结合面切向接触刚度三维分形模型

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第 34卷 第 5期 太 原 科 技 大 学 学 报 Vo1．34 No．52013年 10月 JOURNAL OF TAIYUAN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Oct．2013文章编号：1673—2057(2013)05—0361—07结合面切向接触刚度三维分形模型牛作证，张学良，温淑花，兰国生，陈永会，殷东华(太原科技大学机械工程学院，太原 030024)摘 要：基于接触分形理论和微接触大小分布函数 ，建立了结合面切向接触刚度的三维分形模型，并通过对所建模型的仿真，揭示了结合面切向接触刚度与结合面诸参数之间的非线性关系。并将结合面切向接触刚度的二维模型和三维模型进行数字仿真比较。研 究结果表明，随着法向载荷的增大，结合面切向接触刚度也增大；随着切向载荷和 G自 增大，结合面切向接触刚度则减小；随着 D的变化规律比较复杂。对比结果表明，随着分形维数D和 D 的增大，二维分形模型的结合面切向接触刚度越来越接近三维分形模型的结合面切向接触刚度。

关键词 ：结合面；切向接触刚度；分形理论；分形模型中图分类号：TH113．1 文献标志码：A doi：10．3969／j．issn．1673-2057．2013．05．009机械结构中大量存在各种各样的结合面，从而使得机械结构或系统不再具有连续性 ，进而导致了问题的复杂性u J。基于对粗糙表面微观形貌特征的传统定量化统计描述，J A Greenwood和J B Wil—liamson 基于粗糙表面的微观形貌各向同性、微凸体的接触是相互独立、微凸体的变形机制为完全弹性的三个假设 ，提出了著名的 GW 模型；基于各向同性、Gauss分布、自相关函数为指数函数形式的三个基本假设 ，D J Whitehouse和 J F Archard 提出了WA模型。后来，A．Majummdar和 B．Bhushan提出了以分形几何为基础的粗糙表面接触分形模型——MB模型；张学 良 基于 Hertz理论、MB模接触分形理论以及三个基本假设，建立了具有尺度独立性的结合面法向和切向接触刚度与接触阻尼的分形模型。K Yan和 K Komvopoulos 研究了三维各向异性分形表面的接触。本文通过引用球形微凸体与球形微凸体的接触模型 j，结合文献[5]中提出的引入三维分形表面的接触点大小分布函数 凡(0 )，建立了一种结合面切向接触刚度的三维分形模型，并对所建模型进行数字仿真，从而揭示各相关参数对该模型的影响规律。为了更好的认识该模型，将结合面切向接触刚度的二维模型和三维模型进行数字仿真比较。

1 结合面三维分形接触理论研究发现，粗糙表面可以用双变量的 w—M函数表示为u5j：= ( ( )} n·{cos 一s[ cos(tan (考)一M )+ ]) (1) ， ”|I J式中：z( ，)，)一 轮廓高度， ，广 轮廓位移坐标；D一 轮廓分形维数，2

362 太 原 科 技 大 学 学 报 2013年肘一 构造表 面重叠隆起邵的个数 ；n 一 与6晶格距离截止长度 有关的频率指数上限，n =int【 1； Lln一 分形采样长度；咖 ． 一 随机相位；G一分形特征长度尺度参数。

当M =1，m =1时，式(1)可以用单变量的W．M函数表示为 ：)=￡( 之 (1n )÷薹[cos咖 ?s＼2~rLy"x一咖 )】 (2)单变量的W-M函数的自相关函数 (r)表示为：R(．r) lim言上z( )z( +r)dr=薹群 (3)自相关函数 ( )经过傅立叶变换 ，司以得到z(x)的功率谱：‰)= 薹 (4)式中，8(x)是狄拉克数 一 函数，根据6( )：f0， ≠0的性质，功率谱可以表示为：L。。． = 0‰ )=丁D2(D-2) nm~ (5)用连续的功率谱 ．s( )近似取代离散的 W．M函数的功率谱：． ．
． ^ ，s(∞) 1 J d |s( + )下
G2(O-2)
． (6)A 2∞ ( 一 。) ( )其中，n(∞)=lnog／lny，所以：5 cc，一 = ·南 ㈩其中， 一 空间频率。

