数控机床主轴热漂移误差基于贝叶斯推断的最小二乘支持向量机建模

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M odeling of CNC M achine Tool Spindle Thermal Distortion with LS·-SVM Based on Bayesian InferenceJIANG Hui YANG Jianguo YAO Xiaodong ZHANG Yusheng YUAN Feng(1.School of Mechanical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240；2.Shanghai Aerospace Equipments Manufacturer，Shanghai 200240)Abstract：A new least squares support vector machine(LS-SVM)modeling method based on Bayesian inference is presented to predictthe spindle thermal distortion of compmer numerical control(CNC)machine too1.With laser displacement sensors and thermal resistorsensors，a series ofmeasurements on a 5-axis CNC machinmg center with double rotate tables are carried out to acquire spindle thermaldistortions of diferent directions and temperature values for modeling.During the modeling process，the parameters of LS·SVM arechosen by Bayesian inference methowhich Can obtain the optimized parameters of maximum posterior probability.With theseoptimized parameters.the established model Can predict the spindle thermal distortion accurately.Tle LS.SVM model based onBayesian inference，the conventional LS-SVM model and the Back propagation artificial neural networks(BP-ANN)model arerespectively used to predict the spindle thermal distortion under variable working conditions.Wi th the prediction I.esu1ts comparison.theLS-SVM model based on Bayesian inference has the best prediction accurate，an d is more efective and robust especially when thespindle runs under variable working conditions，it Can smoothlg over some shortages ofthe traditional modeling metho。

Key words：CNC machine tool Spindle thermal distortion M odeling Support vector machine Bayesian inference0 前言近年来，随着机床制造水平不断提高，机床零国家科技重大专项资助项目(2011ZX04015-031)。20120619收到初稿，20130220收到修改稿部件精度及装配精度都有很大改善，传统意义上的机床几何误差已经能得到较好控制。然而，机床实际加工时不可避免地会产生各部件温度变化，特别是保持高转速的机床主轴，往往成为机床最大的发热源，研究表明，主轴温升产生的主轴热漂移误差已逐渐成为机床热误差中最大组成部分 J，因此有l16 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 r5期效补偿主轴热漂移误差对提高加工精度意义重大。

对误差的精确预测是进行有效误差补偿的前提，近年来，国内外学者针对机床热误差预测模型做了大量研究，试图精确建立机床温升与热误差之间的关系，较成熟的方法如下：杨建国等 J运用最小二乘法对数控机床热误差进行拟合建模；李永祥等 提出了数控机床热误差的时间序列建模方法并应用该方法对机床热误差进行了预测；YANG等对机床热误差建立了动态神经网络模型；SHEN等L5j将偏最小二乘法与神经网络模型结合建立了热误差预测模型；闫嘉钰等o 运用灰色理论模型对机床热误差进行建模；ZHANG等[7-8]分别综合了灰色理论与神经网络模型，灰色理论与模糊判断方法对机床热误差建立了复合模型，以上方法在机床热误差预测领域都取得了-些成功的应用，但这些方法都存在-些局限性，最小二乘法拟合精度不高；时间序列模型在预测机床不同初始条件下的热误差时有局限性；灰色理论模型对建模误差数据光滑性有严格要求；神经网络模型容易产生过学习或欠学习问题。本文针对数控机床主轴热漂移误差建模问题，提出-种基于贝叶斯推断的最小二乘支持向量机(Least squares support vector machine，LS-SVM)建模方法。支持向量机(Support vector machine，SVM)在针对非线性误差识别与预测时具有以下优点：由于有严格的数学基础，可避免神经网络等智能算法在设计时对设计者经验的依赖；基于结构风险最携原则，保证机器学习具有良好泛化能力；算法可最终转化为凸优化问题，保证全局最优性。基于以上优点，林伟青等[9-1o]将 SVM及 LS-SVM方法应用于数控机床热误差建模与补偿研究并取得了-定成果。本文在运用LS.SVM对-台双转台五轴数控机床主轴热漂移误差建模的过程中，通过贝叶斯推断步骤对 LS.SVM相关参数进行选择，获得参数后验概率最大化前提下的最优值，使得到的误差模型预测精度及泛化能力进-步提高，从而克服现有误差预测模型的部分局限性。

1 最小二乘支持向量机算法SⅥ 是-种机器学习方法，可根据给定的已知训练样本，估计出系统输入输出间的关系，SVM算法原理如下。

对于-ill练样本集 ( ，yi)，江 1，2，，，，为样本总数，先通过-非线性映射 (·)将样本从原空间R-映射到-高维特征空间R.h，然后在此高维空间中构造-最优线性回归函数 ( ∞ ( )b，基于结构风险最携原则，即最携J-I，l /2扭来得到∞和b，其中 ( )为原空间样本到高维特征空间的映射函数， 为结构风险函数，∞为高维特征空间权矢量， OJT∞为算法模型的复杂度，b为偏差量，C为正规化参数，E为以误差 为自变量的误差损失函数。

