基于有限元法的抛物线拱结构弹塑性稳定性分析

Elasto-Plastic Stability Analysis of Parabolic Arch StructureBased on Finite Element MethodGUO Jun-cai，YU Lan-ng，ZHU Xiao-long，WEN Guang，YU Han-xiang，LI Shao-peng(School of Mechanical Engineering，Southwest Jiaotong Univeity，Sichuan Chengdu 610031，China)Abstract：It presents the study on in-plane and out-plane stability capacity ofparabolic arch subjected to radial uiform loadand concentrated lout by employing elastic plastic large displacement finite element analysis.The in-plane bucklingload -displacement equilibrium paths and out-of-plane buckling load -displement equilibrium path is theoreticallyinvestigated by usingfinite element approach in canjunction with the arc-length method.The law ofelastic-plastic buckling ofparabolic(IFCh structure is analyzed under diferent rise-span rios and supporting conditions，considering the influence ofvarious foz'tors，such∞ material nonlinearity and initial geometric impe咖ction.The comparative studies of in-planesecondary bifurcation buckling load，OUt-0，。-plane secoudwy bifurcation buckling load and n- c primary buckling load ofparabolic arch with Same sections and diferent rise-.span ratios are carried out，and the resultl，provides basis for the study ofthe structural instatility problems。

Key Words：Spatial Arch Structure；Finite Element Method；Elasto-Plastic Buckling；Arealength Method；SecondaryBifurcation Buckling ll LJ I石拱结构是-种受力合理的结构形式。与弯剪结构相比，拱结构具有跨度大、承载力高、截面尺寸孝变形小的优点，因此拱结构在土木 、机械和宁航1 程等领域应用广泛。但随着跨度的不断增大，拱截面尺寸也越来越大、形状也更加复杂多样，拱设计得是否合理，直接影响着拱的承载能力、稳定性和自重，因此，合理地设计出具有足够强度、刚度和稳定性且重量又轻的拱有着非常重要的意义。钢拱的稳定性是影响钢拱安全的主要因素 。

钢拱与直杆构件相比，其稳定性能影响因素众多，并有多种失稳形式，如弹性分支失稳、二次分又失稳 、极限点失稳等。特别是钢拱的平面外失稳，较平面内失稳更加复杂，涉及到弯曲、扭转 、翘曲的相互影响与耦合，给钢拱稳定问题的研究带来较大的难度 。

目前已有对圆管截面及工字型截面拱结构的弹塑性屈曲分析 ，针对倒梯形截面拱结构的稳定性问题进行研究。

2塑性力学的有限元法应用有限单元法计算塑性力学问题，最后归结为求解单元集合体的节点平衡方程组[61： 。

[K]占ttR (1)式中：占-各节点的位移；R-作用在结点上的载荷；[ ]-整体刚度矩阵。

[ -由各单元刚度矩阵[ ]集合而成的，[ ]的算式如下：[k] [ [D] [B]tdxdy (2)式中：[B]-应变矩阵；[D] -弹塑性矩阵。

[tT]的算式如下：来稿日期：2012-09-14基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助(2010ZT03)作者简介：郭俊材，(1986-)，男，四川人， 读硕士研究生 ，主要研究方向：结构设计及优化于兰峰，(964-)，女，教授，硕士生导师，主要研究方向：现代设计方法及理论2l4 郭俊材等：基于有限元法的抛物线拱结构弹塑性稳定性分析 第7期6I ED] (3)式中：[D] ～弹塑性矩阵，其中各元素都不是常量而与应力状态或应变状态有关。

3弧长法理论计算过程弧长法是-种把荷载水平看成-个变量，通过同时结束荷载水平和位移向量来达到对非线性问题求解的-种方法∩以简化 为：[K AuA - (4)式中：[K ]-切线刚度矩阵；△u-位移增量； -外部载荷向量； -内部力向量；A-载荷因子(-l

图 1弧长法的收敛过程Fig.1 Convergence Process of Arc-Length Method其具体步骤如下：(1)以增量形式逐渐施加载荷；(2)在每-载荷增量中完成平衡迭代来使增量求解达至]。.z. -；(3)求解平衡方程；(4)进行迭代，直到A - 在允许的范围内。

4计算与分析大挠度弹塑性有限元法能够比较准确地计算拱形钢结构的稳定承载力，但不引入缺陷，则结构对称荷载对称时，不能得到正确的极限荷载。因此应通过模型更新引入缺陷，从而获得正确的极限荷载。初始几何缺陷采用-致缺陷法施加，初始缺陷柔构跨度的L/300。

2I2： - lO图2拱结构截面尺寸图Fig.2 Cross-Section Dimension of Arch Structure分别对两铰拱和无铰拱在跨中集中荷载和全跨径向均布荷载作用下进行弹塑性分析。计算的模型为抛物线倒梯形截面拱，计算跨度为L50，截面尺寸，如图2所示。材料特性为：材料密度p7850kg/m ，泊松比/z--0.3，弹性模量E2.1e”Pa。材料为理想弹塑性材料，设计强度为 235MPa。

