五轴数控机床几何误差分析与建模

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五轴数控机床是实现复杂工件制造的高效加工设备，但由于其制造、装配、控制及运动过程中热变形、摩擦、振动和惯性等各种误差因素的影响，产生加工误差，影响了加工精度 j.在五轴数控机床成形系统中，几何误差占了机床各运动体误差的很大份量，对加工精度有着关键性影响.在对机床进行误差分析和辨识中，几何误差是不可或缺的重要内容.因此五轴数控机床误差分析、误差建模就显得尤为重要。

1 五轴数控机床的几何误差分析1.1 五轴数控机床的几何误差分析五轴数控机床结构复杂，机床零部件在制造过程中产生误差是不可避免的，同时装配过程也是误差的主要来源之-.因此，五轴数控机床的几何误差的可能性会更高，从而在加工过程中引起刀具在加工点处出现刀轴方向和刀点位置误差，最终把误差表现在工件精度上。

五轴数控加工中心(1TITrRR)如图 1所示 ，图中给出了其含有的5个相对运动体的相对关系.这 收稿日期：2013-03-26作者简介：张 娟(1978-)，女，甘肃通渭人 ，讲师，硕士里，若用 表示运动体，而每个运动体在运动过程中都会产生移动误差与转动误差.若用 表示移动误差，即有 ， ， .用R表示转动误差，即有R ，尺M ，R .也就是说每个运动体都会产生6项误差， 可取 ，，，z， 或 ，分别代表五轴数控机床的5个运动体，从而五轴数控机床由于位移变化量和转动变化量所引起的误差就可能达到30(5×6)项之多。

1.床身 ，2.工作台，3.工件，4.龙门，5.溜板，6，7，8.主轴箱图 1 五轴数控机床结构示意图建立五轴数控机床坐标系时，将刀尖的初始位置定为床身坐标系的原点，可使各运动体的运动坐标系与其相邻运动体的体坐标系重合，即确定运动· 54· 兰 州 工 业 学 院 学 报 第 20卷体的相邻体的体坐标系便可知该运动体的运动参考坐标系.因此，初始状态下，各运动体的体坐标系和运动参考坐标系都与床身坐标系重合.将所有坐标系的 轴取在实际 轴方向，实际的 轴就不会产生垂直度误差.若以机床实际 轴和 ，轴所在平面作为坐标系的XY平面，实际 ，轴将会产生- 项垂直度误差 s ，实际的z轴将会产生两项垂直度误差 S 和s .实际A轴与坐标系的 轴完全平行是不可能的，会产生两项垂直度误差 s 和S .同理B轴也会产生两项垂直度误差 S 和S. 综上所述，五轴数控机床会产生 7项不随运动体的运动而变化的垂直度误差，且是角度常量。

综合以上分析，可得五轴数控机床几何误差参数如表 1所示。

表 1 五轴数控机床几何误差参数表五轴数控机床运动体较多，结构示意图只能粗略的反映相互位置关系与运动关系，为使相互位置关系和运动关系更加直观、更加形象，有必要将其转换为拓扑结构示意图.图2即为由图 1转化而得的五轴数控机床拓扑结构意图，图中标号--对应，各运动体的顺序和邻接关系，由数字大杏以反映.由图2可得工件(1-2-3)与刀具(14-5 6-7.8)两个误差分支，表2为图中8个典型体的低序体阵列。

图2 五轴数控机床拓扑结构示意图1.2 五轴数控机床误差特征描述对于实际的运动体与相邻体，误差的产生是不可避免的 J.五轴数控机床在零部件制造和装配过程中，几何误差的产生也是在所难免的.根据运动体的运动特征即可建立有误差情况下，两相邻运动体的参考坐标系 J.建立笛卡尔坐标系如图3所示，A。设为惯性体，C 为惯性坐标系，A 为-运动体，A 为其相邻的低序运动体，c 与c 分别为固定在运动体 A 与4 上的坐标体系；c。为运动体A 的运动参考坐标系，它相对于A 体的体坐标系C 的位置不随A 体运动而变化.c。 为/4 体的位置误差参考坐标系，C 为A 体的运动误差参考坐标系；P 为A 体的体坐标系原点和A 体的体坐标系原点之间的初始位置矢量，s 为A 体相对于A 体的运动位移矢量；P 为 体的位置误差矢量，s 为A 体的运动误差矢量；P 为 体的实际位置矢量，s 为A 体的实际运动矢量.当位移S 为零，位移误差 s 为零时，c 与 c。重合；当位置矢量 P 为零，位置误差矢量P 为零时，c。与 c 重合.理想情况是实际情况去掉 c。 和 C 。以及 P 和s 的-种特殊情况，这里就不再详细说明。

