三自由度数控铣头动力学计算与仿真

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为了适应现代先进制造业的发展需求，在传统AC双摆铣头的基础上，增加-个B轴，设计-种机械式三回转自由度的铣头。既扩大了铣头的工作空间，减少能源消耗和刀具调整时间，又有效解决了双摆铣头的 极性问题”。为了更深入的研究和探索该铣头的可行性及优势，在结构设计和运动学分析的基础上再进行动力学分析。

三轴数控铣头与传统双摆角铣头相比，动力学研究更为复杂。该三轴铣头是-个冗余的、多变量的和本质非线性的自动控制系统，也是-个复杂的动力学耦合系统。动力学研究对于该铣头的动力传动系统、控制系统设计及动态仿真具有非常重要的意义。

目前动力学的分析方法主要有牛顿-欧拉法、拉格朗日法、高斯法、阿佩尔法、旋量对偶数法和凯恩法，其中前三种应用最为广泛。本文以新型三自由度数控铣头为研究对象，首先列出运动学方程 ，为动力学分析作准备，再采用拉格朗 日法建立铣头动力学方程，并运用Matlab语言编程对铣头进行动力学学计算，最后使用Adams/View仿真软件进行仿真，对计算结果进行验证。

1 铣头运动学分析1.1铣头整体模型铣头三维模型的整体外观如图1所示，图中滑枕与机床滑座相连执行Z轴的移动，滑枕相对于铣头固定不动，C轴内圈通过-对相向布置的圆锥滚柱轴承与滑枕连接，实现C轴的旋转自由度。与C轴内圈固定的B轴箱体两侧装有圆滑块，A轴箱体两侧安装圆弧导轨，两对圆弧导轨滑块的相对运动实现B轴的旋转自由度。与电主轴相连的电主轴架两边通过-对精密球轴承安装在A轴箱体上，电主轴架与A轴箱体的相对旋转实现A轴的旋转 自由度。

41.滑枕；2.B轴；3.电主轴；4.C轴；5.圆弧导轨；6.A轴图1铣头整体三维模型1.2铣头运动学方程运用D-H (Denavit-Hartenberg)参数法建立三自由度铣头的坐标系 。铣头简化模型坐标系如图2所示。

从铣头滑枕底部开始编号， C、B和A轴连杆收稿日期：2013-04-14基金项目：河北势技支撑项 目 (122121113D)：河北省自然基金项目 (E2013210107)作者简介：刘超颖 (1959-)，女，教授，主要从事 自动控制及纺织机械新技术等方面的研究。

第35卷 第8期 2013-08(下) [1211 、l生 匐 化表1 三自由度铣头D-H参数表 0 Z ai1 Oci- i1 O O。 0 Oi(-360。至36O。)2 0 -90。 0 02(75。 至 105。)3 0 90。 0 03(-110。至110。)4 以3 O。 O P (常数)编号依次为1、213，编号4为刀具安装点至A轴旋转中心的电主轴。铣头的D-H参数表见表1，表中Ol和 e 的初始 角度为O。，O2的初始 角度为9O。 。

则四个齐次变换矩阵 分别如下：00 0 0 - 。，。l瓦1I 1 l除0 外的所有参数为三 自由度铣头的既定结构参数，其 中a3250mm。C轴旋转角e 范 围为-360。-360。，B轴旋转角e2范围为75。-105。

(初 始 角 度 为9 0。 )，C轴 旋 转 角 03范 围为-110。-110。。

D1， ，z2/- 、- ，-- - I ， 02，o3 Z3 J1 1图2 铣头连杆坐标 系2 铣头动力学计算2.1拉格朗日动力学方程的推导拉格朗日函数L为系统的动能T与势能V之差 ，即：LT-V (1)式中整个铣头的动能为：11221 第35卷 第8期 2013-08(下)n 1∑ni1 i1圭il i l L， u ： ： n(警 I ∑∑ 圣，记轴i连杆质心的齐次坐标在坐标系i中的表达式为 ，则在基坐标系中的表达式为 。 r，，所以轴i的势能为：-mf -rf -mf季·故整个铣头的势能为： ∑ -∑m 季·式中，季 0] ，g为重力加速度矢量在基坐标系中的表达式。

