计及套圈变形的电主轴角接触球轴承动刚度分析

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Dynamic stifness analysis for motorized-spindle angularcontact ball bearings considering ferrule deformationCHEN Xiao-an，LIU Jun-feng，CHEN Hong，ZHOU Ming-hong，SHAN Wen-tao(State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China)Abstract： According to structural characteristics of high-speed motorized spindles，an analysis model for dynamicstiffness of angular contact ball bearings taking the effects of bending deformation of inner ring into account was set up byusing mechanics of elasticity and dynamics of rolling bearings.In addition，radial deflection of inner ring under differentoperating conditions and its effect on bearing dynamic stiffness were discussed.Finally，a test of bearing dynamic stiffnesswas conducted on a 12MD60Y6 motorized spindle.The simulation and test results indicated that radial deflection of innerring is directly proportional to bearing axial load and inversely proportional to rotational speed，and it can not be ignored inheavy load condition；the simulation results of bearing dynamic stiffness considering radial deflection of inner ring agreebetter with the test ones。

Key words： high-speed motorized spindles； angular contact ball bearings； radial deflection of inner ring；dynamic stiffness电主轴作为高速机床的核心部件且直接参与机床加工，其动力学性能和稳定性对高速加工的精度和效率影响显著 。目前电主轴主要采用角接触球轴承 I4 作为支承，因此有必要对此类轴承作为主轴支承时的动态支承刚度特性进行深入研究。

自从 Jones等 - 在轴承动力学建模时考虑离心力、陀螺力矩等高速惯性效应影响后，许多国内外学者在此基础上对轴承动态特性进行了进-步研究。李松生等 较为全面地分析了外部工况条件、材料的物理性能和轴承的内部结构尺寸等因素对角接触球轴承动态刚度的影响；王保民等 刨研究了预紧状态下高速基金项目：国家 自然科学基金(51005259)；国家重点传动试验室访问学者基金项目(KFKT-200801)；中央高校基本科研业务费资助(CD·JXSI1111143)收稿13期：2011-11-29 修改稿收到日期：2012-02-15第-作者 陈胁 男，博士，教授，1956年生通讯作者 刘俊峰 男角接触球轴承动态特性，讨论了预紧力大小对轴承动力特性参数的影响；Chen等 确定了角接触球轴承工况下的最佳预紧力范围，并实现了预紧力的在线控制；Jedrzejewski等 对高速角接触轴承建镍行了探讨，并分析了高速运转时轴承内部的受力和变形。

上述工作对机床主轴角接触球轴承的动态支承性能进行研究时，均假设轴承受载后滚动体与滚道之间只有局部 hertz接触变形 ，而实际上轴承受载后其套圈会不可避免地产生偏离理想形状的变形。譬如安装在铣削、钻削、镗削等多类高速加工机床主轴上的轴承，由于主轴转子做成薄壁结构 来安装拉刀机构，轴承内圈同空心转子-同运转受载时 将产生弯曲变形，这个变形会改变轴承内部的动力学状态，进而影响主轴系统的支承性能，因此在分析轴承动刚度时有必要将套圈当成弹性结构来考虑。鉴于此，本文建立套圈径向挠度影响下的轴承动刚度分析模型，对套圈径向挠度的影响因素及其对轴承动刚度的影响进行探82 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷讨，并结合算例和实验对所建模型进行验证，为进-步研究轴承-转子动力学提供了基矗1 高速电主轴角接触球轴承动力学分析1.1 套圈的径向挠度假设在 同-径 向平面内，套圈受如图 1所示的任意平衡力系作用，其中：Q 为径 向力(法相力)，包括套圈与滚动体之间的接触载荷及其它法 向作用力，指向圆心为正，q1，2，，m；T为切向力，指向方位角 lfr增加的方 向为 正，q1，2，，凡；M 为力矩负荷，顺时针方向为正，q1，2， ，l。

) " 2，图1 套圈受任意平面力系作用Fig.1 A rmle eftct byany plane phone systemthe efect of an arbitraryplanar force on the ferrule轴承套圈属于薄壁圆环，根据薄壁圆环平面弯曲理论，描述平面力系作用下套圈任意方位角 处径向挠度的方程 为： - El (1) d式中： 为 处套圈的径向挠度，指向圆心为正；E为材料弹性模量；，为套圈弯曲截面惯性矩；M为 处横截面上的弯矩，使初始曲率减小为正；R为套囤横截面形心线初始曲率半径。

套圈在 处径向挠度的级数形式可由式(1)的-般解表示为 J： .m：Q ( )2 rt ( )MJM(4， )J (2)式中：(咖 )：(1T- )sin(/) [( -竹) -手z-丢]c。s -2 (3)( )2(1T- )cos4， [( - )。-2- ]sin -24， (4)厶(咖 )2( -盯)cos4， -3sin4， -24， (5)其中： 为第 q个作用力的位置角 与圆环 考察径向挠度的点的方位角 沙之差。 不能为负值 ，当 >时，咖 - ；当 < 时，咖 2叮T- 。

