外啮合齿轮泵侧隙流量的精确计算

I57 1//外啮合齿轮泵足-种用于泵送J二作油液的动力泵，有着极其广泛的应用.为保证泵用齿轮副的正常工作及其 良好的润滑条件，提高泵容积效率，缓解困油现象，通常利用较大的齿侧间隙(简称侧隙)缓解 困油现象，但却带来 了泵容积效率下降 、齿轮副振动加剧、二次噪声等问题 ；反之，较小的侧隙提高了容积效率和减缓了振动，但却加剧了困油现象 J.所以泵侧隙选择受到-定条件的限制，但其最小值总比满足齿轮传动所规定最小的极限间隙5m～lOre(m为齿轮的模数)大.在泵容积效率和困油压力的计算中，都需要计算通过侧隙处的泄漏流量 .日前，尚没有齿轮副非工作齿面处全间隙(简称为齿侧全间隙)的计算方法，有关其内泄漏流量的计算普遍采用薄壁孔流量公式 ，但这-公式忽略了最小侧隙附近间隙的齿廓真实性，值得商榷.为此，文中拟通过侧隙附近问隙的齿廓形状分析，从刚性当量圆柱与刚性平面的简化问隙(由等效齿廓形成)与真实间隙(由真实齿廓形成)2个方面，推导出2套侧隙泄漏流量的计算公式并加以比较，以期获得相对精确的计算结果，为泵后续容积效率和困油压力及齿侧全问隙等精确计算提供理论基础。

1 不同位置下侧隙距离的计算图 l描述了外啮合齿轮泵规格完全相同的主、从动齿轮的某种双齿啮合情况，即最小侧隙 处的两侧存在着 2个困油区，设其困油压力分别为P。

和P：，在墨示的旋转方向下，存在P >fJ ，设 O。和 O为泵主、从动齿轮的轴心，Ⅳ为主、从动齿轮的啮合点，设c。，c 为理论啮合线 Ⅳ -。 - 与主、从动齿轮齿侧轮廓的交点，且 c ，C 点在线 V - N2：上的距离即最小侧隙值为 h N2-.，v2- 向 O 为正方向，偏移 后的线 Ⅳ 与主、从动齿轮侧轮廓的交点为 ， ，，这2点之I'OJ的距离即为该位置下的侧隙距离 h。

以啮合点 处主动轮上的啮合半径 s作为齿轮传动的位置变量，当O 齿顶点a 刚刚进入啮合，即位于线Ⅳ..，/V 上时的位置变量 s的值记为s。；在图示的旋转方 向下，当 o，齿顶点 n 刚刚位于线， 。 ， - 上时的位置变量 s的值记为S .当s由s，变化到 ，时，困油压力P 所在的困油区1经历了先压缩后膨胀的困油过程，即小侧隙时的困油区域为，S ]，且压缩区域为[S，，0.5(s。s )]，膨胀区域- 、co - 、- jL 1 02图 1 齿侧全间隙齿廓的形状关系Fig.1 Shape relationship map of tooth profile on algaps in tooth side of gear pair南文献[1]，[5]，[7]知Sl2rItan ， -rbtan O/ ，S22rf1tan -0.5pf1-Sl，(1)式中：rI1为基圆半径，m；O/ 为啮合角，(。)； 为顶圆压力角，(。)； 为基节，m。

齿轮传动的有侧隙啮合方程为inv inv 2ktan a/zho/(2zmcos )，(2)式中：m为模数； 为齿数； 为具有相同规格的主、从动齿轮的变位系数； 为压力角。

