引入各向同性虚拟材料的固定结合部模型

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在机床设计阶段，预测整体结构的静、动态特性是当前研究的热点，机械结合部动态参数辨识是其中-项关键性研究。所谓机械结合部是指零件、组件、部件之间通过某种约束(如焊接、螺栓联接、导轨连接等)相互连接，具有定位、承载、导向等功能的结构 ]。由于机械结合部在机床结构中大量存在，因此使结构或系统不再具有连续性，从而导致了计算机床静、动态问题的复杂性 。研究表明，- 台整机结构中6O ～8O 的总动刚度、大约 90%的总阻尼、55 以上的动柔度与 85 ～9O 的静变形量都来自结合部 。]。由于机械结合部的不相容性、非线性来源的不 明确性和不确定性、以及实验结果 的不可测量等特性，使得机械结合部的相关研究变得愈发艰难 。

机械结合部动力学特性计算对于系统的设计与维护来说是十分重要的，国内外研究人员对此做了大量的工作。Fu等对机械结构结合部法向动刚度和阻尼特性进行实验研究 ]，分析激励频率、介质、结合部材料、加工方法、表面粗糙度对法向动态特性的影响。Shi等推导赫兹光滑接触、峰高指数分布时法向接触刚度、阻尼的解析式 ]。魏龙等依据分形几何理论7]，考虑微凸体变形特征及摩擦作用的影响建立滑动摩擦表面接触力学模型。文献[8～1o3根据赫兹接触理论推导接触刚度的表达式为1 1 ，K-÷职 寺(正确表达式口 应为 K-2ER寺 )，在O此基础上研究钢丝绳、索结构、齿轮结合部的碰撞动力学特性 。

目前在机床结构的静、动力学特性分析中，-般采用黏弹性单元来等效固定结合部，该方法简单实用，已被众多学者和工程师所采用♂合部动力学特性参数受诸多复杂因素的影响，这些主要影响因素包括材料、接触表面的形貌、预紧力的大孝两配对表面之间的介质(如润滑油、润滑脂等)、结合部的尺寸与几何形状、结合部承受动态力的特性。传统结合部弹簧-阻尼器模型存在以下 5个不足：① 不同的结合部对应的弹簧-阻尼器单元数量不同，即对于特定的结合部，在建模前弹簧-阻尼器单元的数量无法准确给定；② 弹簧-阻尼器模型表征的结合部动力学模型是-个线性模型，表征结合部的非线性特性比较困难；③ 模型中各弹簧-阻尼器是相互独立的，无法模拟它们之间的相互作用，即忽略各粘弹收稿日期：2012～06-22；修订日期：2013-04-13基金项目：国家 自然科学基金资助项 目(51275273，51O75234)和三峡大学博士科研启动资助项目(KJ2012B013)g -学E 程 ∞工V动m 振～振 动 工 程 学 报 第 26卷性单元之间及粘弹性单元 的坐标之间的耦合关系，而结合部的法向和切向特性是相互影响的；④ 用该方法识别的结合部刚度、阻尼参数仅能应用于当前结合部，不适用于其它结合部，即没有通用性；⑤ 若较全面考虑力学特性 (如预紧力)、物理属性 (如尺寸、表面加工方式、材料特性等)，很难建立结合部动力学的复杂关系。

刚度、阻尼不是材料固有的弹性常数，弹性模量、切变模量、泊松比、密度是材料固有的弹性常数♂合部弹簧-阻尼器模型的优点是直观地表征结合部的静力学特性，第 1个缺点是刚度、阻尼参数要由实验标定或者理论计算，并没有将实验测试结果与等效分析模型有机地结合起来，第 2个缺点是不能完全反映结合部的动力学特性。尤其令人感兴趣的是，Mao等首次提出基于刚度影响系数的机床固定结合部的参数识别方法(简称 Mao模型)r1引，将理论模态与实验模态进行全面比较(其他学者大多只比较固有频率，因而得出的结论不可信)，以验证该方法的有效性。在实验上 Mao模型真正是研究机床固定结合部动力学特性的里程碑。

本文仍然采用 Mao模型的理论模态与实验模态进行全面比较的验证思路，旨在提高整机的建模精度与节约实验成本 ，在理论 上提出基于各向同性虚拟材料假设的机床固定结合部动力学建模的解析法～固定结合部看成-种等截面的各向同性虚拟材料，虚拟材料与固定结合部两侧的零件皆为固定连接，通过增加-个元件可将含结合部的复杂部件等效为不含结合部的简单零件，达到将复杂的固定结合部问题简单化的目的。顾及固定结合部法向和切向特性的相互影响，依照 Hertz接触理论和分形几何理论推导虚拟材料弹性模量、切变模量、泊松比、厚度、密度等参数的解析解～虚拟材料参数的解析解嵌进到有限元软件中，可获得整机的理论模态，对实验试件的理论模态与实验模态进行全面比较(相似振型定性比较，相应的固有频率定量比较)，验证虚拟材料参数解析解的有效性。