选择不同的误差损失函数可生成不同的支持向量机形式，标准支持向量机选择的误差损失函数为误差变量毒∈R，函数的回归问题可描述为结构风险函数 的优化问题minl，(1z， )去 ∞c∑s.t.Yi≥∞ ( )6磊磊≥0 f.1，2，，， (1)LS.SVM 从 SVM 算法发展而来，主要改进是将误差损失函数定为误差 的二次项，从而将支持向量机的不等式约束转化为等式约束minJ(to， )寺∞ ∞十寺c∑磊s.t.YigO ( )6毒≥0 f1，2，， (2)引入拉格朗日乘子%(1：1，2，，Z)构造拉格朗日函数 三 寺∞ 寺c∑ -∑ [∞T ( )6每-Yi](3)极值存在条件为8L 嚣差.o (4)Z1. ----IJ Ila a6 a毒 a 、从而得到∞∑ ( )il，∑ oi1 cJ，f乜， ( )6每il，2， ，l消去∞和 后得到0 11 ) )C1 ) )1) )) )C6： O：y2013年 8月 姜 辉等：数控机床主轴热漂移误差基于贝叶斯推断的最小二乘支持向量机建模 117根据泛函理论，存在-个 内积 函数 ( ， )满足Mercer条件K(x， ) ( ) ( ) (7)K(x， )称为核函数，最后得到最小二乘支持向量机估计函数为-L厂( ) ctiK(x， )b (8)il式中，拉格朗日乘子 以及偏差量b可由式(6)求得，核函数K(x， )可选择任意满足 Mercer条件的对称函数，较常用的核函数有线性核函数，多项式核函数和高斯核函数，本文选取高斯核函数K(x，x3：eXpl- ～x，I /(20- )j，从而使最小二乘支持向量机估计算法中包含两个敏感参数：正规化参数C以及核函数参数o-，合理选择和调整参数值可使估计算法的泛化能力和鲁棒性得到提高。

2 基于贝叶斯推断的参数选择过程传统的 LS-SVM 参数选择-般采用交叉验证法，该方法确定理想的参数组合需要大量训练与验证时间，在小样本建模时往往无法获得参数最优组合。基于贝叶斯推断的参数优化选择过程通过最大化参数分布的后验概率来得到最佳参数值，可弥补传统交叉验证法参数选择过程的局 限性 。针对LS.SVM 参数优化的贝叶斯推断过程可分为三个步骤：第-推断步骤将最tJ-乘向量机样本训练过程解释为权矢量参数国的贝叶斯推断过程；第二推断步骤对正规化参数C进行选择；第三推断步骤对核函数参数o-进行选择。

2.1 权矢量参数 的贝叶斯推断设D为训练样本空间，日为模型空间，训练样本( ，23∈D，il，2，，，将原优化问题的目标函数式(2)除以C，并且引入参数 1/C，对于给定的 ，由贝叶斯公式可得参数彩的后验概率P(缈fD， ， r)：! ! ： ： ! ：竺。 P(D[A，月)∞P(DI ， ，月 )P(国I ，月 ) (9)式中， ·)表示先验概率；P(·f )表示条件概率，即后验概率。假设训练样本相互独立，参数国的先验概率P(aJ)服从高斯分布，则P(Dl ， ，日)nP( ，yi Ia， ，日)ilf兀P(yj[x，，∞， ，H)P(xi la， ，日)iI( exp(- )由于P(xiI缈， ，日)为可由训练样本观察得到的常量，则P(Dl ， ，日)。c兀P(y l ，国， ，日)√ e (-将式(11)和式(12)代入式(9)得P(功ID， )oc exp(-害彩T缈-吉喜 ]( 3)由式03)看出求参数缈的最大后验概率与式(2)的优化问题-致，从而可将LS.SVM模型的样本训练解释为权矢量参数国的贝叶斯推断过程。

2.2 正规化参数c的贝叶斯推断假设通过第-推断步骤或样本训练得到的权矢量参数最优值为 ，第二推断步骤在： 前提下针对正规化参数的变形 1/c作贝叶斯推断，通过最大化 的后验概率来选择最优P( I。，日)! ∞P(。