图 1中，在某-位置变量 S和某-偏移最 下，由直角三角形 △o.N 和 △o.N2- C。，得主动轮上点处的圆浑径 r 为(S， )[rl (S)]/cos[Ot (S)inv (S)-inv OL (S， )Jrb/cos Og (S，.17)， (3)式中：Ot，为主动轮上 c.点处的压力角，它是位置变量 S的函数；Og 为主动轮上 .点处的压力角，它是位置变量 S和偏移量 的函数.当主、从动齿轮具有相同规格，即h 的法向侧隙由主、从动齿轮各承担0.5 h。的侧隙时，0。由式(4)计算：Ot (S)arctan[2rhtan OL -(s0.5pI )-0.5h。]/r . (4)图1中，在某-位置变量 S和某-偏移革 下，由直角三角形 △o：N - ：和 △o： - c：，得从动轮上， 处的圆浑径为， (S， )[ (S)]/cos[ ，(s)inv OL.(S)-inv OL (S， )Jrb/cos O/ (s， )， (5)式中：OL 为从动轮上 C 点处的压力角，它是位置变量S的函数； 为从动轮上 点处的压力角，它是位置变量 S和偏移艟 的 数.同样， ，式 (6)汁算：O/ (S)arctan( 0.5p1 -0.5h/r，). (6)式(3)巾的 OL 用主动轮的基圆压力角即零值代入时，求得的 记为 ；OL 用主动轮的顶圆/J角即 .代入时，求得的 记为 .，.当式(5)中的JfJ从动轮的基网压力角即零值代入时，求得的记为 ； 用从动轮的顶圆压力角即OL 代入时，求得的 !记为 ， . 此， 的取值范围是... ( )P/laXl ( )， ( )]≤ (s)≤(. )rain[ (S)， l (s)]， (7)j 没Ⅲ. (s)， l ( 1)，---，! -m ( 2)X.，ax，2 max( 2) (81/..、( ) .. (. )- ( )，l 1 .、( .)，1 1 ( 2)，-l1. .. ， . 、.分别为式(7)中 ，Xmax在 Ss。时的值，H ； ..，2， ：为式(7)LJ ， 住s 时的值，Il；z 为仟意变 s时的间隙最大长度，m；f. .为 H、f的问隙最大长度，Il；1 . 为 时的自J隙最大K度 ，lI1。

f 变 S和某-偏移量 下的侧隙距离- h(S， )，在图 1巾，陔距离由线段 Ⅳ ，Ⅳ：-，的长度减去线段 N 和 。的K度，即h(s， )2rhtan O/ -/r ( ， )-(r - )-、，/r：(s， )-(rI ) . (9)针对文献[9]对特制的吲定侧板式外啮合 轮泵提供的困油J玉力试验结果，义献[1]，[3]，[5]进行了大量的仿真运算 Lj试验.实例运算采用 与义献[9]所提供参数相-致，分别为齿轮的模数 Ⅲ4.75 mH1，齿数zl0，齿顶圆血径为58.8 mn ，中心距为48.8 mm，压力角为23。50 .侧隙为 100 Ixm叫，∈[ 。， 2]以及 ∈[ . j下的 h(S， )如同2所示.其中，图 2a为 h随， 以及 变化的 维线条图；图2h为h-S二维平 I割； 2c为 h- 1.维平面图。

由图2b，c可知，当 SlJ .向 变化时， .f逐渐向最小侧隙处，即 ：0化置移动，并最终于s. 时达到最小侧隙处，即 0位酋的. 0； 由 逐渐远离最小f!Jlj隙处，即 0化置，并最终于 ，时达到最大值，H.期问的间隙值 将变得很大.由图2c：知，任，--点 . 处的最大间隙长度1... 基本保持不变，日.对于任 化置 处的间隙值随位置变量S的影响很小 。

图2 齿侧拿问隙随位置变量和偏移蕈的变化关系g.2 Changing diaganl of al gaps with position variable and offsel variable in toolh side)fgear[)air2 由侧隙的等效齿廓计算侧隙流量齿轮副齿而摩擦 Lj润滑的研究方面，为避免断面接触处真实齿廓汁算的复杂性，-直以来采用r川 当苗 柱 刚性平 接触的近似等效齿廓米简化 ，这 将这-理论借鉴到侧隙处的泄漏流鞋计算。