2 各向同性虚拟材料假设的基本原理含-个结合部的复杂部件如图 1所示，复杂的原因在于，零件 1和 2在法向或切向载荷作用下，零件 1和 2之间的法向或切向微小相对位移用理论的方法很难精确标定，且实验测量误差大。

图 1 含-个结合部的复杂部件Fig.1 Intricate part including a joint surface现将图 1的固定结合部看成-种等截面的各向同性虚拟材料，若能通过理论的方法得到该虚拟材料的弹性模量、泊松比、厚度、密度，虚拟材料与固定结合部两侧的零件 1和 2皆为固定连接。这样通过增加-个元件可将图1含结合部的复杂部件等效为不含结合部的简单零件，能达到将复杂的固定结合部问题简单化的目的。含-种虚拟材料的简单零件如图2所示，该简单零件材料的物理特性在虚拟材料处会发生突变，具有 3种材料属性，其中h为虚拟材料的厚度 。

h工、、零件1各向同性虚拟材料./，零件2固定连接1固定连接2图 2 含-种虚拟材料 的简单零件Fig.2 Simple component including a virtual material虚拟材料弹性模量、泊松比、厚度、密度的数学模型分别为E - E(E1，E2， l， 2，R R。2，P) (1)u- (E1，E2， 1， 2，R。l，R。2，P) (2)hh( 1，h2) (3)10p(pl，l02，hi，h2) (4)式中 E 和 E 分别为表面 1和 2的弹性模量；和 分别为表面 1和 2的泊松比；R 和R z分别为表面 1和 2的表面粗糙度；P为结合部所受的法向载荷；h 和h 分别为结合部两接触材料 1和2的微凸体层厚度；lD 和P 分别为材料 1和 2的密度。

将式(1)～(4)的弹性模量、泊松比、厚度、密度嵌入到有限元软件中，可获得整机的理论模态。为验证虚拟材料参数解析解是否有效，可对实验试件的理论模态与实验模态进行全面比较(相似振型定第 4期 田红亮，等：引入各向同性虚拟材料的固定结合部模型性比较，相应的固有频率定量比较)。

2.1 各 向同性虚拟材料的弹性模量实际表面上粗糙微接触点的形状通常是椭圆体E]，椭圆体的接触区尺寸远小于本身的曲率半径，微接触点可近似视为球体，两个平面的接触可视为-系列高低不齐的半球体相接触口 。两半球体微接触点的接触如图 3所示，在图 3(b)中，在作用点为O 、方向为O O 的P力作用下，两半球体微接触点被压扁 了，两球心 O 和 O 间 的距离缩兄 部干涉量 W，形成半径为 r的接触圆，A 和A z两点重合为点 A，此时A 和 A。两点分别沿直线 O。O 和 O O。

方向移动了 叫 和 W ，R 和 尺 分别为两表面半球体微接触点的半径。

在图 3(c)中，由半球赫兹正应力可得-个弹性(a)两半球体微接触点接触无变形(a)Contact oftwo hemispherical microcontacts withoutdeformation变形后单峰前单峰接触圆(b)两半球体微接触点接触有变形(b)Contact oftwo hemispherical microcntacts With deformationP 弹性半球体w(<2也 -、、 .- C--二r/前单峰后单峰刚性光滑平面(C)等效半球体微接触点与刚性平面的接触(c)Contact ofequivalent hemispherical microcontact andrigid surface图 3 两半球体微接触点的弹性接触Fig.3 Elastic contact of two hemispherical microcontacts微接触点分担的法向载荷为 ]P - E 叫 (5)式中 E 为两接触粗糙表面的等效弹性模量；R 为两微接触点的等效曲率半径。

Weierstrass-Mandelbrot函数为-( 薹 ㈣式中 z为表面上高度是 的-点的平面直角坐标；L为取样长度；G为分形粗糙度；D为表面轮廓的分形维数；y为与表面轮廓频谱密度相关的参数。

