基于有限元法的抛物线拱稳定性及动力学分析

拱结构是-种受力合理的结构形式。与弯剪结构相比，拱结构具有跨度大、承载力高、截面尺寸孝变形小的优点，因此拱结构在土木、机械和宇航工程等领域应用广泛。但随着跨度的不断增大，拱截面尺寸也越来越大、形状也更加复杂多样，拱设计得是否合理 ，直接影响着拱的承载能力、稳定性和 自重，因此，合理地设计出具有足够强度、刚度和稳定性且重量又轻的拱有着非常重要的意义。钢拱的稳定性是影响钢拱安全的主要因素啪。

钢拱与直杆构件相比，其稳定性能影响因素众多，并有多种失稳形式，如弹性分支失稳、二次分叉失稳、极限点失稳等。特别是钢拱的平面外失稳，较平面内失稳更加复杂，涉及到弯曲、扭转、翘曲的相互影响与耦合，给钢拱稳定问题的研究带来较大的难度121。

指在利用有限元法研究固支拱的平面外弹塑性稳定性能和动力学性能，分析各个参数对平面外稳定陛的影响。

2塑性力学的有限元法应用有限单元法计算塑性力学问题，最后归结为求解单元集合体的节点平衡方程组I31：[K]6R (1)式中：6-各节点的位移；R-作用在结点上的载荷；[K]-整体刚度矩阵。

[K]是由各单元刚度矩阵[ ]集合而成的，的算式如下：[Jj]4[ ] [D] [B]tdxdy (2)式中：[ -应变矩阵；[D1 。-弹塑性矩阵。

[ ]的算式如下：6l-[D] s (3)式中：[D] -弹塑性矩阵，其中各元素都不是常量而与应力状态或应变状态有关。

3弧长法理论计算过程弧长法是-种把荷载水平看成-个变量，通过同时结束荷载水平和位移向量来达到对非线性问题求解的-种方法[41∩以简化 为：[K ]IAu-A -1 (4)来稿日期：2012-08-10基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助(2010ZT03)作者简介：郭俊材，(1986-)，男，四川人，在读硕士研究生，主要研究方向：结构设计及优化；于兰峰，(1964-)，女，山东人，教授，硕士生导师，主要研究方向：现代设计方法及理论第6期 郭俊材等：基于有限元法的抛物线拱稳定性及动力学分析 73式中：[ ]-切线刚度矩阵；Au-位移增量；F -外部载荷向量；F f-内部力向量；A-载荷因子(-I

A0 u 第n子步收敛解图 l弧长法的收敛过程Fig.1 Convergence Process of Arc，-Length Method其具体步骤如下 ：(1)以增量形式逐渐施加载荷；(2)在每-载荷增量中完成平衡迭代来使增量求解达到平衡；(3)求解平衡方程；(4)进行迭代，直到A H 在允许的范围内。

4计算与分析对固支拱在跨中集中荷载和全跨竖向均布荷载作用下进行弹塑性分析。计算的模型为抛物线倒梯形截面拱，截面尺寸，如图2所示。材料特性为：材料密度p7850kg/m3，泊松ix0.3，弹性模量 E2.1e"Pa。材料为理想弹塑性材料，设计强度为 235MPa。

图2拱结构截面尺寸图Fig.2 Cross-Section Dimension of Arch Structure4.1几何初始缺陷的影响大挠度弹塑性有限元法能够比较准确地计算拱形钢结构的稳定承载力，但不引入缺陷，则结构对称荷载对称时，不能得到正确的极限荷载。因此应通过模型更新引入缺陷，从而获得正确的极限荷载。初始几何缺陷睬 用-致缺陷法施加，平面外初始几何缺陷最大幅值分别取为S/250、S/500、S/IO00(S为抛物线拱轴线长度的-半)。初始缺陷对竖向均匀受压抛物线固支拱平面外稳定承载力的影响，如图3所示。由图 3可知，几何缺陷对其稳定性有着显著的影响。