轮廓高度标准差 与轮廓的分形维数和分形特征长度尺度参数有如下关系：= 【广． s(∞)d∞]T1= _
[ 21ny．2 D 6( 2D～一 ●一 I，-I ， 1． 1_ L 一 、 J (8)其中，∞ 是由取样长度 决定的最低频率，∞是由仪器分辨率和滤波决定的最高频率。

2 结合面切向接触刚度三维分形模型2．1 球形微凸体和球形微凸体接触的切向刚度两个接触球形微凸体的切向变形量为 ]：= 【 一(-一 )丁] (9)式中：G —— 两接触材料的等效剪切模量；— — 两接触材料的摩擦因数；Q——作用于球形微凸体上的切向载荷；作用于球形微凸体上的法向载荷；一 微接触面积的半径，a=订r .

单个球形微凸体的的切向接触刚度|l} 可以表示为：(10)于是，可以得到：1_ G (11)根据接触点的实际面积 a和截面积 a 的关系：a =2a (12)可得 ：后 = 卜 G (13)其中，h：旦
P.

2．2 结合面切向接触刚度的三维分形模型结合面的切向总刚度 可以表示为：K =I后 n(0 )da (14)粗糙表面上的横截微凸体大小分布函数为 ：凡(。，)： 。 丁D-I口，一丁D+I (15)等效粗糙表面总的横截面积为 ：A：= 。 )a rda
0，
= 1．1口 (16) I n(o J J一将式(14)、式(16)代入式(15)中，得到：= f? 1一詈G ×o．5·(D一1)a,L-i-a Tda (17)整理得 ：第 34卷第5期 牛作证，等：结合面切向接触刚度三维分形模型 363= ( )辑 。 18)由式(13)可知：口 =2a (19)a =2a。 (20)将式(20)、式(21)式代人式(19)得：K= ( )辑 吼 2将式(22)进行无量纲化处理，得：= l- ([( )丁A 一。 】 (22)文献[5]中的结合面法向接触载荷 P进行无量纲化处理，得：P ： (D)A 丁D-1.

3竹 2【( )丁 ，． 一口c+ ]+D 一1 3一D2Kdag3(D)A 丁口 T (D≠2．5) (23)P =2T ,r-r G峙 )}(等)了In( )+ 一丁(1n 丁l }l f：_}
6叫竽)了口 ÷(。_2．5) (24)其 中，K 为 无 量 纲法 向接 触 刚度， =K,／(G ／ )；P’为无量纲法向接触载荷，P =甚疆鲻厘 恩 骚咖1无量纲法向总载荷P’×10(a)莨丞鲻厘骚皿埘1墓2窿 蠢匠 0咖(b)P／(E’A。)；咖为塑性指数，咖=Y／E ；G 为无量纲特征长度尺度参数，G ： 。；A。为名义接触面积；A，为实际接触面积；A 为无量纲实际接触面，A =A ／A ；0 为无量纲临界接触面积。

·
= = 丢【 ,"~1-2Dac A
aG ( )叫 ； 一 而6 【J J
D)=( ～3-D
．
)丁；g2(D)= ；D)=( )丁以上即为结合面三维法向接触载荷和切 向接触刚度分形模型。式(22)～式(24)可以看出，数学模型表明了无量纲切向接触刚度与无量纲法向载荷之间的复杂非线性。

3 结合面切向接触刚度的三维分形模型仿真由式(22)一式(24)可以看出，给定一 固定的Ar，，便可以计算得到无量纲法向接触载荷 P 和无量纲切向接触刚度 K ．一般工程表面的塑性指标范围在0．7至2．5之间【 J，所以给定 西分别为2．5、1．5和 0．7，K通常取 2．8l9 J，G 分别为 10一、10 。和10 ，h分别0．02、0．10、0．15，／x取 0．3，取 D分别取2．1～2．9，仿真计算结果如图 1～图5所示。