， )J P(DIm H)P(aIA，H)deo( 唧 1 l d国令 国： 圭每z (15)二 i1： !a， 为03 时的取值，对式(14)两边取对数得ln.P(AID，H、)OF.- E -E 七/ 1n，-1，，ln(detA)C (16) ， J 、式中，c为-常数， 在式(16)对 的偏导数为零时获得，即2 P (17)0o) 式中， ，-2trace.4 为参数的有效数，对于最小l18 机 械 工 程 学 报 第49卷第 15期二乘向量机： ! !： Jfa (18) ∑ (薯) ( )式中，J为单位矩阵， ( )( ( )， ( )，， ( ))，用 表示B的特征值，可得∑il(19)， Pt式中，n≤，为非零特征值数，迭代式(17)和式(19)可获得最优正规化参数 。

2.3 核函数参数 的贝叶斯推断在 ， ‰ 前提下，通过最大化模型后验概率P(HID)来选择最优核函数参数 假设模型先验P( )对于训练样本是均匀分布，则I ocP(Dl 、 。 P(D) 、。P(D ，H)P(AI )d 。c-P-(D-J2 p，H) (20)对式(20)两边取对数得haP(HID)- - lI1 --ln(detA)-hyC (21)式中， 在式(21)对 的偏导数为零时获得。

2.4 基于贝叶斯推断的LS.SVM 建模过程综上所述，基于贝叶斯推断的最小二乘支持向量机(简写为BLS.SVM)建模过程可按照图1所述步骤进行。

(a)设定参数 ，C， 初始的值 ，co，o-o；(b)训练 LS.SVM 得到最优权矢量参数砬 ，为第i次训练获取的 值，f为初值为1的自然数。

(c)贝叶斯推断选择最优正规化参数 ，为第f次选择得到的 值。

(d)贝叶斯推断选择最优核函数参数 O'MI， ，为第f次选择得到的O'Mp值。

基于贝叶斯推断的参数选择图1 BLS.SVM模型建模过程3 机床主轴热漂移误差测量与建模3.1 机床主轴热漂移误差测量试验对-台双转台五轴数控加工中心进行主轴热漂移测量试验，分析该机床主轴结构可知其在高速运转时的主要热源集中于主轴前部的轴承、轴承套以及放置电动机的主轴箱。故共选取了机床主轴轴承套及主轴箱正面的7个温度关键点布置温度传感器，具体布置位置见图2a，分别如下：主轴轴承套前端沿 X、Y负方向各-个，标记为 、 ；主轴轴承套下端面沿 、y负方向相距90圆弧各-个，标记为 、 ；主轴箱正面前端、中部、末端各-个，标记为 、 、 。另外，用-温度传感器测量室温变化，标记为 。

主轴热漂移误差采用高精度非接触式激光位移传感器测量，为了方便测量，选用标准心轴代替实际加工中的刀具，使用专用夹具将激光传感器安装在特定测量位置，如图2b所示，接近标准心轴底端的位移传感器 4、3、5测量值可表示主轴热漂移引起的刀尖点在 x、Y、z方向的偏移量，分别记为幽、 、 ；标准心轴上端的位移传感器2、1分别测量芯轴上端 、Y方向的偏移量，分别记为 、 l♂合传感器读数dl、d3和 、出可推导机床主轴轴线的热偏摆角度，机床不同刀具的刀尖点偏移量要根据刀具长度以及该偏摆角度换算得到。

使机床主轴从冷态开机以6 000 r/min的转速运转 3 h，停机 2 h，所有传感器都以 2 min的采样2013年8月 姜 辉等：数控机床主轴热漂移误差基于贝叶斯推断的最小二乘支持向量机建模 121l065-l072。

Thermal error modeling of a machining center using greysystem theory and adaptive network-based fuzzyinference system[J].JSME International Journal，SeriesC ： Mechanical Systems， Machine Elements andManufacturing，2007，49(4)：l179-1187。

[9林伟青，傅建中，陈子辰，等.数控机床热误差的动态自适应加权最小二乘支持 向量机建模方法J.机械工程学报，2009，45(3)：178-182。

Modeling of NC machine tool therm al eror based onadaptive best-tting WLS-SVM[J].Journal ofMechanicalEngineering，2009，45(3)：178-182。

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LIN Weiqing，FU Jianzhong，XU Yazhou，et a1.Therm alerror modeling an d compensation of numerical controlmachine tools based on on-line least squares supportvector machine[J].Computer Integrated ManufacturingSystems，2008，14(02)：295.299。

作者简介：姜辉(通信作者)，男，1983年出生，博士研究生。主要研究方向为数控机床精密加工与测试。

E-mail：ianghui83###sjtu.edu.cn杨建国，男，1956年出生，教授，博士研究生导师。主要研究方向为精密加工与测试、数控机床误差补偿及可靠性。