功率双分支齿轮系统动力学特性研究

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第 17卷第 l0期2013年 10月船舶力学Journal of Ship MechanicsV01．17 No．10Oct．20l3文章编号 ：1007—7294(2013)10—1 176—09功率双分支齿轮系统动力学特性研究常乐浩，刘 更，周建星(西北工业大学 机电学院，西安 710072)摘要：文章介绍了功率双分支二级齿轮系统弯扭耦合动力学模型的建立过程，模型考虑了时变啮合刚度、滑动轴承油膜刚度、阻尼、随机轮齿误差和安装偏心误差等因素。通过研究系统固有频率和振型特点，发现系统的振动模式可分为扭转振动模式和横向振动模式两种形式。用傅里叶级数法对系统动力学方程进行了求解，得到了两级齿轮副的动态啮合力历程。考虑随机轮齿误差后，齿轮副在各啮合周期的动载荷会有所差异，更符合齿轮的实际制造情况。齿轮轴的安装偏心误差和两级问连接轴的刚度对系统的振动和均载性能都有较大影响。

关键词 ：功率分支；人字齿；动态特性；随机制造误差；安装误差中图分类号：THl13 文献标识码：A doi：10．3969~．issn．1007—7294．2013．10．01 1Research on dynamic characteristics 0fdual—branching gear systemCHANG Le-ho．o，LIU Geng,ZHOU Jian-xing(School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China)Abstract：A translational—rotational coupling dynamic model for a dual-branching gearbox with two stageswas established．The model considered the factors as the time—varying mesh stifness，the stiffness of oil filmof journal bearings，damping，random tooth elTOYS，assembling eccentric e／TOYS，and SO on．The vibrationmodes of the system could be categorized into rotational mode and translational mode by observing the nat—ural frequencies and the characteristics of mode shapes．The dynamic equations were solved using FourierSeries Method and the dynamic mesh forces on the gear pairs of the stages．The results show that the dy—namic mesh forces have a litle difference between each mesh cycle as the influence of the random tootherrors，which coincides with the manufacturing fact．The assembling errors of the gear shaft and the stiff-ness of connecting shaft between two stages have both great effect on the vibration and load sharing of thesystem.

Key words：power branching；he~ingbone gears；dynamic performance；random manufacturing error；assembling error1 引 言对于船舶齿轮传动系统，由于其输入功率大，齿轮精度高等特点，经常采用平行轴功率分支的齿轮传动系统Ⅲ。这种轮系将输入功率进行分流，相比单支传动而言，只需承担原载荷的二分之一或更少，因此能有效地提高轮系的承载能力。在现今直升机旋翼驱动系统中，平行轴功率分支的齿轮系统也逐渐得到推广f 】。图 1为一船用功率双分支人字齿轮增速系统的结构简图。

收稿 13期：2013—02—24作者简介：常乐浩(1987-)，男，西北工业大学博士研究生，E—mail：chlh0220###mail。nwpu．edu．cn；刘 更(1961一)，男，教授，博士生导师。

第 10期 常乐浩等：功率双分支齿轮系统动力学特性研究 1177国内外学者对功率双分支齿轮系统已进行了一些研究 ，但仍不能很好地满足工程需求。Rashidit41使用线性模型研究了带有平衡梁的功率分支齿轮传动系统的动力学特性，并研究了齿面摩擦、齿轮综合误差、齿轮啮合刚度等参数对系统响应的影响。KrantzIs-q对功率分支齿轮系统的均载特性进行了研究，并提出了均载的优化方法。Wolfi~对具有滑动轴承支撑的功率分支系统进行了分析，得到了不同轴承刚度下的轴承载荷及系统均载性能。杨振[81建立了某直升机旋翼驱动装置中的直齿功率双分支系统的扭转动力学模型，分析了不同系统参数对系统振动的影响。

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一 _一 I。 ， 、 。

^ ． 。r、 卜箱 一 一一级齿轮 ?一二缎
(b)图 1功率双分支增速系统简图Fig．1 The schematic diagram of dual-branchingspeed-increasing gear system本文建立了图 1所示的人字齿功率双分支齿轮系统的弯扭耦合动力学建模，求得了系统的固有频率，并总结了相应振型的特点。通过求解动力学方程得到了齿轮动态啮合力的时间历程和动载系数随转速变化的历程，同时分析了安装偏心误差和连接轴刚度对系统振动的影响。

2 系统动力学模型的建立由于齿轮形式为人字齿传动，在建立动力学模型时忽略各齿轮轴向振动，只考虑其横向和扭转振动。在不考虑齿面摩擦的情况下，单对人字齿轮副的相对振动位移模型如图2所示。图中下标 1表示主动轮，下标 2表示从动轮。