位移(m)图3初始几何缺陷对拱结构稳定性的影响Fig.3 Effect of Initial Geometric Imperfectionon Stability of Arch Structure4-2几何参数的影响固支拱竖向均布荷载位移曲线，如图4所示。由图4可知，在竖向均部荷载作用下的抛物线拱，矢跨E 撒 白勺面夕 绽 着比较显著的影响，在矢跨比T-(IlO-020)范围内，极限承载力随着矢跨比的增加逐渐增大，在矢跨比 o20-o6o)范围内，极限承载力随着矢跨比的增加逐渐减小，矢跨比为Q20时两铰拱的圾限承载力最大。固支拱跨中集中荷载位移曲线，如图5所示。由图5可知，在跨中集中荷载作盯F的抛物线拱，矢跨比对抛物线拱的面外稳定同样有着比较显著的影响，在矢跨比 Q1 Q25)范围内，极限承载力随着矢跨比的增加i 增大，在矢跨比 025Q50)范围内，极限 沩随着矢跨比的增加逐渐减小，矢跨比为0.25时两铰拱的极限承载力最大。

Z 罐握o o.5 1 1.5 2 2.5位移(n1)图4固支拱竖向均布荷载位移曲线Fig.4 Vertical Uniform Load-Displacement Curve of Fixed Arch43.53， 、2.5Z 2：超1.510.500 0-2 0.4 0.6 0.8 l 1.2位移(m)图 5固支拱跨中集中荷载位移曲线Fig.5 Concentrated Load-Displacement Curveof Midspan of Fixed Arch74 机械设计与制造No.6June.20134.3瞬态动力学分析瞬态动力学分析(亦称时间历程分析)是用于确定承受任意的随时间变化载荷结构的动力学响应的-种方法f)]∩以用瞬态动力学分析确定结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下随时间变化的位移、应变、应力及力。载荷和时间的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要[81。

进行瞬态动力学分析是为了与静力作用下跨中的位移值进行对比研究，对突加荷载及突卸荷载两种情况进行瞬态动力学分析。完全法采用完整的系统矩阵计算瞬态响应，在三种方法中功能最强，所以采用完全法进行计算。

在钢拱的跨中突加-集中荷载，分析突加荷载后钢拱的瞬态响应，其中矢跨比从(O.1-o.5)覆盖扁拱到深拱。钢拱竖向位移变形量，如图 6所示。在矢跨比 (0.1O-o.20)范围内，跨中竖向变形量随着矢跨比的增加逐渐减小，在矢跨比 (0.20 0.50)范围内，跨中竖向变形量随着矢跨比的增加逐渐增大，矢跨比为O.20时跨中竖向变形量最校这说明在钢拱的跨中突加-相同集中荷载的情况下，扁拱和深拱的竖向变形量偏大。

O9T 0.8删嚣0.60.5o.1 o.2 0.3 0.4 O.5矢跨比图6跨中集中荷载作用下不同矢跨比跨中竖向变形量Fig.6 Vertical Deformation of Midspan of Archunder Concentrated Load跨中竖向位移时程曲线，如图 7所示。由图7可知，对于跨中集中荷载作用下矢跨比0.2的拱，分别分析突加荷载作用和突卸荷载作用，可得突加荷载对钢拱竖向变形量影响比突卸荷载大。

0.4昌 0.2卿§ o旧 - 0.2菇040 0.2 0.4 0.6 0.8 1时间(s)图7跨中竖向位移时程曲线Fig.7 Vertical Displacement-Time Cu nre of Midspan of Arch5结论(1)采用弧长法对抛物线倒梯形拱进行非线性屈曲分析，获得了较理想的屈曲全过程分析曲线( 曲线)，并且得到了不同矢跨比拱结构的极限承载力。

(2)采用完全法对抛物线倒梯形拱进行瞬态动力学分析，获得了比较理想的跨中竖向位移时程曲线，并且得到了突加荷载和突卸荷载对钢拱的影响情况。说明了在钢拱的跨中突加-相同集中荷载的情况下，扁拱和深拱的竖向变形量偏大。

(3)对抛物线拱的稳定性分析和瞬态动力学分析提供了-种有效的思路，其结果为抛物线结构失稳问题的研究提供了依据。