表2 五轴数控机床 TTTRR的低序体阵列典型体( )，J ( )( )( )( )∥( )( )图3 五轴数控机床笛卡尔坐标系2 特征变换矩阵2.1 理想情况下的坐标变换原理任何复杂运动我们可以分解为沿 、y、z轴的平移和绕 、l，、z轴的转动，也就是说复杂的运动第4期 张 娟：五轴数控机床几何误差分析与建模 ·55·形式都可以由这六种基本运动形式复合得到.下式 得到的变换矩阵 ：为用 Denavit-Hartenberg即(D-H)4×4阶齐次矩阵[E ][ ]( )[尺 ](R)[ ]( )[ ](，) (Z)[R ]( )R (卢)[ ]( )cosCOS( )COS( )sin( )sin(OL)sin(f1)COS( )sin( )sin( )-COS(O/)sin(f1)COS( )0- cossin( )COS( )COS(y)-sin( )sinsin( )sin( )COS( )COS(OL)sin(f1)sin( )02.2 实际情况相邻运动体间的特征变换矩阵实际情况是在理想情况下加入误差因素.在实际情况下，制造装配等因素使得运动体在静止状态时产生位置误差，运动状态时又会产生运动误差，而运动误差决定于移动量.依据图 3建立的坐标系，运动体间的相对位置关系就可以用坐标系位置特征关系来表示.c 到 C 的变换用公式表示为E ] [EMpEMp[ENM] [ENM] (2)其中，E ]为 c 到 c 的特征变换矩阵，[ENM] 为 体的运动参考坐标系相对于其相邻体4 的体坐标系的位置特征变换矩阵，ENM] 为A 体的位置误差参考坐标系特征变换矩阵，[层 为 体的体坐标系相对其运动参考坐标系的运动特征变换矩阵，[E ] 为 体的运动误差参考坐标系特征变换矩阵。

假设坐标系c 是由c 沿 轴移动 时确定， ，] 对应的位置特征矩阵为 ] ( )1 00 1O 00 00 P0 01 00 1(3)假设坐标系c 是由c，沿 轴移动)，P时确定， ]。对应的位置特征矩阵为TNM] ( )1 00 1O 00 00 001 00 1(4)假设坐标系c 是由c 沿 轴移动Zp时确定 ，[TNM] 对应的位置特特征矩阵为TN pzp1 00 1O O0 0sin(/3)- sin(Ot)cosCOS( )cos00 00 010 1X rtm(1)(5)假设坐标系 c 是由c 绕 轴转动角度 时确定 ，[尺M]。对应的位置特征矩阵为[RNM]。( )1 00 COS(OL )0 sin(OL。)0 00 0- sin(Otp) 0COS( 。) 00 1(6)假设坐标系c 是由c 绕 轴转动角度 时确定，尺 ]。对应的位置特征矩阵为[RNM] ( )cos( )0- sin(卢 )00 sin( ) 01 0 00 cos( ) 00 0 l(7)假设坐标系 c 是由c 绕 轴转动角度 ，时确定 ，[RNM] 对应的位置特征矩阵为：[RNM]。( )COS( )sin( )000COS( )00- sin(y ) 00 O1 00 1(8)假设坐标系 C 是由C 上述六种位置关系的复合而确定时，[ENM] 对应的位置特征矩阵为[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[R ] ( )[尺 ] ( ). (9)建模时，若能使运动参考坐标系和其相邻体的体坐标系重合，可简化模型.即 z 0，- 56· 兰 州 工 业 学 院 学 报 第20卷 ：y 0，则 [ENM]。[I]，[I为单位 置误差而得到的。

矩阵. 假设位置误差是沿 、y、z轴分别加人移动误2)位置误差特征变换矩阵 [ENM] 差A 、A 、A ，绕 、y、z轴分别加人转动角度实际情况下，A 体的运动参考坐标系和其相 误差 、 、 时，[ENM] 对应的位置误差特邻体A 的体坐标系间是在理想情况下加入相对位 征矩阵为ENM]pe[ ] (A ) P (A )[ ]Pe(A )RNM]Pe( p )RNM] ( )RNM] ( )1 0 0 Ap0 l 0 00 0 1 00 0 0 1cos( )0- sin((ppy)0-1F 1 0 0 0I 0l1 0 0 l 0JL0 0 0 10 sin( ) 01 0 00 cos(py) 00 0 10 0 0"3F 1 0 0 00 1 O0 0 10 0 0COS( )sin( )O0c( c( )c( p )s( 。)s( )s( )c( p )s( )s( )-c( )s( )c( )0- sin( ) 0 0COS( ) 0 0- sin( 。 ) 0cos(p ) 00 1- c( )s( )c( )c( p：)-s( ， )s( )s( )s( )c( )c( )s( )s( )0为简化(1O)式，用 C代表 COS，S代表 sin。