3为刚性当量圆件与刚性平面间隙图，图 f1 f为总汕膜长度；h 为最小油膜厚度，即齿侧间隙；R为啮合处的当量曲率.对于定常、等温、不可压缩牛顿流条件下，忽略端泄效应后，图中润滑油膜内的压强分布服从霄诺 程 ：)12#u d ，t/， (10)式中：h为 处的油膜厚度；p为 处的油膜压强；为润滑流体的动力黏度；It为卷吸速度。

文献[1 1]给出 r油膜内 处 位宽度 的容积流量公式：(7 ： - 业 Mh. f 1 1 1 q 赢 · (在宽度方向上，如果 q 保持不变，那么埘于宽I ba l- 度为 b 的齿轮， 点处 b 上的容积流量为Q - bzhj业Ox6，M . (12)定义rQ Q ， QIl。，： - 12r/ 0x；3式中：Q 为侧隙H内由速度 u引起的等效剪切流，11 /s；Q .。为由侧隙两侧的压差(P。-P )所引起的压差流，In /s。

/ // / ，jP--- ---- -- ：-P/ ， / / / / / ， / ， / / / ， ， / / /Xmi1-X 0 X X 图3 刚性当量圆柱与刚性平面间隙Fig.3 Gap map on rigidity equivalent cylindricaland rigid plane为便于区别，式(9)中的 h(S， )用 h”(S， )代替；式(13)中的 处的油膜厚度 (s， )用 h (S， )代替.式(13)中的 Q. 式两侧对 积分，并结合油膜两端的初始压力条件，得间隙 h”(S， )代替等效间隙 h (s， )，那么，由此计算出的压差流量记为QtH，p(s)- ， (18)12r/f h” (s， )dxXlnln( )则真实齿廓下的侧隙流量为)- ‰ (19)12，0j h (s， )dxJ Xmin( )为了便于分析对比，可将最小侧隙 h 处按照完全收缩和不完全收缩的薄壁凶计算出来的容积流量记为Qs0.61 /2 Pa：-P22。，0.82 。√2 P l--P2 。

式(13)，(17)，(19)中的积分按照式(21)所示的数值方法计算：式中：Ⅳ为大整数； 为积分步长。

Q ( )：- ， (14) 4 实例运算12，q J h ( ， )dxmin(且 h (s， )[R(5)h -/ (s) - ].(15)图3中，设 元为油膜破裂点离最小侧隙h。处的距离，则在侧隙两侧无初始压差时存在 。

(16)如果在图3中采用2面作为侧隙油膜的长度，那么，式(13)计为， 、bH(P1-P2)3 由侧隙的真实齿廓计算侧隙流量在式(14)中，如果以式(9)所表示的真实齿廓Q . ，采用论文第 1部分给出的案例参数，并加上最小侧隙值 h。：0.10 mm，齿轮宽度 b 20 mil，油液黏度 叼0.026 2 Pa·S，油液密度P870 kg/m ，困油压力P。2.0 MPa.当 S分别为 S1，0.5(S S2)和s 时，各自的计算结果分别如图4所示。

在图4中，S由S 逐步变化到S 时，等效齿廓法和真实齿廓法各 自的计算结果由非常吻合到有较大差距 ，差距百分比由(0.99-0.98)/0.98 1%变为(1.04-0.99)/0.99 5%直到 (0.23-0.16)/0.23 30%，说明在困油压缩区域[s ，0.5(S.s )]中，差距控制在 1% ～5%，可以采用等效齿廓法来计算侧隙流量；而在困油膨胀区域[0.5( )，S ]中，差距则在5%～30%，等效齿廓法不可取.其原因在于当侧隙的间隙长度 f认小值时，等效齿廓法和真实齿廓法各自的计算结果虽然不正确但形式上非常-致，这是由在最小侧隙附近的微小区域内，等效齿廓非秤近于真实齿廓造成的.而当间隙总长度 f越来越大时，-方面由于当量圆柱半径 尺 由s 逐步变化到S 时将变得越来越小，造成等效齿廓与真实齿廓的吻合长度减小；另-方面由于最小侧隙即 0位置在整个间隙长度 f 上越来越偏向高压P -侧，并引起低压P -侧的间隙高度变得很大。