基l0毫 8嚣642咖 爰疆鲻-IX骚豳1莨藿鲻遥 骚咖1无量纲法向总载荷P’×10(d)图 1 ／r, 随P 的变化规律( =2．8。 =2．5。h=o．02，G ：1．0×10．1。)Fig．1 The change curves of with P‘(K=2．8，西：2．5，h=0．02。G‘=1．1×10I1 )364 太 原 科 技 大 学 学 报 2013焦I+ D=2．1I—9-．D=2．2I—o D=2．30 D=2．4a·.

-自一 日 ．e ．e
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o.

O 0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5 4 4．5 5无量纲法向总载荷P ×10(a)藿鞘厦恩咖{基疆鲻足骚咖(c) (d)图2 D对 的影响曲线(K=2．8，西=1．5，h=O．02。G’=1．0×10I1 )Fig．2 The influence curves ofD on (K：2．8， =1．5，h=0．02，G‘=1．0×10 ‘)(a)D=2．1匿漠端匠骚删(e)D=2．7 (d)D=2．9图3 G’对 的影响曲线(K=2．8，咖=2．5，h=0．02)Fig．3 The influence curves of G on 【k=2．8。西=2．5，h=O．02)7 6 5 4 3 2 1 夏接辎匿 删第 34卷第5期 牛作证，等：结合面切向接触刚度三维分形模型 365基罐巡足咖1夏藿辎．叵咖疆辎匣尽咖无量纲法向总载荷P X 10(a)D=2．1基蔼鲻厦无量纲法向总载荷P ×10(b)D=2．3(c)D=2．7 (d)D=2．9图4 咖对 的影响曲线(K=2．8，h=0．02，G =1．0×10 )Fig．4 The influence curves of on (K=2．8。h=0．02，G’=1．0×10 )2.

蠢 .

足(a)D=2．1甚藿鲻厘恩骚咖1(b)D=2．3(c)D=2．7 (d)D=2．9图 5 h对 的影响曲线( =2．8，咖=2．5，G =1．0×10 )Fig．5 The influence curves ofh on (K：2．8，咖=2．5。G =1．0×10 。)数字仿真计算可以得出如下结论：(1)随着无量纲法向接触载荷 P 的增大，结合面无量纲切向接触刚度 也不断增大，如图 1所示。当D在2．1～2．4的范围内，K 和P 之间的非线性关系很明显或很强，如图1a～图ld所示 ；当D>2．4时， 和P 之间的关系越来越明显，如图1e～366 太 原 科 技 大 学 学 报 2013矩图1h所示。总之，增大法向载荷有利于提高结合面的切向接触刚度。

(2)当分形维数D在2．1—2．6的范围内时，随着 D的增大，结合面无量纲切向接触刚度 K 不断增大；当D>2．6时，K 随着D的增大而减小，如图2所示。

(3)随着结合面无量纲分形特征尺度参数 G的增大，结合面无量纲切向接触刚度 K 不断减小，如图3所示。

(4)随着塑性指数 的增大，结合面无量纲切向接触刚度 也越来越大，如图4所示。

(5)随着 h的增大，结合面无量纲切向接触刚度K 而不断减小，如图5所示。当法向载荷不变时，墓1基 蠢1压 妻莨 摇 辎 厦 豆 骄 咖 无量纲法向总载荷P’×10(b)h是切向载荷和法向载荷的比值，h增大，切向载荷也随之增大，因此随着结合面切向载荷的增大，结合面切向接触刚度则不断减小。同时也就说明法向载荷和切向载荷影响着结合面切向刚度，且关系呈现出非线性。

4 结合面切向接触刚度二维和三维分形模型的仿真对比给定一固定的无量纲真实接触面积 A ，便可以计算得到结合面无量纲法向总载荷 P 和无量纲切向接触刚度 K 三维和二维分形模型l】。。的计算值。D 是二维分形维数，对比仿真计算结果如图6所示。

