高速球轴承转子系统动态性能的分析与优化

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Dynamic Performance Analysis and Optimization ofHigh-·Speed Rotor-Ball Bearing SystemsZHANG Jinlong，W ANG Yanwei，HUANG Zhengdong(CAD Center，Huazhong University of Science＆ Technology，Wuhan 430074，China)Abstract：Focusing on the nonlinearly changed dynamic stiffness of bearings with working speed，3 numerical approach is presented to calculate the dynamic stiffness of a single bearing and abearing group based on the ball bearing quasi-static model，the dynamic equation is establishedaccording to the finite element model of the rotor-ball bearing system ，the eigenvalues then areobtained by numerical iteration and the critical speed is sought out.Due to the influence of speedon dynamic stiffness of bearings，the finite element model ought to be updated according to thecalculated dynamic stiffness by last iteration.Combining the optimization toolbox of Matlab，theinner diameter of rotor and the bearing span are optimized by simplex method. The analysisresuits show that the stiffness of spindle bearings is obviously influenced by the working speedand inner ring centrifugation， which should be taken into consideration during the dynamicanalysis of a high-speed rotor-ball bearing system，and the first critical speed of the rotor-ballbearing system increases by 7.65 9/6 after optimization。

Keywords： high-speed rotor-ball bearing system ；angular contact ball bearing；dynamic stiffness；critical speed在高速球轴承-转子系统中，应用最为广泛的轴承是角接触球轴承，因此研究高速转子系统的动态特性必须先确定轴承的动态特性。基于 Hertz接触理论，Harris等人提出了球轴承的沟道控制理论，收稿 日期 ：2012-06-21。 作者简介：张锦龙(1987-)，男，硕士生；王彦伟(通信作者)，男 ，副教授。 基金项目：国家 自然科学基金资助项目(51075162，61173115)；国家高技术研究发展计划重大专项资助项 目(2009ZX040001-015)。

网络出版时间：2012-10-29 网络出版地址 ：http： /kcms/deta.1/61.1069.T.20121029.1706.008.html西 安 交 通 大 学 学 报 第 47卷建立了球轴承的拟静力学模型1]。罗继伟等人对滚动轴承的静、动态特性进行了研究2]。李松生等人对主轴轴承动态刚度的特性进行了详细的分析计算 ，并将结果用于轴承-转子系统的动态分析[3]。

高速球轴承-转子系统动态分析的-般方法是将转子视为弹性梁 ]、轴承视为非线性弹簧，使用有限元或传递矩阵等方法来完成转子系统的动态分析。Lin等人提出了热-力耦合转子系统的计算模型l4 ，但计算模型中的轴承刚度是通过经验公式确定的。Cao等人建立了包括球轴承、转子、轴承座在内的转子系统的有限元模型 ，并考虑了转子和轴承的离心效应及陀螺运动的影 响5]。Jiang等人分析了电机转子的尺寸及轴承跨距等因素对主轴临界转速的影响6]。

为了便于分析，本文对高速主轴单元做了简化，忽略了温升对转子系统动态性能的影响，以及转子变形阻尼和轴承内油膜阻尼的影响。

1 球滚动体的运动及受力分析1.1 球滚动体的运动假设轴承的外圈固定、内圈以角速度 匀速稳定旋转，球滚动体的公转角速度cu 与内圈角速度 ∞的比值为( ) -式中：J-1，2， ，N，N 为球数 ；y 为球径 D 与轴承节圆直径 d 的比值；a。，、a。，分别为球滚动体与内、外沟道的接触角。

球滚动体 自转角速度60 与 的关系为( )-1/[(cosd。，tanj sina。，)/(17 COS0。，)uJ J(COSo，ta叩，sina ，)/(1-)， COS0。，)]y CO 7 (2)式中： 为球滚动体 自转轴与垂直于其公转半径的平面夹角 ，可由外圈沟道控制理论l 求出。