4.1跨中集中荷载作用下拱的弹塑性分析抛物线拱在跨中集中荷载作用下的承载力，如图3、图4所示。在矢跨比 (0.10～0.25)范围内，两铰拱和无铰拱的极限承载力随着矢跨比的增加逐渐增大，在矢跨比y(0.25～0.50)范围内，两铰拱和无铰拱的极限承载力随着矢跨比的增加逐渐减小，矢跨比为o.25时两铰拱的极限承载力最大。在不同的矢跨比范围内，两铰拱和无铰拱的平面内二次分叉屈曲荷载均小于平面外二次分又屈曲荷载 ，平面内极限点屈曲荷载最大；无铰拱的平面内二次分又屈曲荷载、平面t-z.次分叉屈曲荷载和平面内极限点屈曲荷载均大于两铰拱，说明在跨中集中荷载作用下无铰拱的极限承载力大于两铰拱的极限承载力。

图3跨中集中荷载作用下不同矢跨比两铰拱的极限承载力Fig3 Ultimate Load Carrying Capacity of two-HingedArch Under Concentrated Load矢跨比图4跨中集中荷载作用下不同矢跨比无铰拱的极限承载力Fig.4 Ultimate Load Carrying Capacity of HingelessArch Under Concentrated Load图5两铰拱的荷载位移曲线Fig.5 Lo ad-Displacement Curve of two-Hinged ArchNo.7July.2013 机械 设 计 与制 造 215图6无铰拱的荷载位移曲线Fig.6 Load-Displacement Curve of Hingeless Arch矢跨比r-0.2s时平面内、外二次分叉屈曲路径图，如图5、图6所示。由图可得，两铰拱和无铰拱在跨中集中荷载作用下，随着荷载不断增大，弹塑I生拱在达到承载力极限后，承载力急剧下降，这是因为在平面内及平面外变形共同作用下拱结构进人了塑性状态。

4.2全跨径向均布荷载弹塑性分析抛物线拱在全跨径向均布荷载作用下的承载力，如图7、图8所示 ，在矢跨比y0.10～0.20范围内，极限承载力随着矢跨比的增加逐渐增大(平面内极限点屈曲荷载除外)，在矢跨比 0.20～0.50范围内，极限承载力随着矢跨比的增加逐渐减小，矢跨比0.20时两铰拱的极限承载力最大。随着矢跨比的增大，平面外二次分叉屈曲荷载、平面内二次分叉屈曲荷载和平面内极限点屈曲荷载的值逐渐接近。在全跨径向均布荷载作用下，无铰拱的极限承载力大于两铰拱的极限承载力。在不同的矢跨比范围内，两铰拱平面内二次分叉屈曲荷载小于平面内极限点屈曲荷载，平面外二次分叉屈曲荷载最大；无铰拱平面外二次分叉屈曲荷载小于平面内二次分叉屈曲荷载，平面内极限点屈曲荷载最大。

罢Z 挺铺霍哩图7均布径向荷载作用下不同矢跨比两铰拱的屈曲荷载Fig.7 Ultimate Load Carrying Capacity of two-HingedArch Under Radial Unifo1711 Load0 0，1 0.2 0-3 0.4 0.5矢跨比图 8均布径向荷载作用下不同矢跨比无铰拱的屈曲荷载Fig.8 Ultimate Load Carying Capacity of Hingeless ArchUnder Radial Uniform LoadZ 坦辐位移(m)(b)图9两铰拱的荷载位移曲线Fig.9 Lo ad-Displacement Curve of two-Hinged ArchZ 握辐- Z 控铺xl o4位移(m)(a)位移(m)(b)图 10无铰拱的荷载位移曲线Fig.10 Load-Displacement Curve of Hingeless Arch2l6 机械 设 计 与制 造No.7July.2013矢跨比y-O.20时平面内、外二次分又屈曲路径图，如图9、图 10所示。矢跨比 0.20的两铰拱和无铰拱在全跨径向均布荷载作用下，随着荷载不断增大，弹塑性拱在达到极限承载力后，承载力急剧下降，这与跨中集中荷载作用下的情况-样，均由于在平面内和平面外变形共同作用下拱结构进入了塑性状态，导致承载力急剧下降。两铰拱的平面外极限承载力大于平面内极限承载力。无铰拱的平面外极限承载力小于平面内极限承载力。

5结论(1)矢跨比的变化对不同支承情况的抛物线拱在平面内、外的稳定性有较大影响，无铰拱平面内、外的稳定性优于两铰拱。

(2)截面尺寸相同时，当矢跨比为0.25时，跨中集中荷载作用下弹塑性倒梯形截面抛物线拱的稳定承载力最优；当矢跨比为 0.20时，全跨径向均布荷载作用下拱的稳定承载力最优。(3)在相同矢跨比和截面尺寸条件下，当跨中集合荷载作用时，平面内二次分又屈曲荷载小于平面外二次分叉屈曲荷载；当全跨径向均布荷载作用时，两铰抛物线拱平面内二次分叉屈曲荷载小于平面外二次分叉屈曲荷载，无铰抛物线拱平面内二次分叉屈曲荷载大于平面外二次分叉屈曲荷载。(4)对抛物线拱的平面内、外稳定生分析提供了-种有效的思路，其结果为抛物线拱结构失稳问题的研究提供了依据。