- 般来说 ，转动角度误差 、 、 很小，因此，依据泰勒级数展开式可知，sin( )- ，COS( ) 1，sin((p ) ，cos( ) 1，sin((p ) ，COS( ) 1.分别代人(10)式可得ENM] ：1 - pz ppyP)z 1 -P蟮 叫 -Pp p 10 0 0 1假设 XY轴之 间存在垂直度误 差 时，[SNM] 对应的位置误差特征矩阵[s ]。( 1 -Ppp y1O 0O 0c0s(% )sin(r)O0- sin( )cos(m)00假设 轴之 间存在垂 直度误差 时，×[SNM] 对应的位置误差特征矩阵[Js ]。(xz)1 0 00 1 O 0- 0 1 00 0 0 1cos( )0- sin( )00 sin((p) 0]1 0 o I 0 cos(%)0 l0 0 lJ(13)假设 YZ轴之 间存 在垂直度 误差 时，SNM]。 对应的位置误差特征矩阵[SNM] (yz)0 O1 -P p zP z 10 0l O0 cos( )0 sin( )0 00- sin( )cos( )O 0](14)， 2 l /L 1 j 0 0 O 1 0 O 1 0 第4期 张 娟：五轴数控机床几何误差分析与建模 ·57·假设三项垂直度误差 ，、 、 同时存在，[ENM]。 对应的位置误差特征矩阵[‰ [ ] (xr3[ ] ( )[ ] ( )1p” - ” 0- pq1午时z00- 01 0O 1(15)3)运动特征变换矩阵 [E ] 。

假设 A 体相对 A 体沿 轴移动量为 时， 对应的运动特征阵为TNM (X)1 00 10 00 000 01 00 1(16)假设 体相对A 体沿 y轴移动量为Y 时，[ ] 对应的运动特征矩阵为[ ] (Y)1 00 10 00 00 00 Y1 00 l(17)假设A 体相对4 体沿 z轴移动量为Z 时，[ ] 对应的运动特征矩阵为TNM (Z)1 00 10 0O 00 00 01 z0 1(18)假设A 体相对A 体绕 轴转动量为 时，[R ] 对应的运动特征矩阵为I l 0 0 0]‰ ㈦I。0 ；Lo 0 0 1 J(19)假设A 体相对A 体绕 Y轴转动量为卢 时， ] 对应的运动特征矩阵为r cos(/3 ) 0 sin(fl ) oll-n(J0 1 0S1/5 C( - I.JUSJ U lL0 0 0 1 J(20)假设 体相对 A 体绕 z轴转动量为 时， ] 对应的运动特征矩阵为厂COS( ) -sin( ) 0 ol㈩ ∞L 0 o 0 1 J(21)假设 A 体相对 A 运动为上述六种基本运动形式的复合运动时，[E删] 对应的运动特征矩阵可表示为：[E TNM] ( ).s (Y )[.s ( )[R ] ( )R ] ( )[R ( ). (22)4)运动误差特征变换矩阵 [E ]实际情况下， 体的运动参考坐标系和其相邻体4 的体坐标系间是在理想情况下加入相对运动误差而得到的.当 体相对其相邻体 沿 、y、z轴移动误差分别为 A 、A 、A ，绕 、l，、z轴的转动误差分别为 、 、 时，运动误差特征变换矩阵 [E 可表示为E [TNM] (A )71 ] (A )[TNM] (A )[R ] ( )R ] ( )[R ( )01 0 0 I1 0 1 00 0 1 0 I1 0 0 10 0 0 1.JL0 0 01 0 00 l 00 0 1O 0 0COS( ；)sin( )000 3[-1 0l10 l1 0 cos( )A Il 0 in( )1 j L0 0- sin( ) 0 0COS( ) 0 00 1 00 0 10 O- sin( ) 0COS( ) 00 1×O 0 l O 0 0 1 · 58·)C( )s( )s( )C( )- c( )s( )c( 船)O兰 州 工 业 学 院 学 报- c( )s( )c( 船)C( 盯)-s( 蹦)s( )s( 。)s( )c( )c( )s( )s( )0为简化(23)式，用 C代表 COS，s代表 sin。

