三自由度复杂冲击振动系统的分岔与混沌

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在实际生产、制造和装配的过程中，成套制造设备的误差导致机械设备存在间隙，并且在调试运行的过程中，由于冲击碰撞振动也会产生-定的间隙，这些冲击碰撞振动造成系统整体的强烈振动.目前，对于高维冲击振动系统的研究比较少，尤其对于高维冲击振动系统的参数、系统动态响应的表达式和系统周期运动的影响会更加复杂。

机械动力系统的冲击振动通常是由内部或边界上的间隙产生，即在零部件间或零部件与边界间的往复碰撞冲击.对于这类含间隙系统[1-3]的理论研究已引起国内外学者的普遍关注.还有许多利用冲击振动达到预期目标的装置和冲击机械，如冲击减振器、打桩机、振动落砂机[4.5]和冲击振动成型机.这类冲击引起的振动现象呈现出复杂的周期运动或混沌运动，使这类系统的动力学行为变得很复杂.国内外学者已广泛应用分岔、混沌理论来研究冲击振动系统的动力学特性[6-8]。

本文建立了三自由度复杂冲击振动系统的力学模型和Poincar6映射，通过对系统周期运动的解析解的求解，数值模拟了系统 Hopf分岔的拟周期道路和倍周期道路的混沌发展演化过程。

1 力学模型及微分方程图 1表示-类具有 3个振子M1、M2和M 的三自由度对碰系统的动力学模型图.其中振子M1和M 分别通过刚度系数分别为K 、Kz和K。的线性弹簧以及阻尼系数分别为 G、C2和 C 的线性阻尼器与两端刚性平面相连，振子M3通过弹簧和阻尼器与右端刚性平面相连接，弹簧刚度为Kt，阻尼器阻尼系数为C4.建立如图所示的坐标系，3个振子只作水平方 向的运动，并分别受到简谐激振力P sin(QTr)( 1，2，3)的作用.在弹簧处于平衡位置时，振子M1和M3之间间距为△，假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞过程由碰撞恢复系数R确定，碰撞持续时间略去不计。

图1 三自由度系统模型图魄 1 scIeI憎ticlfthetlⅡ1ee- -0f·frmrk osdlor相邻两次碰撞之间(x。-△>X )，振动系统的无量纲运动微分方程为[ ] [ ][ 二 - fin(T(1)稿 星32 以z3k4X3-f3osin(tr) (2)当X。-X。-A时，M1和M3发生碰撞，质块M1和M3的冲击方程为. 1- . 3： l (1 R)·.T1十 - - 1-T - r r - lm3 r b鸱收稿日期：2012-12-18作者简介：张其武(1986-)，男，甘肃会宁人，硕士生，主要研究方向为车辆工程、非线性系统动力学.E-mail：zhangqwlO11###163.Eom第3期 张其武等：三自由度复杂冲击振动系统的分岔与混沌 (3)在方程(1)和(2)中，星 ”( 1，2，3)作为振子M 的位移z 对无量纲时间t求二阶导数， ”作为振子 的位移z 对无量纲时间t求-阶导数；主表示第 i个质块碰撞前的无量纲瞬时速度，立斗表示第 i个质块碰撞后的无量纲瞬时速度；设M1≠0，K1≠0，C1≠ 0，其中无量纲量为： Ci，触 -gi， - ( ： 1，2，3，4) l 篇， - ，z 鲁( ，2，3)- - TC丽1 ，Po届 而 (4)令 为方程(1)的正则模态矩阵， 和 作为在无冲击碰撞振动情况下系统的固有频率.取 为变换矩阵，做如下的坐标变换：X-蛭 (5)将方程解耦为鹰 -Fsin(r) (6)其中：X-( 1， 2) ；考-(6， )T；J是-个2×2阶单位矩阵，c和 A 是 2×2阶对角矩阵，C diag[2. ，202Zq；Adiag[-c， ]；ji；(万，万)T- ， - ( 。，，2。)T.通过模态叠加法可以得到方程(1)的解.方程(1)的通解为三 Xi(t)- (eTs(ajCOSOdjt bjsinwait)1Assin( r)Bicos(at r))Xi(t)∑ ( (( -rba ) -( 巧)sirat)Aeos(atr)- sin( r))，( -1，2) (7)勘(f) e-Wh(口3o0 啪f siroa3t)Assin(ar)恳eos(ar)X3(f) eTs(( - r/sas)cosaJast- ( 63a3 )sim )A3a，cos(aZ r)-B3wsin( r)(8)其中： 是正则模态矩阵 的元素； - ；COdj- ，(J-1，2，3) 3- J-fitk3/-[1m3. 和6是积分常数，由冲击碰撞振动系统的初始条件和模态参数确定； 和Bj是振幅常数( 1，2)，且AJ- 09.2，)- CO<2 )。I， (9) (- 。 (2 ∞)。