1.2 球滚动体的受力分析轴承内部的运动会使球滚动体产生惯性力，通过受力分析可以建立球滚动体的平衡方程。

1.2.1 球滚动体的力平衡方程 高速运转时球滚动体的受力如图 1所示。图 1中球滚动体所受各种力的计算公式如下F -lPb 7rD3dm cO2( )：MgJ-J( ) ( ) C02 Si(3)(4)式中：M 为陀螺力矩；F 为离心力；10 为球的密度；为球滚动体的转动惯量。

qf∞ ，、0/ 滚球与滚道的接触角；Qij，Q。，：滚球与内、外滚道的接触载荷；Fit、Foj：球滚体与内、外滚道的摩擦力图 1 球 滚动体受 力图内审 J道曲率 ～ 终位置. Q道喜l /曲率中心g I / 初始位置球心最终位置、球心初始位置 外沟道 曲率中心初始位置、 、 、0：轴承整体径向、轴向、内圈径向位移及角位移；fl、fo：内、外沟道曲率半径系数；A-，、A2，分别为内、外沟道曲率中心距离的轴向、径向分量； .：位置角；R.为内圈沟道曲率中心位景半径图2 有、无载荷时球中心和沟道曲率中心的位置由外圈滚道控制理论，陀螺力矩被球滚动体与外圈滚道的摩擦力抵消，因此 F ，0。外滚道摩擦力为F。，- 2M /D (5)假设球滚动体与内、外滚道的弹性趋近量分别为如 、 ，Q -K ，Q -K ；K 、K 分别为球滚动体与内、外圈滚道的刚度系数。根据图 1，可以建立球滚动体的力平衡方程Q sina.，- Q sina。，- F。JCOSO。，- 0 (6)Qij COSOL 7- Qoj cosa。7 Fq sina。7 Fq- 0 (7)1.2.2 位移协调方程 假设 内圈相对外圈产生 的整体径向、轴向位移及偏转角分别为 、 和 0。球滚动体中心和沟道曲率中心的位置关系如图 2所示。内、外沟道曲率中心距离的轴向分量与径向分量分别为A1 J-A0 sina 氏 。cos ， (8)A2，- A。COS0rCOS (9)式中：a为载荷作用前球轴承的初始接触角；氏为由轴向预紧载荷引起的轴向位移。

由于离心效应，内圈会产生径向位移- 1-(3Pi) d.(1- 。) ]lDi(cJ /16Ei(10)式中： 、E、 为内圈的密度、弹性模量、泊松比；d、d. 为轴承内径及内圈沟道直径。

根据图 2，球滚动体处的位移协调方程如下http：/ http：//zkxb.xjtu.edu.cn第 1期 张锦龙，等：高速球轴承-转子系统动态性能的分析与优化(( 。- 0.5)D 。 )sina。，((厂.-0.5)D 。，)sinai -A1 0 (11)((fo-0.5)D )COS0e。 ((/ -0.5)D ，)COSOj -A2 - 0 (12)2 轴承(组)的整体受力分析根据所有球滚动体对轴承内圈合力为 0的平衡条件 ，建立轴承内圈整体力平衡方程NF - QJCOS0uCOS -0 (13)J lNF - sinai - 0 (14)J-1NM m- sina Rcos ： 0 (15)J- 1式中：F 、F 与 Mm分别为作用于轴承内圈的径向力、轴向力与弯矩。式(13)～式(15)是以 、 和 0为未知量的方程组 ，求解后便可得到轴 承的相关动态参数及动刚度，具体数值算法的步骤如下。

步骤 1 根据文献[1]中相关的经验公式给出 ，、a的初始值，并将 0取值为0。

步骤2 由式(8)、式(9)计算相应的 A ，、A 给出， 、艿。，、a a。 的初始值，计算 QiJ、Q 与 F ，对式(6)、式(7)、式(11)、式(12)进行计算，直到a 满足预先设定的精度。