设振动位移分别为 1、 2、Y1、Y2"M1、 2，其中U1、为两齿轮在扭转方向的等效线位移，则沿啮合线方向的位移为l2=[X1sin~oi+，lcosq9f+ 】— 2sina-y2c0s —U2+e1sin(6 1t+ 1+ i)+e2sin( 2t+82+ i)l·COS 一e(t) (1)其中： 为基圆螺旋角，e ，e 2分别为轮 1和轮 2的安装偏心误差的矢径， ，oP2分别为轮 l和轮 2的安装偏心误差的相位角，e(t)为综合的齿频误差项，，，∞ 分别为轮 1和轮 2的转动角速度。 = 一 ，仅为啮合角， 为从动轮安装相位 ，对于如图 l(b)所示的双分支系统， 可分别取为0，1T。

对于整个齿轮系统，利用集中质量法进行动力学建模，将各滑动轴承的支承作用和啮合轮齿简化为弹簧。该系统可以简化为输入轴(in)、第一级中心轮(Z)、第一级分支齿轮(p ，P )、第二级分支齿轮(s ，s，)、第二级中心轮( )、输出轴(out)共8个集中质量。系统的动力学模型简图如图 3所示。限于篇幅，图中未给出各刚度对应的阻尼，同时各支承刚度均以kbi( f，P。，P：，s ，s ， )表示，每一项共包括 k ，k k汛， 四个分项。根据牛图2单对齿轮相对振动位移模型Fig．2 The relative displacement of a gear pair图3 系统动力学模型简图Fig．3 The dynamic model of the system1178 船舶力学 第 17卷第 10期顿第二定律，对每个构件的受力情况进行分析，可得系统的运动微分方程。

输入轴的运动微分方程为：m in
一 1+ f亟一立1_一Tin ri ＼ n r1／ri ＼r rl／r第一级中心轮的运动微分方程为：lxx 2~1"+ 4-Cl
xx
互l+Cl
xy f+ kml~lpi+Cml s 1sin 0Y一 lyxXl+ +Ctyx t+Ct
yyf+ kml6lpi3LCml c0s cos 0m
e + (后 +c )。c。s ，～ ( 一 )一 ( 一 ≯) 。

第一级分支轮的运动微分方程为：m + Ypi'4-Cpix互 +CpixyY’p 一 ( Cml8 )‘c。s~bl sin0【．=0X
pi### ypi'4"Cpiyx pi~Cpiy Yp 一 州 )。c。s t~b,cos 。=0一 【 i+Cml~i)‘c。s卢 + (等一 )+ ( 一等 ) 。

第二级分支轮的运动微分方程为：m
si十 +，+c 互 +C
sixy +( +c s )·c。sfib2sinct =0m
s+后 + +C
siyx+C
siyy +( ： +c J~COS~b2COS =om Upi"4( ： ih+Cm2~sih)‘c。s z一 ( 一U si)一 l_( 一等 ) 。

第二级中心轮的运动微分方程为：％ + + 岫 hxX‘h"}'Cbxy 一 ih31-c
m2
~’ 0h~Xh+ 互h+Ch~y 一 ih-}'c
m2~ )．cos ：cos 0一 2
( c c。s z+ 一 )+ 一鲁输出轴的运动微分方程为：r
outf
＼ rh )_ 一 Tout以上各式中：6 齿轮 i与齿轮 齿轮副在啮合线上的相对位移； ( =1，2)：第 i级齿轮副的基圆螺旋角； -( 1，2)：第 i级齿轮副的啮合角；kmi~Cmi( 1，2)：第 i级齿轮副的啮合刚度和阻尼； ， ，k ，，Cixx c ，。 ，c 【 =f’P1，P 2，sl，s2，h)：齿轮 i的轴承刚度和阻尼；0(i=in，1，P。，P 2，s ，s h，out)：构件 i的等效半径 ，当构件为齿轮时取为基圆半径，当构件为输入输出轴时，取为轴的等效回转半径；m =之( = l，p。，p s。，s ，h，。 )：构件 在扭转方向的等效质量，其中‘为构件的转动惯量。

第 10期 常乐浩等：功率双分支齿轮系统动力学特性研究 1179将各构件的运动微分方程整理为矩阵形式可得：MX+CX+KX=F(t) (8)式中： ，C，K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵(20x20)；M=diag(m。