对Lagrange函数(1)求偏导数为：8L： ： (2)c ， q， 百 c 喜掘喜懈考 8T- 8V 口 OH 害 ) 1矿 31- .(4)将式(3)和式(4)代入Lagrange方程得：nn- q8Hq. t ，jc，BA (5)口 CAg ：，c，，jc，B，A可进-步简化为：H(q)qC(q，4)qG(g)- (6)： ，tr(鲁以 ，i， A %]， ： jc，Bc(㈣ ， 喜 ( 盟3q；- 'i，jCB'A-喜 害 iIjC'BA2.2铣头动力学参数根据所设计的铣头A、B、C三轴的实际结构、尺寸及装配关系，运用Solidworks软件中的质量特性”工具自动计算出各轴装配体在输出坐标系中的的质量、质心以及惯性张量～结果O l 0 O 如l吕 O ∞ 0鸣。 。 C - 1O O l O 叫。。 - C c蓦 -lI， 1 J O O 1 O O l 0 O 1 0 O 1 O O 0 带入式 ：J I。 tII m xcn mtlYclimlIxc lmI Yct mtizct m 中，即可计算出能完整刻画各轴质量分布情况的伪惯性矩阵 。式中， [ ， Ycf，jZc 为杆i的质心在坐标系i中的表达式 ～各轴连杆的质量、质心和伪惯性矩阵列表，如表2所示。

表2 质量属性参数质量m 质心 伪惯性矩阵Jk(kg.mm2) 连杆 (kg) (nun)l 1373959 -0.294 280.935 1869.554 l11.203] l0.294 717377 -424.427 0 lA轴 16.8 J o f l l J280.935 424，427 216121 5179，765l31.039J l 1869 54 0 5179.765 16.80 IF3.12 ] l 7085386 -303665 136294 348.972 lB轴 1l1.85 138.43 f f-30365 519054 -476302 15483.396 fI Il- 18-09J I 136294 -476302 2364056 -2023，367 l148.972 15483.396 -2023.367 1 1 1.850 l- 1.33 I l 12069013 3.38 9209.373 -472 242 I ll 33l38 8843640 -5432.762 -56.814 lC轴 355.07 -0.16 I l l I9209 373- 5432.762 1 1 199555 -7605.601 l- 21.42f j J l-472 242 -56.814 -7605.601 355.070 l依据该铣头传动系统参数、初选伺服电机的转速范围和铣头的正常工作要求，设定ABC三轴的最大角加速度6[3，0.5，1.5r和最大角速度 [13.33兀，0.37rc，0.83兀r。