图4 3个位置处各种流量的计算结果Fig.4 Calculated results of various flows at three special positions其次，s由s 逐步变化到s 时，真实齿廓法的计算结果由0.99变成 1.04直到 2.3，说明各个不同啮合位置处的侧隙流餐变化很大，变化率高达(2.3-0.991/0.99 132% 。

在图4中，Q 2.2×10 m /s与 Q 0.99 X10 Il /s有很大的差距，说明仅仅适用于微小区域的无压差侧隙油膜长度不适用于侧隙流量的计算，至于 Q ，Q 与 Q 的结果情况，有待进-步比较。

式(13)，(17)，(19)中的积分长度采用的都是最大I1iJ隙长度 z ，从图4可以看出，积分长度实际二兀需采用 z 即町积分出正确的侧隙流量，因此，接 F来的问题就在于最佳问隙长度 z 的计算。

采用缝隙的等效长径比定义 ，等效齿廓法和真实齿廓法下的间隙长宽比为A”( )： ，A )： 等 . (22) 二I1.dX， 二Il-d盖，存 位置下，由式(22)计算的结果如图5所示，最佳间隙长度 z 由A”和 A 的最大值所对应。

当然，电可由式(22)两边对间隙长度 f求导，并由dA”/dl0或 da /dl0，也叮求出对应的 f 。

5 齿侧全f叫隙的长宽比随bJ隙长度的变化情况( )Fig.5 Diagram of aspect ratio of all backlash gaps versus gaplength( .)图6为各种流量随侧隙值和困油压力值变化的计算结果.各种流量随最小侧隙值h。为0.05，0.10，0.15 ITlm变化的计算结果如 6a所示；随困油 力P 为2，6，10 MPa变化的计算结果如 6I1所示.随着最小侧隙值 h。为0.05，0.10，0.15 Ilm变化，Q 与Q”汁算结果的差距由(0.017～0.054)/0.054 -69%变为 (0.098-0.108)/0.108- -9% 直 到 (0.27-0.16)/0.16 69%，差距较大，结合图4c可见，尤其在困油即将终止时和侧隙值较大时更不可取I/mm(a)SS ，P 20 MPal/mm(b) S..hn0 10 rain图6 各种流量随侧隙值和困油压力值变化的计算结果Fig.6 Calculated results of variety flows versus side gap val-ue and trapped-oil pressure value同样，随着P 为2，6，10 MPa变化，Q 与Q 的误差由(0.098-0.108)/0.108 -9%变为(0.191-0.303)/0.303 -37% 直 到 (0.247-0.509)/0.509 -52%，差距较大，l尼其在压差较大时更小可取.故最袖隙值处的孔口流量理论不适用于侧隙流量的计算。

4 2 O 8 6 4 2 00 0 O O - 骞c。-- 、 、I oo1 l 5 结 论1)因曲率半径 尺由大到小的变化和最小侧隙位置在齿侧全间隙中向高压P 侧偏移，导致不同啮合位置处的侧隙流量变化很大，案例参数下的变化率高达(2.3-0.99)/.99 132%.其中，困油区刚进入啮合时，侧隙流量最小，即将退出啮合时，侧隙流量最大。

2)案例参数下，在困油过程的压缩区域中，等效齿廓法和真实齿廓法之间的差距百分比在 1% ～5%，可采用等效齿廓法来计算侧隙流量；而在困油过程的膨胀区域中，差距百分比则在 5% ～30%，等效齿廓法不可取。

3)由刚性等黏度润滑理论得出的无初始压差油膜长度2 法和孔 口流量理论均不适用于侧隙流量的计算；尤其在困油即将终止时和侧隙值、压差较大时更不可取。

4)任-位置处的齿侧全间隙长度基本保持不变，且对于任-偏移量下的间隙值随位置变量的影响很小。