转子故障特征数据分类的KPCA―BFDA方法

旋转机械的状态监测系统是-类时刻产生大量监测信息的机械装备。随着多通道监测技术的广泛应用，传统的信号处理方法难以满足全面描述转子运行状态的需求；因此，研究由多通道信号构建故障数据集对智能诊断技术的发展具有积极的促进作用。Sch61kopf等口 提出的KPCA法是目前应用广泛的数据集降维方法之-，但其作为非监督式学习方法，对数据集降维的特点仅为最大化表征原始数据集的方差特性 ]，未充分考虑不同类别子集间的分离程度，因而影响了数据分类的准确性。FDA法是- 种通过数据集降维，使得不同类别数据子集问分离程度最大化，进而实施线性分类的方法，但其等同考虑两类数据离散度的重要性，计算复杂度较高。若能将FDA法改进为偏重分析-类数据离散度，进而降低原始算法复杂度的形式，并将该形式与KPCA法相结合，则能为旋转机械故障特征数据集降维，从而提高特征数据的分类能力。

本研究以转子系统典型故障振动信号构建的故障特征数据集为研究对象，对BFDA法的构造及其与KPCA法的结合实现进行探讨，为提高识别转子系统故障类别的能力提供参考依据。

1 基本概念1.1 核主成分分析(KPCA)法KPCA法是借助-种非线性映射函数 ，将数据集 X(x∈RⅣ)投影至-个高维特征空间 F- ( )： ∈R )后，进行主成分分析的方法。实现该方法的关键步骤是求解能够最大化表征原始数据集各特征方差特性的投影方向y，其计算式 为AV - (1)其中：c为矩阵 ( )的协方差矩阵； 为特征值。

可得出原始数据在y方向的投影D-s]计算式为(y (z))- > ( (z ) (z)) (2)f 1其中： 为相关系数； (z)为特征空间中的样本。

1.2 费歇判别分析(FDA)法FDA法是通过-种借助线性映射关系将高维空间中的数据集投影至低维空间后，进行线性分类的方法。在仅考虑两类数据分类问题的情形下，实现该方法的关键是获取最大化两类数据差异性的投影方向，其计算方法为求解使式(3)中的J(口)值达到极大值的向量 国家自然科学基金资助项 目(50875118，51165019)；甘肃侍育厅硕导基金资助项 目(0903-11)收稿日期：2011-1 2-29；修改稿收到日期：2012-03-O1第 2期 马再超，等：转子故障特征数据分类的KPCA-BFDA方法 193( )(aTSB口)/(口TSⅣ口) (3)其中：s 为类间离散度矩阵；JS 为类内离散度矩阵。

原空间数据在 方向投影的计算式 为a( )- 口 (4)其中：X为原空间数据。

1.3 两类数据的线性分类法设m 为第i类数据X -zi，z ，，X ii-1，2)的均值向量，其计算式为mf丁1∑ i (5)- 1得到第i类数据在 方向的投影 为Ufumf (6)其中： 为已确定的数据投影方向。

因此，将判别两类数据的条件定义为两类数据在 方向投影的算数平均值： ( 1 2)/2 (7)因此，未知样本Y的判别规则[6]如下：设 ≤ ，若 ≤ ，则 属于第1类；否则Y属于第2类。

2 KPCA-BFDA数据降维与分类算法设计2.1 偏费歇判别分析(BFDA)法参考BDA法 ，BFDA法是在不改变类间离散度矩阵的基础上，用样本较多类数据的离散度矩阵代替类内离散度矩阵的方法。相对于FDA法，该方法计算投影方向的过程更简洁，且得到的投影方向具有以最大化样本较多类数据集中程度的方式，达到最大化两类数据差异性效果的特点。