，，
m z，m ‘‘ ，，m ，m eq,out)；X=(Uin~Xl Y ， ，?， ，y ，“ ，M ) 为系统的自由度列向量；F( )=Fo+△ +△ 为载荷激励列向量，由静载荷、时变啮合刚度产生的激励力和误差产生的激励力三部分组成。

3 影响动力学性能的参数计算3．1啮合刚度对于大螺旋角的人字齿而言，采用国标和经验公式计算的啮合刚度准确度会大大降低，只能采用有限元法进行计算。通过有限元法计算齿面啮合节点处的柔度系数 ，并组装成柔度矩阵，利用线性规划的方法求解齿轮变形协调方程，可以方便准确地求得斜齿轮和人字齿轮的啮合刚度变化 。表 1所示参数的两级齿轮副的单位齿宽啮合刚度变化曲线如图4所示，图中横坐标为啮合时间与啮合周期的比值。

可以看出，由于人字齿轮的大螺旋角，两级齿轮副的啮合刚度波动都较小，均为 7％左右。动力学方程中的啮合刚度 =2 ·B，日为人字齿单边齿宽。

3．2阻尼参数啮合阻尼按(9)式计算，==_———————————一 C
m
=
Z；Vk12／(1／m1+l／m2) (9) 图4两级人字齿轮的啮合刚度曲线Fig．4 The mesh stiffness of the two gear pairs其中： ：为齿轮啮合的平均啮合刚度；m 、m 为相互啮合的齿轮的等效质量； 为轮齿啮合的阻尼比，常用取值范围为 0．03-0．17，本文取 0．15。

结构件的扭转振动阻尼计算公式为，=■—————— ——一 c = V ／(1 +l／，2) (1 0)其中： 为两个结构件连接的扭转刚度； ，2为扭转刚度连接的两个结构件的转动惯量； 为结构阻尼比，常用取值范围为 0．005～0．075，本文取 0．O5。

3．3随机性的轮齿误差齿轮的制造误差种类较多，这里考虑由齿形误差和基节误差综合引起的齿频误差。假设在一个啮合周期中啮合偏差是以正弦函数的形式变化的，即e (t)：E sin(tot+~ ) (11)其中：巨为齿轮副沿啮合线方向的齿频误差幅值，砂 为误差的初相位，默认各齿轮误差的初相位相同，均为0。

随着重合度的增加，同时啮合的齿对数会增加，齿形误差的实际作用量会减小。取受重合度影响后的齿形误差值 为?]：A=A-Asi n( ‘号) (12)其中： 为按标准查得的齿形公差， 为重合度。

1180 船舶力学 第 17卷第 1O期由于同时考虑了基节误差和齿形误差，各误差分量的均值 和标准差or 按(13)式计算：，／zb=O， =等IZh= 1-~ fh，O-h：- (13)吩 tZ~+IZh， +其中：厶是按标准查得的基节公差，下标b表示基节误差，下标h表示齿形误差，下标／表示合成的误差。

假设齿轮回转一周过程中的啮合误差服从正态分布。从安全性的角度考虑，取均值it=／~f+l_3 ，(因为正态分布的置信区问取为 l_3时的概率达到了90％以上)。另外由于同批次生产的齿轮每一个轮齿的啮合误差的幅值波动很小，所以取o-=0． 。齿频误差的幅值E，从均值为 ，标准差为 的正态分布数字序列中随机产生。

4 傅里叶级数法求解动力学方程(8)式所示的微分方程组表达了一个参数自激系统。因为啮合刚度激励和误差激励都是周期性函数，可以将载荷激励 F(t)表示成以下形式：F(t)=Fo+AF(t)= ∑C~cosira t+Dpin／to (14)i=1由于本文建立的系统为线性系统，线性系统的稳态响应的频率等于激励频率，振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质和激励的频率及力的幅值。因此系统的响应可以表示为：(f) 。+ 0+∑【A~cos／to t+Bisin ]扛1△ ：∑f．-／to A pinia~ t+ia~i B COs ](15)(16)A／= 【一(ioJ ) 。 ￡一(ioJ ) in ] (17)将(14)-(17)式代入(8)式中可得：-△ ) (18)【K。 o=Fo令 ∞ =izo ，对于每一阶的 ，分别将相应阶下的响应和载荷激励的表达形式代入(18)式，可以得到如下的方程组 ：c l Ai)l_{ Ci2 m 1 (19)IO l c 肌 j }j
求解(19)式中的 和B ，代人(15)式即可获得系统的位移响应 (t)。