步骤3 根据式(13)～式(15)调整 、 和 0的值，并回到步骤 2进行迭代，直到 、 、 满足预先设定的精度 。

步骤 4 求 出 、 、0后 ，分别给 1个微小增量 ，并求出这种情 况下轴 承内圈的受力增量 △F，用差分法求得轴承的刚度 K-△F/△。

对于轴承组，不同配置方式下轴承组中每列轴承所受载荷分量 的正负方向见表 1l2]。表 1中，Qu-Q COSa，COS ，QaJ-Q sina。，COS 分别为球滚动体与内滚道接触载荷的径向及轴向分量；Mo-0.5d COS0.，CO S ，，M - 0.5d sina 7 COS 分 别 为QQ，引起的力矩分量 。

对于轴承组的每列轴承，可按单个轴承进行分析，但由于轴承组中心距 d 的存在，0不仅会在位置角 ：处引起轴承内、外圈的相对轴向位移，还会引起相对径向位移，轴承组所受外力矩由接触载荷的轴向分量与径向分量共同承担。

按照单个轴承的动态分析，求出第 忌列轴承的球滚动体与内滚道的接触载荷Q州与接触角a ，，然后按轴承的组配方式由表 1选择相应载荷分量的表 1 每列轴承所受载荷分量与外栽荷的方向注：”号表示两列轴承力与力矩的方向相同； ”号表示两列轴承力与力矩的方向相反。

正负并叠加，得到轴承组的整体平衡方程2 NF -∑(∑Qk，ijcoSk，ij Cos )-0 (16)-1 J12 N F -∑(∑ ， sina )0 (17)1 J 12 NM -∑(∑Q州(O.5d sina州1 l0.5d COS0J)COS ) 0 (18)式(16)～式(18)是 以 、 、0为未知变量 的非线性方程组，可以先将每列轴承按照步骤 1、步骤 2进行分析计算，然后根据式(16)～式(18)对 、 、 进行调整，直到满足给定的精度要求，然后运用差分法求出轴承组的动刚度 。

3 角接触球轴承算例的分析选取 B71900C/P4型号的轴承进行分析，轴承节圆直径、球 径、内径 与内圈 沟道直径 分别 为 16、3.15、10和 12 mm，接触角为 15。，球数为 11；套圈材料的弹性模量、泊松 比、密度分别为206 GPa、0.3、7 850 kg/m。，球滚动体材料的弹性模量、泊松比、密度分别为 320 GPa、0.25、3 200 kg/m。，轴 向预紧力为 70 N。运用本文编制的数值计算程序进行分析 ，得到的轴承刚度特性如图 3所示。

将 B71900C/P4型号的轴承以背对背方式装配，两列轴承的d -6 mm，预紧力 F。-7O N，轴向外载荷 Fa-50 N，用本文编制的程序，得到的动刚度曲线如图4所示。在实际工作中，由于发热、润滑等因素的影响，轴承的转速不能高于极限转速，因此可忽略轴承发热及润滑对转速的限制，并在转速 0http：// http：/zkxb.xjtu.edu.CI1西 安 交 通 大 学 学 报 第 47卷晕2之n1105 r.min-1K 、K 、K ：分别为轴承径向刚度、轴向刚度及角刚度；n：轴承转速图 3 轴承 刚度与转速 的关系晕l杰图 4 不同轴承内圈离心效应的轴承组刚度吕拿Z～ 2OO 10。r/rain之间分析轴承的动刚度 。

对于单个角接触球轴承，随着转速的不断上升，轴承的轴向刚度与角刚度变化不大，但径向刚度变化较明显，呈先下降后上升的趋势，这与文献[3，6]的分析结果是-致的。如图4所示，轴承组动刚度随转速升高而增大，转速越高，变化趋势越明显，且轴承组的角刚度较单个轴承明显增大。从图 4可以看出，离心效应对轴向刚度和角刚度的影 响相对较小 ，但对径向刚度影响很大。因此，在计算高速情况下的轴承(组)动刚度、尤其是径向刚度时，必须考虑内圈离心效应 的影响。