数据集的类间离散度矩阵 的计算方法为SB- (m1- m2)(m1- m2) (8)其中：m ，m。分别为两类数据样本的算术平均值。

数据集的类内离散度矩阵JSⅣ的计算方法为2 S -∑∑( ；-m )( -m ) (9)f 1 l其中 为第i类数据的样本数量； 为原空间数据。

令SⅣ1- ( - m1)( - m1) (1o)l 1其中： 代表较多的样本数量。

求解使式(12)中的J( )值达到极大值的向量卢，即为最大化两类数据差异性的投影方向( )- (fiTSe )/(fiTS ) (11)得到原空间数据在 方向投影的计算方法为fl(x)- (12)2.2 KPCA和BFDA法的降维组合设计1)按照式(2)对数据集在 方向进行投影变换，选壬用特征，组成-次降维数据集；2)按照式(12)对-次降维数据集在卢方向投影变换，选壬用特征，组成二次降维数据集，即为KPCA-BFDA法的降维结果。

定义KPCA-BFDA法的特征值贡献率和累计率计算方法如下：设步骤1中，选取特征的总累计贡献率以以表示，步骤2中，所有特征值以r。，r ，，表示，则任意特征值Z"k的贡献率 的计算式为- (rk/∑Z"i)以 (13)式 (13)描述了特征 k所含信息 占总信息的份额。

选取的前 个特征的贡献率之和称为累计率，记为 ，其计算式为n -(∑r，/∑ri)A (14)式(14)表明了前 个特征能够提供原始数据集中所含信息的能力。

应用KPCA-BFDA法实施数据集降维时，选取的前 ( <，z)个特征，其累计率达到8O%以上即可。

2.3 核的确定2.3.1 核函数的选择按照目前应用最为成熟的核函数 u 并结合本研究的实际应用情况，选择高斯核函数为K(xf，Y，)-exp(- I zf-Y /2a ) (15)2.3.2 核参数的求解参考基于费歇准则的粒子群优化方案[89]，本研究提出以偏费歇准则建立粒子群优化算法的目标函数，实施高斯核函数中参数 的自动寻优方法。

样本数较多的数据子集在高维特征空间中的类内离散度的平方为1 1 1s刍-∑k(x∽ )- ∑ ∑k(x" )i- 1 ” 1 f 1 1(16)两类数据在特征空间中的类间离散度平方为11 1 1 n2- 去 k ∽%)- k(Xli，T2j)1 2 2去∑∑k(x。 。 ) (17)194 振 动、测 试 与 诊 断 第33卷所建立的目标函数为( )- /st (18)其中：0为目标函数 ( )的极小值点。

2.4 线性分类器结构设计针对本研究中多类数据的分类问题，可采用-对多分类方法[12-13]，并将其拓展为适用于识别转子系统各类典型故障的分类器结构，如图1所示。

图1 线性多分类器建立对应，z种类型的 个两类分类器，将这些分类器按图1所示的二叉树形式组合，从而得到1个可以分离 种数据类型的多分类器。当测试样本输入到此多分类器时，若经过第 1个分类器的判别结果为类型 1，则此次判别过程结束，否则送人第2个分类器继续判别。依此类推，直到第，z个分类器，若仍未得出类型 的判别结果，则测试样本属于其他数据类型，从而可解决多类数据的分类问题。

2.5 故障诊断流程设计本研究规划的转子系统故障诊断流程如图2所示。整个过程的实施步骤如下 ：1)采集转子系统典型故障的振动信号；2)提取振动信号特征，建立故障特征数据集；3)将故障特征数据集划分成训练集和测试集；4)针对各二分类问题，确定对应的核函数；5)运用KPCA-BFDA法对故障特征数据集进行降维分析；6)将训练集降维结果按照两类数据的线性分图2 转子系统故障诊断流程图类法设计图1所示的线性多分类器；7)将测试集 降维结果输入多分类器，得 出结论。

