基于多尺度线调频基稀疏信号分解的时变系统模态参数识别

M odal Parameters Identification of Time-varying System Based onMulti-scale Chirplet Sparse Signal DecompositionCHEN Guanbao YU Dejie rLJ Xueming(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body，Hunan University，Changsha 4 1 0082)Abstract： Based on the multi-scale chirp let sparse signal decomposition(MCSSD)，a method for modal parameters identificationof time-varying systems is proposed.In the proposed method，the MCSSD method is used to decompose the vibration responses of amulti-deee-of-freedom linear time-varying system into several single-mode vibration responses，at the same time； thecorresponding instantaneous frequency of each single-mode vibration response can be obtained. By using the envelope andinstantaneous frequency of the single-mode vibration response，the system modal frequency an d modal damping ratio can beidentifed.Compared with the empirical mode decomposition and other time-frequency an alysis methods， the proposed method hasstrong noise immunity an d high identification accuracy，further more，the mode confusion problem in decomposing the vibrationresponse Can be eliminated.Simulation example of the modal param eters identification of a multi.deee of freedom lineartime-varying system shows the effectiveness and accuracy ofthe proposed method。

Key words： Multi-scale chirplet Sparse signal decomposition Time-varying system Modal param eters0 前言作为结构动态性能分析、故障诊断、结构降检测以及结构优化设计等领域的基础，模态参数识别在工程实际中发挥着重要作用 。 在工程中，结构参数(质量、刚度和阻尼)有时是随时间变化的，·国家 自然科学基金资助项 目(50875078)。20120727收到初稿20130408收到修改稿如火箭升空、导弹飞行、结构损伤等♂构的时变特性导致其振动响应信号表现为非平稳信号，从而使得基于傅里叶变换(Fourier transform，rr)的传统信号处理方法难以适用。针对时变系统振动响应信号非平稳的特点，国内外学者研究了将现代非平稳信号处理方法，如维格纳-威利分布(Wigner-Viledistribution，WVD)、小波变换(Wavelet transform，WT)和短时傅里叶变换(Short.time Fourier transfo1"1，STFT)、希尔伯特.黄变换(Hilbert.Huang transform，70 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 13期HHT)等应用于时变系统模态参数识别j J。续秀忠等0 将基于STFT谱图和WVD的两种时频分析方法应用于时变结构模态参数的识别，对刚度突变和随时间连续变化的单 自由度系统模态参数进行了辨识。MAHIR等 通过连续小波变换对-座铁路复合大桥的自由振动响应进行分析，利用固有频率、黏滞阻尼比以及振动幅值的线性关系来识别该大桥的模态参数。BAO等 对 HHT算法进行了改进，克服了 HHT方法的-些缺陷，并将其运用于时变系统的模态频率识别。PAl等 应用 HHT以及自适应滑动窗口对系统的结构参数识别进行了研究。

上述时频方法虽 已研究用于时变系统模态参数识别，但都存在-定缺陷。小波变换使用平行分割的等面积时频窗 ，不能自适应的分解出密集频率成分；由于受不确定原理限制l，基于 STFT的分析方法无法得到令人满意的时频分辨率；而WVD 由于存在二次时频分布的固有缺陷，对于多自由度系统会产生严重的交叉干扰项。由 HUANG等 L1 提 出 的 经 验 模 态 分 解 (Empirical modedecomposition，EMD)方法能自适应地将非平稳振动信 号分 解 为若干 内禀模态 函数 (Intrinsic modefunction，IMF)分量，在模态识别领域已经得到了广泛的应用，但在理论上还存在过包络、欠包络、模态混淆、端点效应等问题。