依照式(8)可得局部干涉量为训-L( )州 -G (专) -GD- a 。· 。 (9)式中 a 为-个微接触点的平截面积，且- (10) 1，n V 、在图 3(c)的直角三角形 ocd中，依据勾股定理得(R -训) r -R； (11)2Rp～ 训 -W (12)微观变形量 W与宏观几何尺寸R 相比，很小，可假定 w<2R ，故存在近似等式R - (13R - - (14)将式(9)代入式 (14)得R - G (15)按照赫兹公式可得-个微接触点的面积为 ]a nR W (16)式(5)除以式(16)可得-个弹性微接触点的实际法向接触压应力为口。

43兀E， (17)n 7c V由图 3(c)可知，弹性半球体沿半径方向压缩局部干涉量 叫，故-个弹性微接触点的法向压应变为振 动 工 程 学 报 第 26卷e- (18)- dPre - v-cz。 - 下 E - LZUd 7 ，e - A Ji 譬n(a )d。 - 1-o.5Da ，(24)- J -l 确表达式应为 -I -沿用叫 - f垫2E ] (25)叫 。 - ( ) R式中 - /E 为材料性能。

式(9)除以式(27)得- 2，/g! >1a- ( a ～ - 1 r9R、 /式中 a -2a 为划分弹塑性区域的临界平截面 ㈣将式(15)和(9)代入式(5)得P- -. E G n 。 (30)3 2n- 个完全塑性微接触点分担的法向载荷为-Pp- n (31)虚拟材料的弹性模量为E(a >a：)- (a )d。 (32)将式(22)和(23)代人式(32)得E(O.5口，J> o.5n：)： E，G 。

＆ 。(口 - ＆ ) (33)式 (33)可变为E，GI-Da s。( - ) (34)式 中 A 为实际临界接触面积 ，且- 由式(24)得- 。sD- A (36) A。

根据式(36)可得式(34)的无量纲形式为E(A >A )-兰 -3 G校( LJ ) × 7c√ /- ( A 0，5 1式 中 A -A rc- G - -第 4期 田红亮，等 ：引入各向同性虚拟材料的固定结合部模型老-号 ]而G-。

结合部的法向载荷为P(n，J>＆ )-f吒 (at) ，r-Ppn(at) Jd J 0(38)将式(30)，(31)与(23)代入式(38)得P(0.5口 0.5n )! 三-E，G ，J。.s。(cf .s～-c1.5-D)3√7c(3- 2D)n 0.5Da： -0l 5。，D≠ 1.5-0.25 E， n， 0l s1n筝√2丁c a c3扩 。 K a ， 。 ，D-1.5(39)由式(6)可得 E 与E ，E ， 和 有关。分形几何理论表 明，D 和 G 均与 R 和 R z有关 。由式(33)可得 n 与E有关。由式(39)可得 n，fJ与 P有关。消去中间自变量a ，自变量 P和因变量 E确定了-个隐函数，且 E与 E ，E ， ， z，R R z和P有关 。最后式 (33)就是所求得的式(I)。

式(39)可变为P(A > A )-兰 E，GD-lao-.s。(吐 -。 。)3√7c(3- 2D)K n 。a。1-).5。，。 ≠ .s(4。)E， s In aL √7 c6 。 K a 口 ，D - 1.5A > - 豪 - Pa-3 3 2D G- ( A ) ∞× √7c( - ) /( A ) ～1.5 D]21-2 5D2-oKcA； 。( ) ，D≠1.52 5 0.625 (等) tn 2扩 KA (3口 ) ，D-1.5式 中 ： 为表观法向接触压应力 。

2.2 各向同性虚拟材料的泊松 比同时受法向、切向载荷，两半球体微接触点的切向接触如图4所示，在保持P力不变的情况下，再施加平行于 z轴作用的Q 力；Q 为-个半球体微接触点所受的切向载荷。在单峰 1上，点 A运动到点A ；在单峰 2上，点A运动到点A 。小于极限摩擦力 fP的切向载荷Q 的作用是在圆环面 S -(f0，)l c≤p≤r，0≤ ≤2n)上产生小的相对运动，称之为微滑，其中厂为动摩擦系数；c为微滑接触圆环的内半径；r为微滑接触圆环的外半径；极半径 p-/z 。；极角 -arctan(y/x)。圆环面的其余部分--圆域 S -(D， )l 0≤0

单峰 n 厂/粘附区/ P- / -/ t - ，n )'/ ㈨f 上rp 署Z图 4 两半球体微接触点的切向微滑及粘附接触Fig.4 Tangential micro-slip and adherence contact oftwo hemispherical microcontacts在粘附接触圆 S 内由切向载荷产生的切向位移为- [2(2-z)(2 10 )/40 cos20] (42)式中 Q为微滑接触圆环的待定无量纲常数；g为表面 1或 2的切变模量。