3 应用情况分析首先，采用实例数据集验证BFDA法；然后，采用转子实验台振动信号验证KPCA-BFDA。

3.1 BFDA法的实例降维采用的实例数据集参见文献[6]。分别应用BF-DA法和FDA法对实例数据集进行降维分析，降维后不同类别数据子集的分离效果如图3所示。表1列出了实例数据集中样本回报的判别准确程度。

整体比较图 3可见，指定类数据(图中标记为 ”)在图3(a)中表现出的结构比在图3(b)中的结构更为紧致，且图中不同类别数据的分离程度都非常显著，说明BFDA法更趋向于以提高指定类别数据集中程度的方式，实现不同类别数据的分离。

由表1可见，BFDA法对应的回归结果中，I类错判数为2，II类错判数为1，这与FDA法对应的回判结果差别不大，且两种算法对应的总判错数均为3，由此验证了图3显示的数据可分性效果。

表1 两种方法判别准确程度对比总错判数x第1特征(a)BFDA分离效果第1特征(b)FDA分离效果图3 实例数据集降维效果图第 2期 马再超，等 ：转子故障特征数据分类的KPCA-BFDA方法3.2 KPCA-BFDA法的故障特征数据集降维与分类首先，在文献[-12]所示转子实验台进行升降速实验，采集转子动静碰摩、质量不平衡、支座松动、轴系不对中及正常这 5种转子运行状态的振动信号；然后，按图2所示流程的步骤2，计算1～12通道每次采样的振动峰峰值、振动最大值和振动均方根值，共36个特征。取5种转子运行状态的样本数各80，样本总数为400，建立故障特征数据集，如表2所示。

表2 故障特征数据集 m由表 2可看 出，不同运行状态对应的同-特征表现出数值区间严重重叠的现象。如通道1峰峰值中的碰摩故障区间(109.86～139.57 m)包含了不平衡故障区间(110.87～117.19 m)，故仅简单地将测试信号的特征提柔果和表2进行对比来决策故障，则可能造成错判，甚至无法判别。

3.3 故障特征数据集的降维按照图2所示流程的步骤3～5，首先，将故障特征数据集中各子类的1～4O号样本组成训练集，41～ 8O号样本组成测试集；然后，参照文献[-12-]建立4种二分类问题，并确定各分类问题的核函数；最后，得出KPCA-BFDA法对故障特征数据集的降维分析结果。得出的最优核参数 及按照从大到小顺序排列的测试子集降维结果如表3所示。

表3 KPCA-BFDA法的最优核参数及无量纲降维结果- 0.006 O51- - 0.006 6040.O37 4480.036 882O.O58 618O.O15 1780.006 374 --0.024 090 0.009 493 --0.018 829由表 3可看出，不同分类问题对应的最优核参数 不同，因而产生了不同的投影方向。各投影方向对应的测试子集，其降维结果均为可分性较强的-维特征向量。以分类问题2为例，不平衡故障的特征值区间是-0.045 107～-0.024 749，而非不平衡状态的特征值区间是-0.024 090～0.000 210，两种区间未发生重叠，且分类问题3和分类问题4也表现出相同的差异性。分类问题 1中，仅不平衡、不对中和正常状态的最小值，即0.030 913，0.006 374和0.031 253同属于碰摩故障的区间(-0.049 634～0.031 732)内。故可以说明，采用KPCA-BFDA法对故障特征数据集降维的结果中，不同故障类别间的差异性可由无量纲数据的数值大小关系直接表现。

对比表 2中的数据可知，这种数值大小的差异性已经具备了分离不同类别故障数据的能力。

为进-步说 明KPCA-BFDA法 的优越性 ，列 出测试集降维过程中的特征值、贡献率和累计率，与测试集实施KPCA-FDA，KPCA降维法得到的以上3种指标进行对比，结果如表4所示。

由表 4可以发现，碰摩故障分类问题对应的测试子集经KPCA-BFDA法降维后，第 1特征的贡献率为86.O7 ，与KPCA-FDA法所对应第 1特征的贡献率相同，