CANDES等 于 2008年提出了线调频小波路径追踪(Chirplet path pursuit，CPP)算法，并将其应用于地震波的分析，但是这种算法只能对单分量信号进行分析。PENG等u钏在此基础上提出了可以分析多分量信号的多尺度线调频基稀疏分解(Multi.scalechirplet sparse signal decomposition，MCSSD)方法，并将其应用于机械故障诊断中。基于多尺度线调频基的稀疏信号分解方法 自适应的根据信号频率的变化情况选择合适的动态时间支撑区，逐次提取信号中能量最大的信号分量，获取其频率随时问的变化曲线，进而将多分量信号分解为着干个具有物理意义的乘积函数(Product function，PF)分量，其中每个PF分量为-个包络信号和-个纯调频信号的乘积。

本文在多尺度线调频基稀疏信号分解方法的基础上，提出-种线性时变系统的模态参数识别方法。由于n自由度时变系统的自由振动响应是n个相互独立的单模态 自由振动响应的线性叠加，因而可将 MCSSD引入时变系统的模态参数识别。通过对系统响应信号进行 MCSSD分解，可提取出独立的各阶模态振动响应信号，从而在时域上对系统进行解耦，将多自由度系统模态参数识别问题转化为单自由度系统模态参数识别问题。对于单模态振动响应信号，由分解得到的各阶模态振动响应信号的幅值和瞬时频率，即可求出各阶模态的模态频率和模态阻尼比，从而实现时变系统的模态参数识别。

仿真信号分析结果表明，MCSSD 方法具有柔性的匹配性能和 良好的分解精度，克服了 HHT方法存在的模式混淆、端点效应等诸多缺陷，且能保证分量信号的单分量性，是-种有效的时变系统模态参数识别方法。

1 基于多尺度线调频基的稀疏信号分解1.1 信号分解根据信号分析理论，任意信号厂(f)可以展开为- 组基函数的线性组合，即f(t) hn f11n∈Z式中， 为基函数，a 为对应系数。

如果该组基函数为正交基，则可用内积来计算它们的展开系数，即an：< (f)，hn/hnIl所有的标准基函数组成了标准型函数库D，为使分解的信号拥有重构性、系数唯-性以及冗余最小，-般选取标准正交基函数。标准型基函数库设为Dg ，g ，， )。本文选用的多尺度线调频基函数为Dg ，Kaexp[-i(atbt )]l，(f)) (2)由归-化条件得K。j1/ (3)式中，g .，为多尺度线调频基元函数；I为动态时间 支 撑 区 间 ， I[KN2- ～ (k1)N2- ]；为分析尺度系数 ，J0，1，，log2(Ⅳ-1)，N为采样长度，k0，1，，2 -1；a为频率偏置系数，b为频率斜率，口，b与尺度系数，有关，根据采样定理，a2bt应该小于 /2；1(f)为矩形窗函数，当t∈I时为 l，当t I时为 0。

根据稀疏信号分解理论，多尺度线调频基稀疏信号分解方法通过从基函数库 J[)中挑选-组基函数来对厂(f)进行分解，厂(f)在该组基函数的时间支撑区，上具有最大投影系数，且该组基函数的支撑区应该覆盖整个分析信号，不重叠。在第 1个时间支撑区上对原信号做基函数的投影，其投影系数计算公式为 m a，x< (f)，g ，6，> (4)2013年7月 陈关宝等：基于多尺度线调频基稀疏信号分解的时变系统模态参数识别 71假设分析信号为， )rcos(tg(t) )r[exp(-iO(t) )exp(iS(t)4)]/2则支撑区 内的最大投影系数1max(f(t)，ga，b，1)≈÷，exp(-i ) (5)由此可见投影系数 包含了分解信号的幅值信息和初始相位信息，对应的基函数则包含了分解信号的频偏信息和频率斜率信息。由此可得第 个动态支撑区内用最大投影系数代表的分解信号，记为cat)2l历l exp[-i(atbt -a(2fl)]1，(f) (6)式中，a(2 )为求惹度的函数。

