基于优化准则法的自由阻尼材料拓扑优化

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Topologic optimization of a free damping material based on optimal criteria methodZHANG Zhi-fei ， ，NI Xin-shuai ，XU Zhong-ruing ，HE Yah-song ， ，YUAN Qiong。，LI Yao-guang(1.State Key Lab of Mechanical Transmissions，Cbongqing University，Chongqing 400030，China；2.College of Mechanical Engineering，Chongqing University，Chongqing 400030，China)Abstract： Based on SIMP，a topologic optimization model for a free damping material was established with themaximum modal damping ratio as a goal，damping material volume as a restriction and densities of damping material cellas design variables.The sensitivity of modal damping ratio to densities of damping material cell，and the updating criterionof design vaviables were derived.Then，the topologic optimization program for a free damping meterial based on theoptimization criteria method was developed using the direct matrix abstraction program (DMAP)of MSC.Nastran.Thestructure-acoustic coupling model of an aluminum plate and an acoustic cavity was taken as an example.With this programand the FE method，the arrangement of damping material on the aluminum plate was optimized to maximize the dampingratio of the first order bending mode of the system，the result was verified with tests.The two damping treatments of fullydamped one and partly damped one after optimized were compared with no damping material treatment.It was shown thatafter treated，the acoustic pressure at the reference point drops 1 10.6Pa and 107.7Pa，respectively in simulations，while itdrops 22.47Pa and 20.91Pa，respectively in tests；the comparison verifies the effectiveness of the topologic optimizationprogram·Key words：free damping；topologic optimization；DMAP；structure-acoustic coupling；optimal criteria method由于具有良好的阻尼减振性能，各种粘弹性阻尼材料是 目前抑制结构振动噪声的有效手段 。而如何确定阻尼材料在结构最佳布局，从而在保证降噪效果的同时，减少阻尼材料的用量成为当前研究的-个热点♂构拓扑优化方法在阻尼材料优化布局中得到了广泛应用，文献[2-3]基于渐进结构拓扑优化方法，以阻尼结构模态损耗因子最大化为 目标，研究了阻尼拓基金项 目：国家自然科学基金(51105390)；中央高校基本科研 务费(CDJZR101 10006)收稿 日期：2012-05-31 修改稿收到日期：2012-08-30第-作者 张志飞 男，博士，讲师，1983年生扑优化布局问题；变密度优化方法也在阻尼布局优化中得到了应用 ～J，具有与渐进法相似的效果 。杨德庆等 在频率和动响应约束下条件基于阻尼拓扑敏度综合评价研究了阻尼材料拓扑布局优化问题。优化准则法是结构拓扑优化中的常用方法之-l7，郑玲等 基于优化准则法研究了约束阻尼材料优化配置。

但是目前的研究大多针对简单结构算例，在实际结构的应用较少，原因是缺少和有限元软件的联系。

为能将结构拓扑优化方法直接应用于实际结构，本文在导出 自由阻尼材料拓扑优化配置方法的基础上，运 用有 限元 软件 MSC.Nastran的 Direct Matrix第 14期 张志飞等：基于优化准则法的自由阻尼材料拓扑优化Abstraction Program(DMAP)编程语言，编制了可以对实际结构进行阻尼布局优化的拓扑优化程序。以-个铝板 -声腔耦合系统为例，利用试验检验了拓扑优化后部分阻尼处理的降噪效果，验证了优化程序的有效性。

1 优化模型的建立和灵敏度分析1.1 优化模型的建立建立拓扑优化的数学模型是优化的基础，拓扑优化中常用的拓扑表达形式和材料插值模型方法有：均匀化方法，密度法，拓扑函数描述方法和变厚度法等。

本文采用各向正交惩罚材料密度法，即 SIMP(Solid iso-tropic material with penalization mode1)。

基于各向正交惩罚材料密度法 J，以阻尼结构某- 阶模态的模态阻尼比最大化为优化 目标，以阻尼材料的使用量为约束条件，以阻尼层单元的相对密度为设计变量，建立的拓扑优化数学模型为：Find： ： 1， 2，x1J：1，2， ，凡。

Max：叩 ( )S.t： 0.6，V∑ ；J1i 1；(K-∞2 ) 0；式中： 。为第 i阶结构模态的模态阻尼比，即目标函数；V为优化后阻尼材料的体积， 为优化前阻尼材料体积， 为阻尼层单元 的体积； 为阻尼层单元 的相对密度，即设计变量， i 和 1为设计变量 xj的上、下限；K和 M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵，09 和为第i阶结构模态的频率和振型。

1.2 灵敏度分析灵敏度在数学意义上是反映函数对某些自变量的变化梯度，结构设计中的灵敏度分析是分析结构性能参数对结构设计参数变化的敏感程度，即其数值可以反映结构的各设计变量对性能的影响程度。

在利用阻尼材料进行减振降噪时，金属材料是常见的基板材料，而其损耗因子比阻尼材料小数个数量级，可以忽略。因此根据模态应变能方法，用弹性分析得到的实模态振型 近似代替复模态振型 ，可以得到阻尼结构第 i阶模态阻尼比的近似表达式 J：叼 (式中：7 为阻尼材料损耗因子， 为第 i阶模态振型，是阻尼材料刚度矩阵的实部， 是总刚度矩阵的实部，( ) 是第 i阶模态下全部阻尼材料的模态应变能， 是第i阶模态下整个阻尼结构的模态应变能。