为了计算和验证动力学方程的正确性，预定该铣头两组不同姿态下的转角值：1)0190。 ，0275。 ，0 110。；2)0l180。，020。，0390。 。

2.3动力学编程计算将以上所有条件和设定参数代入到动力学方程式(6)中，通过Matlab编程 计算，为了编程方便，e1、02和O3分别用A1、A2和A3代替，F1、F2和F3分别代表Tc、 和 ，g代表角加速度6，代表角速度0， 代表各轴的惯性张量。依据铣头动力学方程进行Matlab编程，程序的主要语句如下 ：hlltrace(diff(T10，A1) J1 diff((T10)，A1))trace(diff(T20，A1) J2 diff(T20)，A1))trace(diff(T30，Al) J3 diff((T30)，A1))；h12trace(diff(T20，A1) J2 dif((T20)，A2))trace(dif(T30，A1)J3dif((T30)，A2))：h13trace(clif(T30，A1) J3 diff((T30)，A3))；h21trace(diff(T20，A2) J2 diif((T20)，A1))咖ce(dif(T30，A2) J3diff((T30)，A1))；h22trace(diif(T20，A2) J2 diff((T20)，A2))trace(diff(T30，A2) J3diff((T30)，A2))；h23trace(dif(T30，A2) J3 elif((T30)，A3))；h31trace(dif(T30，A3) J3 diff((T30)，A1))；h32trace(diff(T30，A3) J3 diff((T30)，A2))；h33trace(dif(T30，A3) J3 diff(T30)，A3))；c111，2 (dif(hll，A1) nldiff(hl1，A2) n2dif(hl1，A3) n3)；c121/2 ((diff(h12，A1)diff(hl 1，A2)-diff(h21，A1)) nl(diff(h12，A2)diff(h12，A2)-diff(h22，A1)) n2(diff(h12，A3)dif(hl3，A2)-diff(h23，-A1)) n3)；c131/2 ((dif(h13，A1)dif(h11，A3)-dif(h31，A1) nl(dif(hl3，A2)dif(hl2，A3)-dif(h32，A1)) n2(dif(hl3，A3)dif(hl3，A3)-dif0a33，A1)) n3)；c211/2 ((dif(h21，A1)dif(h21，A1)-dif(h11，A2) nl(diif(h21，A2)dif(h22，A1)-dif(hl2，A2) n2(dif(h21，A3)dif(h23，A1)-dif(h13，A2)) n3；c221/2 (dif(h22，A1) nldif(h22，A2) n2dif(h22，A3) n3)；c231/2 ((diif(h23，A1)dif(h21，A3)-dif(h31，A2)nl(dif(h23， A2 )aiff022， A3 )-dif(h32，A2 )) n2(dif(h23，A3)diff(h23，A3)-dif(h33，A2)) n3)；c311/2 (diff(h31，A1)砌 ff(h31，A1)-dif(hl1，A3) n1(dif(h31，A2)dif(h32，A1)-dif(hl2，A3)) n2(dif(h31，A3)dif(h33，A1)-dif(hl3，A3)) n3)；c321/2 ((dif(h32，A1)dif(h31，A2)-dif(h21，A3) nl(dif(h32，A2)dif(h32，A2)-clif(h22，A3) n2(dif(h32，A3)dif(h33，A2)-dif(h23，A3)) n3)：c331/2 (dif(h33，A1) nldiff(h33，A2) n2 ff(h33，A3) n3)；glml gt diff(T10，A1) rclm2 gt diff(T20，A1)rc2m3 gt dif(T30，A1) rc3；g2ml gt diff(T10，A2) rc1m2 gt diff(T20，A2)rc2m3 gt dif(T30，A2) rc3；g3ml gt dif(T10，A3) rclm2 gt diff(T20，A3)rc2m3 gt dif(T30.A31 rc3；Flhl l qlh12 q2h13 q3h14 q4cl 1 n1c12 n2c13n3c14 n4glF2h21 q1h22 q2h23 q3h24 q4c21 n1c22 n2c23n3c24 n4g2F3h31 qlh32 q2h33 q3h34 q4c31 n1c32 n2c33n3c34 n4g3代入各轴预定转角和相关参数，自动求解可得铣头各轴在两组预定姿态下的转矩值如下：1) r11238.7Ⅳ.mm，T口6.394x10 Nmm，第35卷 第8期 2013-08(下) [1231 l 訇 似，c 2.004x10 N ·mm；2)17 r297.2N .mm ， 百 1.675x10 N mm，，c 1.92310 N -mm ；3 铣头动力学仿真在Solidworks软件中将各轴零部件进行组合，形成-个整体零件，再将三轴的组合体与铣头滑枕组合体装配，为了仿真软件Adams前处理 方便，将三维模型中的小零件省略，如轴承、挡圈、螺钉、螺母等。最后将装配体保存为.X-t格式后导入到Adams/View软件中，设定铣头各部分的参数，定义旋转副，并在各转轴上加电机驱动 ，前处理完成后的铣头Adams模型如图3所示。更改驱动参数后对铣头进行动力学仿真。再将仿真过程进行后处理，调出铣头仿真曲线以及各轴当前值。为了更直观的观察，将预设位姿的当前转矩值与运动过程的转矩曲线对比列出，后处理结果如图4、5所示。三个小曲线图对应大图中的MOTION1、MOTION2、和MOTION3，分别表示铣头C轴、B轴和A轴的转矩曲线，curent值表示各轴在预定位姿处的当前值。

由图中当前值可以看出各轴转矩在预定位姿处的转矩值分别如下：1) c1326N·mm ， tB6.562x10 N·mm ， 1.85710 N ·mm ；2)Tc314.5Ⅳ·mm ， 1.595x10 N-mm ， 1.842x10 N ·mm ；将以上仿真值与Matlab计算值进行对比，由于Adams模型简化以及Matlab结算结果的化简，各轴在预定位姿处的当前转矩值均存在-定误差，但都在理论误差许可范围之内。且各轴转矩曲线与实际计算验证趋势相符。

4 结论为了解决传统五轴双摆数控机床的 极性问题”，缩短刀具调整时间，改善加工表面质量并提高刀具寿命，设计了-种具有三个旋转自由度的数控铣头。用SolidWorks软件完成该铣头的结构设计与建模之后，列出运动学方程。为了方便铣头的动力传动系统、控制系统设计及动态仿真，对铣头进行了动力学计算与验证。

首先采用Lagrange法建立该数控铣头的动力学方程，再用Matlab语言依据动力学方程编写程序，并计算出两组预定位姿所对应的各轴转矩。

[1241 第35卷 第8期 2013-08(下) 图3 铣头Adams模型图4 各轴在第-组转角下的转矩曲线及当前转矩值图图5 各轴在第二组转角下的转矩曲线及当前转矩值再将铣头三维模型进行简化处理后导入到Adams软件中，设置好仿真参数和预定旋转角之后进行动力学仿真～Matlab计算结果与Adams仿真曲线进行对比，Matlab计算结果与Adams仿真曲线基本-致，各轴转矩曲线也与实际运动过程的转矩变化趋势相符。计算与仿真结果表明：铣头结构方案可行，动力学方程推导正确。