1.2 几何变形协调方程高速电主轴系统中，轴承内圈和转轴过盈安装在- 起，可将它们整体视为- 环结构；轴承运转时外圈和轴承座之间由微间隙配合变成微过盈配合l ，其在径向平面内的弯曲刚度变得足够大，因此可以认为主轴运转时只有轴承内圈产生弯 曲变形，如图 2 图2 内圈弯曲变形示意图所示，其 中 和 分 Fig.2 The sketch map ofthe bending别为第钢球 的方位角 deformation of the inner ring和内圈在此处的径向挠度～内圈径向平面内的看作此处球 与内外圈接触角平面内沟道的位移，则球心与内外沟曲率中心相对位置应如图3所示(假设外圈固定不动)，其几何关系变化町表达为：冈3 轴承内部儿何关系Fig.3 Geometric Displacement relalionshipinside the bearing during operationj， -[( -0.5)，) 6 ，] 0 (6)(BD6sina 。OR eosO - 。，) (BDc0s 6，c0s - ，- ) -[( -0.5)D 6 ] 0 (7)式中：B -1 为内、外沟道曲率半径系数； 、6 和0分别为受载后内外圈轴向相对位移、径向相对位移和角位移 0； 为轴承原始接触角；D 为钢球直径；，为第 个钢球球心最终位置的水平 、垂直距 离；6 6 ，为钢球 与内、外沟道的接触弹性趋近量；R 为内圈沟道曲率中心所在的圆半径(即式(1)中的尺)。

1.3 球和内圈受力平衡方程对于铡球 ，其离心力 ，、陀螺力矩 以及与内、外圈沟道之间的接触载荷 p Q 满足以下关系式：2MQ sina -Q sin (：0s /0 (8)b2Q COSOL -Q c0s -- sin 。F 0 (9)第2期 陈胁等：计及套圈变形的电主轴角接触球轴承动刚度分析 83其中：Q ，Q ： 6 ， 、Ks为钢球 与内、外沟道之间的负荷 -变形常数；or 。 为钢球 与内、外沟道实际接触角。

轴承所受外部载荷应与内圈接触载荷相等，所以：F - Q sina 0 (10)F，- Q cos 0 (1 1)- Q R sina 0 (12)其中：F。、F，、 分别为轴承径向、轴向、力矩载荷。

1.4 轴承动态刚度工况下轴承所受载荷与相应方向上的变形之问的关系是非线性的，将载荷对其相应方向的位移进行求导可得到轴承的径向、轴向和角向刚度 J：Kr訾，Ka ， 警 (2 计算结果的验证与分析2.1 轴承动力学数学模型求解电主轴高速运转时会出现乏油现象，球和套圈沟道之间难以形成有效油膜，故上述所建的轴承模型中忽略了油膜弹流阻力 J。且由于高速惯性效应，-般认为滑动摩擦力只产生外沟道上以阻止陀螺运动的发生 。所以在图 1所示的内圈(包含转轴薄壁)径向平面内只存在法向力 Q ，大小为 Q fcos 位置为砂，，而Q K ，故 ，可为表示为6 的函数。由此可知式(6)～式(12)由 、6 6 。、6，、0等4 3个未知量组成，对于此类非线性方程组可用Newton-Raphson法进行迭代求解。

2.2 轴承动刚度测试为验证所建模型，本文在 120MD60Y6型号电主轴上进行了前轴端径向振动测试。电主轴在工作状态下，先通过电涡流位移传感器采集前轴端径向方向上的振动信号，信号经过 B&K2692-014型电荷放大器和 SC305-UTP型 LMS信号采集分析仪进行传输和转电涡流位移传感器图4 现场振动测试振动测试结构示意图Fig.4 The spot vibration test conventionaldiagram of vibration test structureJ换后，最终传送到Pc机上由LMS专业分析软件进行分析处理。图 4为现场振动测试振动测试结构示意图。

测试时转子转频低于其-阶固有频率，故测试时的主轴转子可视为刚性转子 ，又由于前轴端振动信号采集点离前轴承支承作用点只有 10 mm左右，因此可以将 主轴前端的所测得振动量视为前轴承内圈的振动量。得到测试点不平衡响应后，前轴承作用点单个轴承的径向支承刚度可表示如下 ]：九 2 (14)VⅢ maxn 式中：m为转子质量；G为主轴的平衡精度；Ⅳ为轴承个数；09为主轴测试转角速度；o9为主轴最高转角速度，为振动位移的幅值。

