微线段齿轮滚刀齿廓曲线的多目标优化设计

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微线段齿轮滚刀齿廓曲线的多目标优化设计微线段齿轮滚刀齿廓曲线的多目标优化设计
(合肥工业大学机械与汽车工程学院，合肥 安徽 230009) 黄 康 赵 韩 王卫荣
摘要 提出用多目标优化设计的方法求微线段齿轮基本齿条齿廓曲线的代用圆弧 ，分别以所有零
点的齿形误差平方和最孝 齿顶灾度圆处压力角最小为分目标函数 ，并用线性加权组合法建立统-目
标函数 ，采用误差容限法确定加权因子;并给出了3个实例 ，用复合形法进行了计算♂果证明 ，与传统
方法相比 ，本方法能明显提高设计精度。
关键词 微线段齿轮 齿廓 多目标 优化设计
引言
微线段齿轮是-种全新的点啮合齿轮 ，其齿形不
是-种单-的曲线 ，而是由很多微段直线按-定的规
则连接而成 ，文献[2 ]已对其形成原理及特性作了详细
介绍。研究表明 ，其强度大大优于传统的渐开线齿轮 ，
而且其最小齿数可以为3齿 ，因此 ，它在机械领域的各
种诚尤其在高速、 重载及小型化方面有着广阔的应
用前景。但因为微线段齿轮是凹凸点对点啮合 ，故加
工精度对其影响较大。
要使这种齿轮进入实际应用 ，必须解决其滚刀设
计问题 ，而滚刀设计的关键问题之-就是找到其齿廓
曲线的代用圆唬传统求代用圆弧的方法不外乎是三
点共渊、 最小二乘法等[3 ]
;以上方法中仅有三点共圆
法适合于这种凹凸齿廓 ，也比较简单 ，但精度较低 ，达
不到微线段齿轮的加工精度要求。本研究的目的就是
采用多目标优化设计的方法来求代用圆弧 ，以提高刀
具齿形设计精度。
1 数学模型
1. 1 设计变量
我们采用圆心半径定渊，即确定-个圆需要圆
心坐标及半径 3 个变量，则确定两个代用圆弧应有
x01、 y01、 r1、 x02、 y02、 r2 6个设计变量，如图1所示。
图1替代齿形
由于原齿形曲线在坐标原点即分度线处光滑连
续，为保证代用曲线的连续条件，则必须满足下面的条
件
r1 x
2
01 y
2
01 r2 x
2
02 y
2
02
因此，6个设计变量中，独立变量只有 4 个，故设
计变量取为
x [ x1 ， x2 ， x3 ， x4 ]
T
[ x01 ， y01 ， x02 ， y02 ]
T
1. 2 目标函数
采用代用圆弧是否能获得良好的效果，撒于替
代圆弧与原曲线间的齿形误差。因此，以替代圆弧与
原曲线的误差的平方和最小为第-优化目标。
设 原曲线上任-逻辑点的坐标为( xdi ， ydi
) ，则
rdi ( xdi - x0)
2
( ydi - y0)
2
Δri rdi - r
式中 r- - - 替代圆浑径
于是 F1 ( x) ∑ n
i 1
Δri
2
式中 i - - - 逻辑点号
n - - - 逻辑点数
xdi ， ydi可用文献[2 ]中相关公式以程序计算后输
出至数据文件。
以代用曲线作基本齿条所包络出的齿轮齿廓上各
点的压力角误差与基本齿条上对应点的压力角误差有
关。实践表明，当初始压力角确定后，齿顶圆压力角误
差越小，则齿廓上各点压力角误差也越校设实际齿
形齿顶圆压力角为αa ，代用齿条齿顶压力角为αa′ ，代
用圆弧与齿顶线交点坐标为( xda ， yda) ，如图1所示，则
可确定第二与第三分目标函数为
F2 ( x) (αa - αa′ )
2
F3 ( x) (α0 - α0′ )
2
式中 α0′ arctan y02 x02
αa′ arctan
yda - y02
x02 - xda