4 轴承-转子系统的临界转速分析及优化在得到梁单元的刚度阵和质量阵后，将各单元按照对号入座方法组装后，可得到转子系统的整体质量矩阵与刚度矩阵。对于电机转子等轴上的附加零件，将其质量按等效原则缩聚于单元两端节点处，然后叠加到整体质量矩阵M 对应的节点处，集中点的质量也需按照节点对应叠加到 M 中。对支承轴承，求出刚度矩阵K -EKKr ，Ko ，Ko ]后，将其叠加到整体刚度矩阵K中相应的节点处。轴承-转子系统的无阻尼 自由振动微分方程为j KX - 0 (19)求解式 (19)的特征值便可得到转子系统的各阶固有频率。

轴承(组)刚度随转速呈非线性变化 ，因而转速不同，按式(19)求出的系统固有频率也不同，但临界转速是与转子系统固有频率相等的工作转速。本文通过作图法来确定系统的临界转速，即先计算 出轴承-转子系统在-系列转速下的固有频率，并作相应曲线，然后再作-条过原点且斜率为 1的直线，两者交点对应的转速便为临界转速。以轴承跨距及转子内径为设计变量、以-阶临界转速最高为优化目标，可对转子系统进行优化 。

5 主轴单元算例分析本文以算例 1验证 了转子系统动态特性分析程序的正确性，然后对算例 2中含轴承组的转子系统进行了分析和优化。

算例 1 文献[7]给出的轴系单元如图 5所示，其前、后端各用-套B7100C轴承支承，轴段采用钢材料，轴承位于节点 2与节点 10处。

-- - - - - 1 3① 蝰- ④ ⑤ ⑥ ⑦血1 2 34 5 6 7 8 9101l①～⑩：有限元模型的单元编号；1～11：有限元模型的节点偏号图 5 轴系单元示意图 ]运用本文所编制的程序计算转子系统的前两阶固有频率，计算结果如表 2所示，两者吻合得较好。

由于建立的转子系统模型中没有考虑转子本身的离心效应与陀螺效应，因此求出的固有频率较实验值偏大。另外，转子实际工作时轴承的润滑、发热及系统的阻尼也会对系统 固有频率产生-定的影响 。

表 2 前两阶固有频率计算与实验结果的对比算例2 如图6所示，某轴承-转子系统的前、后端轴承的型号为 B71900C，节点 2处的 2个 B71900C轴http：∥ http：/zkxh.xjtu.edu.cn第 1期 张锦龙，等：高速球轴承-孳子系统动态性能的分析与优化承以背对背方式组配，节点 9处由单个轴承支承，轴承与轴承组的预紧力为 70 N。

l l， k① ②《 I④I⑤I⑥l⑦l1 2 34 5 6 7 8 9 10图 6 电主轴单元示意 图当主轴前 、后轴承 的跨距 为 55 mlTl、转轴 内径为 5 mm时，运用本文编制的程序计算得到了主轴的- 、二阶临界转速(见 图 7)，主轴-阶临界转速与轴承跨距及转子内径的关系如图 8所示 。对轴承跨距及转子内径进行优化，结果如表 3所示，优化后主轴的-阶临界转速较优化前提高了7.65 。

.曼争n 2函辩昧磐图 7 主轴的-、二阶临界转速曲线图 8 临界转速与轴承跨距及转子内径的关系表 3 优化前后结果对比6 结 论(1)由于角接触球轴承(组)是-种精细复杂 的部件，难以得到其动刚度的解析解，而经验公式只适用于转速较低的工况，因此在高速工况下，利用数值方法求解动刚度更加符合工程实际。

(2)轴承组的动特性并不是单个轴承动态特性的简单叠加，轴承组的组配方式不同，计算出的动刚度也不同，因此应对轴承组的动态特性进行分析。

(3)由于在高速工况下，转速与轴承内圈离心效应对轴承(组)刚度影响很大 ，因此在分析轴承-转子系统的动态特性时 ，必须考虑主轴转速的影响。

(4)本文通过优化轴承跨距等参数 ，大大提高了球轴承-转子系统的临界转速。