在外侧的微滑接触圆环 s 内，由切向载荷产生的切向位移为振 动 工 程 学 报 第 26卷U m sx - 3fP[2(2-/ -I。。)2cos20](43)式(42)加式(43)可得总位移为-。。U msx -等[4(2 ( c) b4 l r ，( - )lD。(4-2 - )]，o≤lD<(44)要使上式在 D和0等于任何值时都能满足，则- 1- o ) c Q (46)将式(46)代人式(44)得- (1- C2bgr )，o≤10< 7) 土 r ， 、在整个接触表面 S上微滑切向应力为f ( - )，0≤10

式(62)除以式(61)得Qmsx- Qx- qrx-卢≤ / (63) p P J将式(61)和(63)代入式(60)可得切应力-切应变本构关系为- - [ -( ～ )亏] ㈣式(64)对 q 求导可得两半球体微接触点的微滑切 变 柔度 为- dmsx- -存 两半球体微接触点之间互相作用的切变模量为- - √ - G gx- -、/～ 6)虚拟材料的切变模量为第 4期 田红亮，等：引入各向同性虚拟材料的固定结合部模型G (＆ >口：)-l g ( ) (67)将式(66)和(23)代入式(67)得G (0.5at> 0.5a )-[( - ] ，式(68)可变为G (A > A )-洱 G - ]㈣根据式(36)可得式(69)的无量纲形式为G (A > A )- -污 [( 州等) ～ ](70)两接触粗糙表面的等效泊松比为- - 1 (71) 虚拟材料的泊松比为u- - 1 (72) --- -- l ，由式(59)可得 G 与E ，E ， 和 2有关。分形几何理论表明，D和G都与R 和 R 。有关。由式(68)可得 与 G 有关 。由式 (39)可得 口 与 P有关。消去中间自变量 ，自变量 P和因变量G 确定 了-个隐函数 ，且 G 与 E ，E ， ， ，R R z和P有关。最后式(72)就是所求得的式(2)。

2.3 各向同性虚拟材料的厚度表面是-个凝聚相(固相或者液相)与-个气相或真空构成的空间区域。机械结构的结合部多是由经过机械加工的表面构成 的。这些结合表面 ，从宏观上看平整光滑，但从微观看，表面几何形貌却是凹凸不平的，而且表面层的结构是由若干层具有不同物理、化学性质和机械性质的表层构成 的○属表面上表面微凸体的表层在加工过程中表层组织结构将发生变化，微凸体的表层由金属表面以上的外表面层和金属表面以下的内表面层组成。例如，表面粗糙度为 0.8 m时，微凸体层的各层结构如图 5所示○属基体之上是变形层，它是材料的加工强化层。剧烈塑性变形区往里为轻度变形层。严重变形层的厚度随加工工艺的不同而不同。在表面加工时，由于表面分子层熔化和流动而形成-种非结晶组织和-层结 晶组织。贝氏层 (Beilby layer)是 由于加工中表层熔化、流动，随后骤冷而形成的非晶或尘粒自然污染膜5 nrl气液分子吸附膜0.3-3 nm氧化膜0.01～1 grnBeilby层150岫 结晶组织0.6，-40 gna非结晶组织0.420 Ftm严重变形层0.5250 lam轻度变形层0.2-130眦1图 5 金属表面上表面微凸体的表层微观结构Fig.5 Layer micro-structure of surface microcontaet onmetalic surface者微晶质层。氧化层是 由于表面与大气接触经化学作用而形成的，它的组织结构与氧化程度有关。最外层是环境中气体、液体极性分子和固体颗粒与表面形成的吸附膜和污染膜。

微凸体层的各层厚度之和近似为h - 130 250 20 40 50 10.003 0.005- 491.008/，m (73)约为 0.5 mm。经分析 ，可以认 为 固定结合部的接触刚度等特性与图 5所示的各层厚度之和有关，虚拟材料的厚度 可定义为结合部 两接触材料微凸体层厚度 之和。因此，当结合部两接触材料的表面粗糙度为0.8 m时，h ：矗 ≈0.5 mm，虚拟材料的厚度可取为hh1 h 2≈ l m m (74)现有机床结合表面的表面粗糙度大多在 0.8～1.6 m之间，变化不大，即在实际工程中，由于两配对材料 1和 2的结合表面的表面粗糙度略有差异，图 5中的 h 和 h。会 在 0.5 ilm 附近波动，最后式(74)就是所求得 的式 (3)。