(10)As- (11)Bs (12)研究分段光滑机械系统的周期运动稳定性及局部分岔问题，通常的方法是建立系统的Poincar6映射.本文选择截面A： ( l，主1，x2，主2，X3，立3 )∈R。×S，X3- 1 ，立1-主1，主3-奎抖)作为Poincar6截面，其中0-atmod2x.将 表示原点的- 个邻域， ∈R。，Poincar6映射 ：V-R。表示为- f(v，△x) (13)这里AN-( lo，Axe， 0，△主z0，Axs，At')T和△ (△ 。，△主 ，△ r20，△主 。，△主，3，△ )T为咒-1不动点X。-(z10，立1，z20，主20，奎件，to) 的扰动量.用咒-P表示冲击振动系统的周期运动， 为力周期数，P为质量块M 与质量块 的碰撞次数。

在系统参数适当的情况下，图 1所示冲击碰撞振动系统的运动为周期运动.周期运动指假如在质块M1与质块M3冲击碰撞后瞬时，设无量纲时间t是O，那么在下-次质块M1与质块M3冲击碰撞前瞬时，无量纲时间敲是2n/w. △ -△r.令- (2nn ) ，可以给出系统周期运动的条件1(O) 1(2nn/w) 1o1(0)-，273(O)- 艿xi(o)： 立 (2 7c )T ，3 1T 棚 主3(2n/w)主1X3(o) - 立1(2觚/∞) s.-R1 1- ，，3 1 T 棚 主3(2nu/ )主蚪z1(O)-X2(2n/w)- 20X2(O)- 2(2nu/w)主20 (14)将周期运动条件式(12)代人式(7)和式(8)，可以确定积分常数a 和相位角ro，并将这些值代人方程(1)、(2)的通解，可以得出图1碰撞振动系统周期，z-1运动表达式。

2 系统周期运动的分岔及混沌的演化2.1 包含环面倍化的Neimark-Sacker分岔及通向混沌的道路选取三自由度冲击振动系统的-组参数： -0.5， 1.0， - 1.0，/as- 0.01，脚 1.O， -0.01， -0.01，R-0.8.特征值如图2所示，当 ：第 3期 张其武等：三自由度复杂冲击振动系统的分岔与混沌 139c；随着激励频率 继续递增，4个q-4/4吸引不变圈发生变形，如图5.d；当∞1.129 28时，系统进入锁相，如图5.e；当激励频率∞继续增大，系统经过锁相进入混沌运动，如图5.f。

E21[3]3 结论 [431)选择合理的系统参数，通过解析法，证明三自由度冲击振动系统中存在 Neimark-Sacker分岔和倍化分岔。

2)在三自由度冲击振动系统中，由于间隙的存在，系统的动力学特性有了本质的变化.含间隙约束系统的稳态非线性解-般具有多值性，即对于相同参数下的同-个激振频率，将可能有多个稳态解存在。