该算法可直接得到响应的稳态解，稳定性更好，尤其对于模型自由度数 目较多时，在计算时间上比数值积分的方法优势更加明显。

5 系统的动态性能分析算例系统的各参数如表 1所示。系统输人功率为2 000 kW，输出转速为50 000 r／min。

第 10期 常乐浩等：功率双分支齿轮系统动力学特性研究 l181表I 计算参数Tab．1 Parameters of the system齿 数 44 125 79 31模数(mm)螺旋角(。)单边齿宽(mm)扭转刚度 (N·rrdrad)质量 ( )转动惯量 (kgxmm )制造误差均值2．2522．76O 601．7524．540 40= lxlO9, =8．85x10s,k =6xlO=36．198；mpl=m：=12．332；％ l= 2=27．347；mh=4．534，m=17．43~10 ； =139．58×103；，Dl=Ipz=24．896x10 ； =1,2=208．588x10 ；lh=1．41 lxl0 ； =0．916~101=1．877 9 Izm； 1．885 8 Ixm5．1固有特性求解系统固有频率时，需要将时变的啮合刚度用其均值代替。系统的固有特性问题可转化为求解特征值问题：2= (20)式中： 为系统质量矩阵； 为系统的刚度矩阵； 为系统第 i阶固有频率 ；咖 为第 i阶振型。

求得系统的固有频率如表 2所示。

第一阶固有频率为 0表明系统存在着刚体位移。分析各阶振型的特征后，可将这些固有频率对应的模态分为两种振动形式：扭转振动模式和横向振动模式。

表 2 系统的固有频率和振型Tab．2 The natural frequencies and mode shapes阶数 ，(Hz) 类型 阶数 ，(Hz) 类型1 0 GM 11 2 674 RM2 169 RM 12 3 174 TM3 440 TM 13 3 368 RM4 441 RM 14 3 582 TM5 574 TM 15 4 517 TM6 827 TM 16 4 903 RM7 839 RM 17 5 056 TM8 1 l65 TM 18 35 388 TM9 1 307 RM 19 38 375 RM10 1 832 TM 20 40 890 RM注：GM一刚体模式；RM一扭转模式；TM一横向模式(1)扭转振动模式(Rotational Mode)：两级中心轮的横向振动位移为0，只存在扭转 自由度的振动，同时同一级的分支齿轮在各方向的振动位移是相同的；(2)横向振动模式(Translational Mode)：两级中心轮的扭转振动位移为 0，只存在横向自由度的振动，同时同一级的分支齿轮在各方向的振动位移是相反的。

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／(a)扭转振动模式 (b)横向振动模式图5 系统的振动模式Fig．5 Vibration modes of the system该系统共有9个扭转振动模式和 1O个横向振动模式。

5．2齿轮副的动载荷图 6给出了第一级中心轮(齿轮 Z)在转一圈时的动态啮合力时域历程，当图中横坐标为 1时代表该齿轮旋转一圈。从图中可以看出，由于考虑了齿轮的随机制造误差，各啮合周期的动态啮合力波动有一些差异，更符合齿轮加工的实际。

图7为动态啮合力作傅里叶变换后的频谱图。从图中可以看出，虽然考虑了齿轮随机的制造误差，但由于误差的频率没有改变，啮合频率仍然是激励的主要频率。图中在 0—5 000 Hz时出现的频率成分是由于误差的随机分布性而引起的。

5．3齿轮副的动载系数历程动载系数是指啮合动载荷最大值与静载荷的比值 ，可用下式表示：l182 船舶力学 第 17卷第 10期KD=等式中：Fm 为动载荷最大值， 为啮合静载荷。

图 6 第一级中心轮转一圈时的啮合力历程Fig．6 The time domain dynamic mesh force for thecenter gear of the first stage in one cycle(21)／ №／ l8】86 7Hz肌 ． I图 7 第一级 中心轮啮合力的频谱图Fig．7 The frequency domain dynamic mesh force forthe center gear of the first stage in one cycle两级齿轮副的动载系数随输出转速变化的历程 6如图 8所示 。可以看出同一级的两个齿轮副的动载系数曲线基本上是重合的。另外两级齿轮副分别在输出转速为 10 075 r／min和 2 200 r／rain附近时存在着共 d振区域。在此共振区域内，两级齿轮副所对应的动载系数会 明显增大。此时引起的两级啮合频率分别 3为 1 832 Hz和 1 136 Hz，这与系统的固有频率 1 832Hz和 1 165 Hz是非常接近的。因此 ，系统的第 1O阶 ‘和第 8阶模态是引起系统共振的主要模态，在选择工 .