- 般来说，转动角度误差 、 、 很小，因此，依据泰勒级数展开式可知，sin( ) ，cos( ) 1，sin(###py) py，cos(qpy) 1，sin(q )- ，c0s( ) 1.分别代jk(23)式可得 [S ] 为E v- lO(24)3 五轴数控机床几何误差模型建立加工误差是指某-时刻工件上理论加工点和实际加工点间的距离 .依据前述所建坐标系及各坐标系的相互关系，可给出刀尖在刀具体坐标系中的位置矢量P 0.0.0 ，理论加工点位置矢量在工件坐标系中的为q， 。， ，Z。)T，则刀尖和理论加工点变换到床身体坐标系中可得位置矢量P 和q 分别为- sin(A)cos(A)01Rzz- Rzy0- RAz1RAx0- 10- RA101式中，s( )- s( )C( )c( )C( )坐标变换而引入的坐标变换矩阵，第2O卷(23)(25)(26)1-I[ENM]是为实现从工件坐标到床身坐标变换而引入的坐标变换矩阵。

理论加工点与刀尖实际位置间的偏差设为edX，dY，dZ ，则e P1- ql·即(27)[E ] )×- ((28)将各坐标变换矩阵以及刀具和工件位置矢量代入(28)式得- 尺1删 00- s Bx100] 姘盯AAl0吼S/ ，L S S 、， 、，L /C -...............。........L M 村。n 。n。

身 床至 标坐具 。 刀从现实为 是M。nli 站A A A 1 1 0 90 盯ⅣEMⅣ。兀/0 S 0 0 0 二。

l 0 0 0 0 0 0 0 ，0 o 0 1 0 。 0 0且 掰。 。 o0 y O 10 0 O 1 0 1 O 0 1 0 O Z1 0 0 --....................L 1 J y Z 00 0 l 0 0 。 0 0 01 0 0 0 -.。.。................L O 0 c，) l -l 0 0 0 儿 0 O Z 1O 0 1 0 Z 0 O -..................，.L 1 J0 0 0 l 0 0 1 0 0 0 -]y ZZ ， 0 -..............。.....。..L 0 1 O 0 O O 0 l Z l 0 0 1 O 0 0 - - -..........。.。.。。。.L 1J ， 0 0 0 1 (y Z . d C 0 1 00 1 0 0 r Zl 0 S 0 --....................L A AO 0 oC S 1 0 0 0 r..................L % 00 ]-8 B.H 00 O 0 1 0 0 O O ∞第4期 张 娟：五轴数控机床几何误差分析与建模 ·59·1 -1 -% - 10 0 0 1zq1(29)式中，五轴数控机床移动体 、l，、z的移动量用 、l，、z表示，转动体A、B的转动角度用A、B表示。

考虑到建模的可行性，在实际建模中二阶及二阶以上的高阶误差项常被忽略，而只保留-阶误差项，因此以上误差模型可化简为dX 朋y -R yZq-SrzY(szyRyy)zTBzsin B、)TBxCOS(B)TxTYxTzx-TxX。

(30)dY - RxzYq RxXz q- szx RYx、)Z T.xsin(A)sin(B)- zsin(A)- sin(A)COS(B)( y y)cos(A) yZ - . (31)dZ R yX。-RxxYq- 蹦COS(A)sin(B)( y y)sin(A) cos(A)COS(B) zCOS(A) yZ - 船. (32)式(30)～(32)并不能直观的反映加工误差与各单项误差之间的关系，也就不能很好的对误差参数进行辨识，故而将-阶几何误差模型加工误差与各单项误差间关系列于表3～5。

表 3 dX误差系数及误差项误差项TAXTYXTzx-TxxRxzRxxSrzSzyRrrTBz表 4 dY误差系数及误差项误差系数 误差项1w T -1RxzRxxSrzS2xRHTBzy y表 5 dZ误差系数及误差项误差系数 误差项1X- y目- COS(A)cos(曰)sin(A)cos(A)cos(曰)cos(A)TYzTzz-TxzR yRxxTBxT YTRYTBzz4 五轴数控机床误差模型分析及嗅由以上分析可以看出，在建模时，为了使模型简化，将运动参考坐标系与其相邻体的体坐标系重合，同时考虑到模型的可行性，在实际建模中将二阶及二阶以上的高阶误差项忽略，误差模型包含了移动误差、转动误差和垂直度误差三类误差，在后续的辨识过程就要求出三个方程中的未知项.因此，要实现辨识就要设计合理的测量方案，且测量方案是能否实现辨识和辨识是否有效的关键因素和决定因素。

辨识方案的复杂程度主要撒于要误差模型的误差项数目多少，分析表3-5可知，存在系数为零的误差项，即这些误差项对-阶几何误差模型不产生影响.也就是说剔除系数为零的误差项，减少了误差参数辨识的数 目，可使误差辨识方案简化，提高辨识的可行性。