式(2)经等式变换，得：v/i K 。叼 沙 (3)单个阻尼层单元的相对密度变化对整个结构的模态振型影响非常校忽略此影响，式(3)两边对阻尼结构单元. 的密度 ，求偏导，得：T K tfr (4)整理得到第 i阶模态阻尼比对阻尼结构单元. 目对密度的灵敏度表达式：- ：：Ut (5)式中：p为惩罚因子，取值为3，叼 为计算得到的结构第i阶模态阻尼比，(u 为第 阶模态下阻尼结构单元的模态应变能， 是第 i阶模态下整个结构的模态应变能。

1.3 设计变量更新准则考虑到实际结构中设计变量个数往往在 10 000个以上，故利用优化准则算法 来推导设计变量的更新公式，求解拓扑优化数学模型。

首先构造由约束条件和目标函数构成的拉格郎日函数为：L(- )A (∑xivj-0.6vo)A2( -∞ ) A 3( i -xi)A4( -1) (6)其中，A ，A：，A。和A 为拉格朗日因子。当 全值时，上面的拉格朗日函数满足 K-71条件：OL/Oxj-叻 /OxjA1 0(∑ )/鸭-A 3A4∑ 0.6Vo，( - 2 ) 0，A 3( i - )0，A4( -1)0，A 3≥0，A4≥0上述的 - 必要条件等价于：- 却 / A1a(∑x；vj)/Oxj0， i

2 阻尼材料优化步骤和流程基于优化准则算法 的阻尼材料拓扑求解过程如下：(1)定义设计变量和非设计变量，设计变量为阻尼材料单元的相对密度，可以随迭代过程变化，初始值为0.6，非设计变量为其他单元相对密度，取固定值 1；(2)组集单元刚度矩阵，得到单元体积，进行模态分析，计算整个结构某阶模态的模态应变能和模态阻尼 比；(3)计算模态阻尼比对阻尼材料单元相对密度的灵敏度；(4)利用推导的变量迭代更新公式，求解拉格朗日因子，进行变量的更新；(5)检查结果是否收敛，如未收敛转(2)循环，如收敛转(6)；(6)输出目标函数和设计变量，结束计算。

图 1 自由阻尼材料拓扑优化流程图Fig.1 The float chan of free damping material optimization基于该拓扑优化流程图，使用 MSC.Nastran提供的DMAP(Direct Matrix Abstraction Program)语言编制自由阻尼材料拓扑优化程序。优化程序利用了 MSC.Nas-tran求解序列SOL103的模态求解功能，在其源程序中加入循环控制、变量初始化、单元刚度阵修改、灵敏度求解、变量更新及结果输出等用 DMAP语言编制的优化拈，从而实现对实际结构的优化分析。

3 实例应用以-铝板 -声腔耦合系统为对象来进行阻尼降噪研究，运用基于 DMAP的优化程序对阻尼进行拓扑优化，结合试验来检验优化程序的有效性。铝板 -声腔耦合系统由铝板、玻璃箱和声腔组成，如图 2(a)所示。

其中铝板厚度为 1.1 mm，玻璃箱长宽高为 600 mm×450 mm×500 mm，壁厚为 12 mm。用 Hypermesh、MSC。

Nastran建立铝板 -声腔耦合系统的有限元模型如图2(b)所示，其中铝板和玻璃箱用壳单元来模拟，声腔用六面体单元模拟。玻璃、铝板和空气 的材料参数见表 1。

嗣 (a) 实体模型 (b) 有限元模型图2 铝板 -声腔耦合系统模型Fig.2 The aluminum-air structure-acoustic coupling model表 1 材料参数Tab.1 The property of materials利用 MSC.Nastran计算得到耦合系统的前四阶模态，与实验模态的对比如下表 2所示，有限元计算结果和实验结果振型-致，频率接近，验证了有限元模型的准确性。

表 2 计算模态与实验模态对比Tab.2 The contrast of calculate mode and experimental mode102 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷声学响应分析，并与未添加阻尼和全部添加阻尼的结果进行对比，如图4所示∩知全部添加阻尼材料与优化后添加阻尼材料，使参考点处的响应峰值分别下降了110.6 Pa和 107.7 Pa，优化起到了较好的效果，在保证降噪效果的的条件下，减少了阻尼材料的使用量。

3.2 试验验证为检验运用拓扑优化程序优化的阻尼材料布局的实际效果，通过试验的办法进行验证。利用力锤作为激励，激励点和响应点的位置均和仿真时-致，分别用力传感器和传声器获取信号，计算得到频响函数。分别针对铝板上未添加阻尼材料、全部添加阻尼材料和优化后部分添加阻尼材料三种状态，测量频响函数，其幅值谱如图7所示。从实验的结果可以看出，阻尼材料起到了很好的降噪效果，全部添加阻尼材料与优化后添加阻尼材料，使参考点处的响应峰值分别下降了22.47 Pa和2O.9l Pa，说明拓扑优化后在减少阻尼材料使用量的同时具有良好的降噪效果。

图7 实验得到的频响函数的幅值谱Fig.7 The amplitude spectrum offrequency response function by experiment对比仿真和实验的结果，可知最大峰值处对应模态的振型均为-阶弯曲。但是峰值结果差异较大，这是由于实际结构的边界条件和阻尼因素无法在仿真中体现。但就所关心的降噪效果来看，两者都表明阻尼材料在经过拓扑优化后，减少了使用量，并保证了较好的降噪效果，从而验证了优化方法的正确性和优化程序的有效性。

4 结 论本文提出了基于优化准则法的自由阻尼材料拓扑优化方法，利用 MSC.Nastran的 DMAP语言编制了通用的自由阻尼材料拓扑优化程序，可对实际结构进行阻尼材料的拓扑优化。以-铝板 -声腔耦合系统为对象，对铝板上自由阻尼材料进行了拓扑优化，结合试验验证了优化方法和优化程序的有效性。