甚 矮 鲻厘 恩 骚删删1挂垂1差亲0血】}茜 摇 蝼 ·匡 骄 皿删无量纲法向总载荷P‘×10x 10' (d)图6 随P’的变化规律(K：2．8。 =2．5，G =1．0×10 )Fig．6 The change curves of K with P (K=2．8，西=2．5，G =1．0×10 )由仿真计算结果可见：随着分形维数 D和 D 的增大，二维分形模型的结合面切向接触刚度越来越接近三维分形模型的切向接触刚度，如图6所示。

5 结论(1)提出了一种基于三维接触分形理论的结合面切向接触刚度的三维分形模型。

(2)三维分形模型的结合面切向接触刚度是作参考文献：用在结合面上的法向载荷 P和切向载荷 Q的复杂非线性函数。

(3)三维分形模型的结合面切向接触刚度与结合面的材料性能常数如硬度 日、屈服强度 or 复合弹性模量 E 、等效剪切模量 G 有关。

(4)三维分形模型的结合面切向接触刚度受结合面分形维数D和分形特征长度尺度参数 G影响。

随结合面粗糙度的增大，结合面切向接触刚度不断减小[1] 张学良．机械结合面动态特性及其应用[M]．北京：中国科学技术出版社，2002.

[2] GREENWOOD J A，WILLIAMSON J B P．Contact of nominally flat surfaces[J]．Proceedings of the Royal Society of London，Se.

ries A，Mathematical and physical sciences，1996，295：300-319.

[3] WHITEHOUSE D J，ARCHARD J F．The properties of random surface of signifcance in their contact[J]．Proceedings of Royal第34卷第 5期 牛作证，等：结合面切向接触刚度三维分形模型 367[4][5][6][7][8][9][1O]Society of London：A，1970，316：97。121.

MAJUMDAR A．Bhushan B．Fractal model of elastic-plastic contact between rough surfaces[J]．ASME Joumal of Tribology，1991，113(1)：1-11.

YAN K，KOMVOPOULOS K．Contact analysis of elastic—plastic fractal surfaces[J]．Journal of Applied Physics，1998，84(7)：3617．3624.

JOHNSON K L．Contact Mechanics[M]．UK：Cambridge University Press，1985.

刘正伦．具可变形貌参数之微接触模型理论研究[D]．中国台湾：国立成功大学，2006.

YOU J M。CHEN T N．Statistical model for normal and tangential contact parameters of rough surface[J]．J Mechanical Engi-neering Science，2010，225：171—185.

JIANG SHUYUN，ZHENG YUNJIAN．A contact stifness model of machined joint surfaces[J]．ASME Journal of Tribology，2000，132(1)：1-7.

田红亮 ，朱大林．金属材料结合部法切向刚度修正与实验验证[J]．农业机械学报 ，2012，43(6)：207-214.

Three-Dimensional Fractal M odel of Tangential Contact Stifnessof Joint interfacesNIU Zuo-zheng，ZHANG Xue-liang，W EN Shu-hua，LAN Guo-sheng，CHEN Yong-hui，YIN Dong-hua(Colege of Mechanical Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)Abstract：Based on contact fractal theory and micro．contact size distribution function，a three．dimensional fractalmodel of tangential contact stifness of joint surfaces was proposed．Furthermore，numerical simulation was cariedout to obtain the complicated nonlinear relations between norm al contact stifness and the characteristic parametersof{oint interfaces．Two．dimensional fractal model of tangential contact stiffness of joint interfaces and three．dimen—sional model of tangential contact stiffness of joint interfaces were compared．The results show the norm al contactstifness increased with the norm al load，decreased with the tangential load，and，G but complicatedly with D．rI'Iletangential contact stifness of joint interfaces of two—dimensional fractal model is close to the tangential contact stif-ness of ioint interfaces three—dimensional fractal model with the increasing D and D。.

Key words：joint interfaces，tangential contact stifness，fractal theory，fractal model