主轴最高转速60 000 r/min，前轴承采取串联定位预紧方式，型号为 B7004，其支承处转子孔径为 12 mm。

表 1 电主轴参数Tab.1 The spot vibration testParameters ofthe high·speed moterized spindle轴承内径 d/mm轴承外径 D/mm球直径 D /mm内圈沟半径 Fi/mm外圈沟半径 Fe/mm内圈曲率中心圆半径 R /mm原始接触角 /(。)球数 z套圈弹性模量/GPa主轴平衡精度 G/(inn·s )轴承数目，v主轴最高转速 n/(r·min )转子质量 m/kg2.3 结果分析图5表示 内圈在各滚动体方位角处的径向挠度(n30 000 r/min、Fa400 N)，由图可知：轴向载荷使得各方位角处的钢球与内圈之间均存在接触载荷，造成内圈各处的径向挠度。在 沙 o处内圈的径向挠度最大，且随着方位角的增大内圈在其处的径向挠度减小(0。～180。内)，在接近 180。处可忽略不计。

图6表示主轴转速为 30 000 r/rain时内圈径向挠度( 0。)随轴向载荷的变化情况，由图可知在同-转速下内圈的径向挠度随着轴向载荷的提高而变大，这是由于轴向力的增大会造成各球与内圈的接触载荷变大、接触角变小而引起的。由图7所示的轴承轴向载荷为400 N时内圈径向挠度( 0。)与转速及钢球数目关系可知，随着转速的升高，钢球的离心力使其有外抛的趋势，导致与内圈的接触载荷减孝接触角变大，O 2 5玎 5 加 册 23 5，2 3 4 Ⅺ ；§叭4咖似 6 .振 动 与 冲 击 2013年第 32卷进而使得内圈径向挠度减小；另外刚球数 目的增加(球 所以小球密珠型的轴承有利于减小其内圈径向挠度。

径减小)可以使内圈所受载荷大械低且分布更均匀，图5 内圈径向挠度分布Fig.5 Distribution of the radialdeflection of the inner ring图 8 不同转速下的轴承径向刚度Fig.8 The beating radial stiffnesswith at diferent rotational speeds呈叵盈轴向载荷Fa×102/N图6 内圈径向挠度与轴向载荷关系Fig.6 Relationship between the axial loadand the radial deflection of the inner ring图9 不同转速下的轴承轴向刚度Fig.9 The beating axial stiffnesswith at diferent rotational speeds图8为轴承定位预紧时不同转速下的轴承理论计算径向刚度和通过试验所测得的轴承径向刚度。轴承采取定位预紧方式时内外圈位置存在约束，轴承高速运转时部分相对位移将转化为应变，导致钢球所受轴向预紧力增大，故轴承径向刚度随着转速的增加而增大。同-转速下，不计内圈径向挠度计算得到的轴承径向刚度值大于考虑内圈径向挠度影响和实验所测得的数值，由此说明内圈的径向挠度会造成支承软化而降低其支承性能；考虑内圈径向挠度的计算结果和实验结果吻合得更好也说明内圈径向挠度对支承性能的影响不容忽视。

轴承轴向刚度和角刚度(定位预紧)随转速的变化情况分别如图9、图l0所示，可知当考虑内圈径向挠度影响时，轴承的径向刚度和角刚度会略微减小，其影响不大。

图 11表示轴承径向刚度与轴向载荷之间的关系(n20 000 r/min)。由图 11发现，当轴向载荷到达-定值后其增值对轴承刚度的提升作用有所降低，结合图6和图8分析结果可知，这是由于轴向载荷增大同时会使内圈径向挠度增大而造成的，此外，过大的轴向载荷会加剧摩擦进而降低轴承寿命，因此选择适当的转速/(1a"mm-)图7 不同转速下内圈径向挠度与钢球数 目关系Fig.7 Relationship Relationship between theradial deflection of the inner ring and thenumber of bals with at different rotational speeds-g军至云转速/0a nm-I)图10 不同转速下的轴承角刚度Fig.10 The bearing angular stiffnesswith at different rotational speeds轴向预紧力对维持轴承综合动态性能至关重要。

g孚至甚邑轴向载荷Fax 10VN图 11 轴承径向刚度与轴向载荷关系Fig.1 1 Relationship Relationship between thebearing radial stiffness and the axial load由上述分析结果可知，电主轴运转受载时其内圈的弯曲变形对其动态支承刚度存在影响，重载工况下较为严重。这个误差直接影响到主轴系统固有频率、临界转速和振动响应等动态特性的计算。因此为更加合理地对电主轴进行动力学设计，必须考虑内圈径向挠度的影响。

3 结 论本文给出了计内圈径向挠度影响的电主轴轴承动第 2期 陈胁等：计及套圈变形的电主轴角接触球轴承动刚度分析 85刚度分析模型，结合算例和实验可作出如下结论：(1)内圈径向挠度随着转速的增加而降低，同样工况下小球密珠型轴承的内圈径向挠度更校(2)考虑内圈径向挠度影响后的轴承径向刚度明显下降且与实验结果更为吻合，轴向刚度和角刚度变化不大。主轴重载条件时套圈径向挠度对轴承动刚度影响较大。

(3)过大的轴向载荷使得内圈径向挠度增加，对提高轴承刚度作用不大