2.4 各向同性虚拟材料的密度虚拟材料由分布在表面 1和 2上的众多微凸体组成，如图 6所示，其中h 和h。分别为分布在表面1和 2上的微凸体层的厚度；p 和p。分别为材料 1和 2的密度。

根据图 6可得虚拟材料的平均密度为m1 m2 p1V1 P2V21 V2 A h1 A h 2h - h h A ( 1 2)1 2 ～振 动 工 程 学 报 第 26卷表面1上的多微凸体表面2上的多微凸体图 6 虚拟材料的层合微凸体层Fig.6 Layered microcontact floors of virtual material式中 m 和m 分别为表面 1和2上微凸体层的质量； 和 。分别为表面 l和 2上微凸体层的体积。

式 (75)中的 2个参数--材料密度 p 和 p。是宏观参数，但 2个参数--微凸体层的厚度h 和是微观参数 ，不容易测量。为将式(75)表达的结果实用化，现有机床结合表面的表面粗糙度大多在0.8～1.6"m之间 ，变化不大 ，即在实际工程 中，由于两配对材料 1和 2的结合表面的表面粗糙度略有差异 ，图 6中的 h 和 h 会在 0.5 mm 附近波动，可近似取 h ≈ ，此时式(75)变为l0- h÷ h- h÷ h： (76) 1， 11 2式(76)是材料 1和 2密度的算术平均值，是虚拟材料密度的实用化公式 。

3 识别分形参数的功率谱密度函数方法整个柔性结合部的连续功率谱密度函数为P( )- 。 2 (77)由式(77)得lgP(叫)- (2D - 5)lgco- lg2- lgln7(2D - 2)lgG令J萎/lgoj2D-5 b(2D-2)lgG-lg2-lgln7图7 整个柔性结合部的常用对数功率谱密度函数Fig.7 Logarithm power spectral density function ofwhole flexible joint surfaceG- 10 (83)整个柔性结合部的工程实测数据 (tgw，lgP(co))不可能是-条标准的直线，但使用最小二乘法可近似回归为-条直线，得到该直线的斜率k、纵截距 6。

将 k代入式(82)可识别整个柔性结合部的分形维数D；然后将 b和D代入式(83)可识别整个柔性结合部的分形粗糙度 G。

4 各向同性虚拟材料假设的实验验证4.1 哑铃状实验试件为充分反映螺栓结合部的特性且使结构尽量简化 ]，设计如图 8所示含固定结合部的结构，两个M12内六角头螺栓将测试试件 1和 2连接。

图 8 哑铃状实验试件Fig.8 Dumbbell experimental specimen(78) 4·2 动力学实验装置k- 2 - 5 ( 79)b- (2D ～ 2)lgG- lg2- lgln7 (80)则式(78)变为lgP(叫)- klgw b (81)在双常用对数坐标系统下，P(∞)与 CO之间的关系可用-条直线表示，如图7所示。

由式(79)和(8O)分别得D - 2.5 0.5k (82)动力学测试设备如图 9所示，该设备包括比利时的LMS Test.Lab 9B振动测试和分析系统。在模态测试的过程中，所用冲击力锤是美国 PCB公司的086C04压电式冲击力锤，冲击力锤的冲击头是尼龙材料，测试加速度计是 356A15压电晶体式传感器(piezo crystal sensor)。

4.3 分形参数实验识别及虚拟材料参数机床螺栓结合部多数为干接触，本文的结合部572 振 动 工 程 学 报 第 26卷5 结 论论文采用 Hertz接触理论和分形几何理论研究在考虑结合部法、切向特性相互影响下的结合部各向同性虚拟材料参数辨识。主要结论如下：(1)构建机床固定结合部的-种新的动力学建模方法。提出各向同性虚拟材料的概念，顾及固定结合部法向和切向特性的相互影响，推导虚拟材料弹性模量、泊松比、厚度、密度等参数的严格解析解。

(2)通过测试试件的实验结果 ，对理论模态与实验模态进行全面比较(相似振型定性比较，相应的固有频率定量比较)，对虚拟材料参数的解析解进行验证。虚拟材料模型的前 6阶振型与实验的前 6阶振型都--对应，理论与实验固有频率的相对误差在～ 8.1 ～8.1 之间。

(3)经典 Yoshimura模型预测的振型有时与实验的振型不-致 ，Yoshimura模型 的-个缺陷是沿切向两个方向的参数相等，无法准确模拟结合部两侧零件的相对运动。