况时要避开这两阶固有频率所对应的转速。

在给定工作输出转速为 50 000 r／rain时，两级齿轮副的动载系数仅为 1．082 5和 1．039 7，表明在该转速下系统的运行较为平稳。

5．4安装偏心误差对齿轮副动载荷的影响0 1 0000 20000 30000 40000 50000n0ut(r／min)图 8 齿轮副的动载系数历程Fig．8 The changing course of dynamic load factors为了考虑安装偏心误差对齿轮副动载荷的影响 ，取 四个齿轮的偏心误差均为 1 Ixm。由于安装误图9 考虑安装误差时第一级中心轮转一圈时的啮合力历程Fig．9 Th e time domain dynamic mesh force for the(~'enter gearof the first stage in one cycle considering assembling er—rors800600400200000800600400200O／ lH 9093 3Hz▲／l8j86 67Hz- ／_ ． ^ .

0 5000 l0000 15000 20000 25000 30000f(Hz)图 10 考虑安装误差时第一级 中心轮啮合力的频谱图Fig．10 The frequency domain dynamic mesh force for thecenter gear of the first stage in one cycle consid—ering assembling errors伽瑚 ㈣伽瑚。

一z第 10期 常乐浩等：功率双分支齿轮系统动力学特性研究 1183差相位的随机性，假设所有齿轮轴的安装误差相位均为0。取第一级中心轮旋转～圈时的动态啮合力历程，如图9所示，对应的频谱分析图见图 10。

对比图6中无安装误差的动态啮合力可以明显看出，随机制造误差主要对齿轮副在单个啮合周期的动载荷产生影响，而齿轮轴的安装误差主要对动载荷在长周期内的变化产生影响，最终的动载荷为二者的综合作用。考虑齿轮轴的安装误差后，动载系数从 1．15增加到 1．24，增加幅度为 7．83％。由于安装误差的存在，同一时刻两分支轮副的动载荷差异会明显增加。因此对齿轮系统而言，采用较高的安装对中度，可以减小安装误差对齿轮动态载荷的影响，提高两路分支的均载性能。

另外，从图 1O中对应的频谱关系可以看出，在 115．11 Hz和9 093．33 Hz处出现两个峰值，这分别对应了第一级中心轮轴的转频和该齿轮的啮合频率。

5．5连接轴扭转刚度对齿轮副动态响应的影响改变两级之间连接轴的扭转刚度，令其变化范围为 6~103-6X10“N·rdrad，不考虑安装误差时两级齿轮副动载系数随连接轴扭转刚度和转速的变化云图如图11～12所示。

通过对比可以发现，连接轴刚度对第一级齿轮副动载系数的影响程度要大于对第二级的影响。随着连接轴刚度的增加，两级齿轮副的之间的耦合影响会越来越明显，两级齿轮副的共振转速会由一个增加到多个。同时随着刚度的增加，第一级齿轮副中最高共振转速产生的位置也会逐渐增大，呈现带状分布。

0 5a。0 ’㈣ 15∞ 0耥 oo} 30O舯 350∞ 4,7000●5 50 S5。。0 I~0000H0． {[r／rain)爸写3~0 00 一4~000菇 面，b“l(r／m iI1)图 1 1连接轴刚度对第一级齿轮副动载系数的影响 图 12 连接轴刚度对第二级齿轮副动载系数的影响Fig．1 1 The dynamic load factor of first stage versus the Fig．12 The dynamic load factor of second stage versus thestifness of connecting shaft stiffness of connecting shaft图 11和图 12能够直观地反映连接轴刚度对系统振动的影响程度 。根据云图中所反映的振动规律可以方便地确定系统振动相对较小的区域，选择合理的工作转速和设计参数。图中带星号☆位置对应工作转速和原始连接轴刚度，可见取原始连接轴刚度时系统在工作转速下的振动较小。该类型云图可以扩展应用到其它设计参数的选择过程中。

6 结 论(1)建立了包含齿轮时变啮合刚度 、滑动轴承油膜刚度、阻尼、随机制造误差和安装误差等因素的动力学模型，并求得了系统的固有频率和各齿轮的动载荷历程。

(2)功率分支齿轮系统的振动模态可分为扭转振动模态和横向振动模态两种形式。

(3)文中考虑了轮齿误差的随机分布性，更加符合齿轮制造的实际情况。

(4)安装误差对齿轮在长周期内的动载荷波动有较大影响。减小安装偏心误差对提高系统的均载性能有明显的效果。

■■■啊蕊啉 誓 ll ■ 三二=㈠—■曩蕊粼 ㈡ 嘲 眺1184 船舶力学 第 17卷第 1O期(5)两级问连接轴的刚度对系统的振动有很大影响。根据工作转速和刚度变化对系统振动的影响云图，可以方便合理地确定连接轴的设计参数。

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