )∑ki ( )i11(t)n2(t)n ( )k2 k0 ··· 01 ··· 0 ： ：0 1s( )1(t)凡2(t)：肼(t)s(a)时域图Hz(b)频域图图1 仿真信号时域图和频谱图Fig.1 The simulative signal and spectrum(b)噪声信号图4 GMCA分离信号分量的时域图Fig.4 The separated signal using GMCA从式(8)可以看出：将噪声信号n(t)引入由传感器采集得到的-维观测信号 (t)中，若将真实的源信号S(t)和各种噪声信号[n。(t)，n：(t)，，nM(t)]视为源信号，只要能计算出混合矩阵A，就可以从观测信号中分离出真实的源信号s(t)，从而达到使真实源信号 s(t)消噪的目的。

3 信号仿真分析为了验证广义形态分量分析的降噪性能，源信号由基频为50 Hz、调频频率为20 Hz的调制信号和-个频率为 150 Hz正弦信号线性叠加而成：S(t)0.3sin[(1O0t)0.5sin(407rt)]0.25sin(300rt) (9)选取采样频率为2 000 Hz，采样时间0.256 S，采样点数为512。仿真信号的时域图和频域图见图1。

假设式(9)所示源信号S(t)受到高斯白噪声 (t)干扰，如图2(b)所示，受噪声污染的源信号s(t)的时域图及其频谱图如图3所示。由图3(a)可知：源信号s(t)几乎淹没在强干扰噪声n (t)中，其频谱特征十分模糊，干扰噪声的频谱完全淹没了源信号的频谱。

为了恢复源信号 s( )，引入虚拟观测信号 n (t)(图2(b))，其二维观测信号用矩阵表示为：： As( ) (8) ( )E s(t) ，n。] (1O)采用 GMCA方法对图2所示的二维观测信号进行处理，其分离信号分量的时域图和频谱图分别如图4、图5所示。

t/s(b)噪声信号 ( )图2 观测信号Fig.2 The observation signalflHz(a)源信号频谱图Hz(a) (，) .(f)的频谱图Hz(b) (f)的频谱图图3 观测信号的频谱图Fig.3 The spectrum of observation signal(b)噪声信号频谱图图5 GMCA分离信号分量的频谱图Fig.5 The spectrum of separated signal using GMCA(b)源信号图6 JADE分离信号分量的时域图Fig.6 The separated signal using JADE148 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷分别对比图4(a)和图1(a)、图5(a)和图 1(b)可知，通过引入虚拟噪声观测信号，利用 GMCA实现盲源分离后，不仅源信号得到了精确恢复，而且源信号中的干扰噪声也得到了有效消除，大大提高了观测信号的信噪比。恢复信号的频谱图完全反映了源信号S(t)的频谱特征，因此基于GMCA的信号分离方法，能有效实现信噪分离，为-种有效的降噪方法。

为验证基于 GMCA的盲源分离降噪技术的有效性，采用独立分量分析降噪方法 J，对图2所示的二维观测信号进行处理。图6和图7分别为采用 JADE和固定点(FastICA)算法，进行独立分量分析降噪的结果。从图6和图7中可以看出，JADE和 FastICA方法都能将源信号成功分离。为了进-步对比基于 GM-CA、JADE和FastICA方法的性能，分别从信号的信噪比(SNR)、峰值信噪比(PSNR)、计算时间和分离源信号的均方根误差(MSE)指标等对三种方法的性能进行评价，如表 1所示。从表 1可以看出：本文提出的基于GMCA盲源分离技术的降噪方法，不仅信噪比最高，而且计算速度快且信号分离精度高，表明基于 GMCA的降噪方法是-种有效的盲源分离方法。同时，由仿真结果可以发现，即使信号完全淹没在强噪声中，基于GMCA的降噪方法也能将源信号成功分离。

f/s(b)噪声信号图7 FastICA分离信号分量的时域图Fig.7 The separated signal using FastICA表 1 ·眭能对比Tab.1 Comparision of performance4 基于 GMCA的齿轮磨损故障诊断齿轮箱振动信号采集系统见文献[18]，齿轮箱输入轴齿轮齿数 。28，输出轴齿轮齿数为z：36，用人工方法将输出轴齿轮上某-齿的啮合线附近磨掉约0.4 mm，以模拟齿轮单齿磨损故障。实验时采样频率为16 384 Hz，采样点数为2 048，电机转速为 1 473 r/min，因此输入轴回转频率 24.55 Hz，输出轴回转频率为厶 19.11 HZ，齿轮1阶啮合频率为. 688 Hz。

图8为齿轮箱输出轴齿轮单个齿面磨损时齿轮箱箱体振动信号的时域图和频谱图，从频谱图中能清晰看到齿轮 1阶、2阶啮合频率，但边频带信息模 ，因此，难以判断故障发生的部位。

ls(a)时域图，/Hzfb)频域图图8 齿轮磨损故障振动信号的时域图和频谱图Fig.8 The vibration signal of gear with wear fault and its FFT图9为引入虚拟观测噪声信号后形成的二维观测信号，其中图9(b)为引入的高斯白噪声，图9(a)为图8(a)和图9(b)信号的线性叠加。图 10和图 11分别为采用 GMCA方法分离后各信号分量的时域图和频谱图。对比图11(a)和图8(b)可以看出，由于源信号中的干扰噪声得到了有效消除，在图11(a)源信号的频谱图中，不仅齿轮1阶、2阶啮合频率十分明显，而且在 1阶、2阶啮合频率周围，出现了以故障齿轮轴回转频率. 为问隔的边频带簇，图 11(a)中的边频带结构充分反映了齿轮故障的频域特征，因此可以断定输出轴齿轮存在磨损故障。图 1 1的实验结果与理论分析相符，从而在频域内也验证了所提出方法的正确性和有效性。

(b)噪声信号，2 (f)图9 观测信号 ·Fig.9 The observation signal为了对比GMCA方法在齿轮磨损故障诊断中的有效性和准确性，采用独立分量分析对图 9的二维观测信号进行了处理。图 12和图 13分别为采用 JADE方法分离后各信号分量的时域图和频谱图。图 14和图l5分别为采用 FastICA方法分离后各信号分量的时域第 1期 李 辉等：基于广义形态分量分析的降噪技术研究 149图和频谱图。在图 13和图15中，由于源信号与干扰噪声的分离效果不太理想，齿轮的故障特征不太明显。

对比图11、图13和图 l5可知，在三种信号分离方法中，GMCA方法的信号分离效果最好，不仅信号分析的信噪比最高，而且信号分离精度也最高(表 2)，有效提，X10。2/s(a)源信号，x10Vs(b)噪声信号图 10 GMCA分离信号分量的时域图Fig.10 The separatedsignal using GMCAl薹X萋薹Xfx 10-VHz(a)噪声信号频谱图fx 10-VHz(b)源信号频谱图图13 lADE分离信号分量的频谱图Fig.1 3 The spectrum ofseparated signal using JADE高了齿轮箱故障诊断的准确性和有效性。以上分析结果表明：基于独立分量分析的盲源分离方法，易受噪声的影响，而基于GMCA的盲源分离技术，对噪声的稳健性较好，不仅能很好实现信号的盲源分离，而