一类三自由度碰撞振动系统的分岔与混沌演化

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· 机械研究与应用 ·2013年第2期(第26卷，总第124期) 研究与分析式中 ：·”表不对无量纲时I司t求导数。尢量 量如下(i1，2，3)：M C K。

C1 Pi- 丽 丽 ，P。： 研 ， ：用 表示该系统微分方程的正则模态矩阵。利用模态叠加法求得方程(1)的通解如下(i1，2)： ∑ (e-jt(cos(， tbisin∞ )sin(tot r) cos((o 7I)) (2)3e- (a3cos Dd3tb3sin 6 d3t)A3sin(tot )B3CO8(mt丁) (3)式中： 为正则模态矩阵砂的元素；to √∞ - ( 1，2，3)， ， 和 为振幅常数( 1，2)：2 J ㈩ -( - ) (2叼∞)- (5)≤ ( 2u 。 ㈣ 。-(Mk3-lT3) 3)等耐 。 (7)在适当的参数下，图 1所示的碰撞能够表现为周期碰撞过程。周期 q1/n运动表示振子碰撞后时间t0，下-次碰撞的时间敲为 2n丌/(1)(n1，2)，即连续两次碰撞的时间间隔皆为 2nr/w。系统周期运动的初始终止条件为：1(0) 1(2nr/w) 1o； 1(0)- 3(0)： ；(。) i 。(2n盯/∞) ×(2n1T/ )： 。； ，(0)： 。(2凡1T/∞)竺s(2nr/w) ，； z(0) z(2 /c )： ：。； ：(o)： (2 盯/ )： 。

3 碰撞振动系统的 Poincar映射及 -1周期运动的稳定性分析选择 Poincar截面：式 0otmod 2竹，贝0 X ( 1o， 1， 20， 20， 3，tro) 表示碰撞振动系统在 Poincar截面 上周期 -1碰撞不动点。

AX(Ax10，Axl，△ 20，△ 20，△ 3，△ ) 和 AX ( 。，△ ， ，△ 。，△ ，△ ) 是碰撞不动点的扰动量。

当质块 与质块 ，的位移之差 。- ≤ 时，扰动运动的方程可以写成(i1，2)：2Xi( )∑ [e- (ajeos dJ bjsin∞ )A sinJ1(tot r0△丁)B COS(tot丁o△ )](8)3(t)e- (a3cos 02d3t十b 3sin d3t)A3 sin(∞ 丁o△丁)B3COS(mt丁o△7-) (9)将扰动边界条件代人到扰动解中，可求得映射处于不动点时线性化矩阵：of( ，0)of( ，AX)l(OAX)l 0) (10)运用 Poincar6映射理论分析碰撞振动系统的运动稳定性，求解系统的线性化矩阵。当线性化矩阵有- 共轭特征值横截单位圆周时，系统可能发生 Hopf分岔；当线性化矩阵有-实特征值经过(-1，0)点时，系统可能会发生倍化分岔；当线性化矩阵有-共轭特征值横截(1，0)点时，系统可能发生鞍阶分岔。

4 碰撞振动系统的Hopf分岔、周期倍化分岔及混沌选择三自由度相对碰撞振动系统的-组参数值：Lo0 o0， m32.0， 0.5， k21.0， 31.0， k3 1.0， 0.01，R0.8， 0.1。特征值如图2所示。

图2 特征值图编程仿真揭示了当 re

， ，c， 研究与分析 2013年第2期(第26卷，总第124期)·机械研究与应用 ·3(c)和(d)；随着激励频率 O9继续递增，系统经过锁相运动进入混沌运动，如图3(e)。

(b)CO200122(c) 2.005 (d)∞ 2.0117(e)功 2.016图3 Poincar6映射投影图选择系统的另-组参数值 。0 。0， 1。

0，/Zm20.5， l(21.0，/X。31.0， k31.0， ：0.01，R0.8， 0.01。数值仿真 O9周期运动时系统不动点领域内的特征值发展趋势，如图4。

图4 特征值图当O9

(a) 2.182 (b) 2.2008(c) 2.216 d) 2.217351(e) 2。2176图5 Poincar6映射投影图5 结 论本文全面分析了该三自由度相对碰撞振动系统的分岔与混沌的动力学行为，在适当的系统参数下，系统发生倍化分岔和 Hopf分岔，寻找到系统环面倍化和 Hopf分岔向混沌演化的道路，并且给出了系统在发生混沌运动时的Poincar6映射图。