在动态时间支撑区，内有(f)cat) (f)将残余信号 (f)进行下-层分解，则可将信号在选定的线调频基元函数上展开为如下形式-苎'-厂(f) < 厂(f)，g >g々 r删l厂(f) (7)其中残余信号rif(t)-1厂(f)-g - l在每次分解过程中，使分量信号的f2范数达到最大Irnf(t) rnf(t)， >g if(t) 1g ：argmx[I< 厂o)，g >g I： 8残余信号的能量随着分解次数的增加趋于零。

1.2 瞬时幅值提取在第 1个动态支撑区内有(f)2屏2ma，x<厂(f)，g ，6，> (9)时变系统的模态参数识别要求分解信号的幅值具有较高精度，如果在每段支撑时间区上都用-个常数来拟合信号的幅值，势必会平滑信号的局部幅值信息，从而造成模态参数识别结果误差较大。

为提高分解信号的幅值精度，应对每段支撑时间上的幅值进行修正，使残余信号能量最校本文采用二次拟合方法来提取分解信号的幅值精度。首先是局部拟合，即在每段支撑时间区上用多项式来拟合幅值曲线，从而对局部幅值进行修正。设每段支撑时间区上的分量信号为cj(t)4(t)cos(aft -a(2fl1))1，(f) (10)式中， ，(D为二次多项式，通过调整多项式系数力使min[fl(t)-.4I(t)cos(27c tbt -口(2 )) 1 )tel式(11)满足了残余信号能量的局部最携，得到了每段支撑时间区上幅值最优的多项式拟合，再将各段局部拟合曲线拼接，即可得到整个支撑时间区上的瞬时幅值曲线。然而该瞬时幅值曲线仅满足了残余信号能量局部最携条件，全局能量最携条件并不满足，所以需要对该瞬时幅值曲线进行全局拟合，使得全局幅值连续，即mi"ZZI，O-A(t)cos(2n(atbt -口(2屏(12)式中， (f)为分量幅值的全局最优拟合函数，即分量信号的瞬时幅值曲线。本文提出的模态参数识别方法要对分量幅值进行-阶、二阶求导。采用多项式对分量幅值进行全局拟合时，由于多项式拟合时会丢失较多的局部幅值信息，且求导后其阶次会降低，精度下降，误差进-步放大，因此会导致模态参数识别结果出现较大误差。比较多种拟合函数，发现傅里叶级数拟合在求导后误差仍可以得到很好的控制，因而在分量幅值全局拟合时选择了傅里叶级数。

n阶傅里叶级数展开有如下形式F(n， )a0a1 cos(xco)61 sin(xto)an cos(nxro) sin(nxco) (13)式中，a0 c/ -，an 61， ，， 以及国为待定参数，x为自变量。傅里叶级数展开拟合需要先确定拟合函数的阶次，然后利用基于迭代算法的非线性最小二乘法(Nonlinear least square method，NLSM)使原函数与函数F(n， )的绝对误差平方和最小，从而求得上述各个待定参数。

1.3 瞬时频率提取在第 个时段内，有(f)dl atbt -口(2屏)I/df口bt (14)a(2flt)在每-时段中为-常数，所以其对时间求导为 0，即d[a(2fli)]/dr0。

将每-时段的 (f)进行首尾拼接，即可得到频率序列(f)∑4(0 (15)以co(t)表示分量信号的瞬时频率，根据得到的频率序列的形式，用傅里叶级数或多项式拟合co(t)，利用非线性最小二乘法或最小二乘法，从下72 机 械 工 程 学 报 第49卷第 l3期式求得分量信号的瞬时频率)- min本文对分量信号幅值全局拟合和瞬时频率拟合均采用六阶傅里叶级数。

2 基于 MCSSD的时变模态参数识别2.1 时变结构振动晌应分析/'自由度黏滞阻尼系统的自由振动方程为mX(t)cX(t) (f)0 (16)式中，m，c，k是 ×rl阶的质量、刚度、阻尼矩阵；(f)( ，X2，， ) 是响应列阵。

引入恒等式mX(t)-mX(t)0 (17)将式(16)、(17)联立，得By0 (18) m0] ] (x )T J，l 口 -脚 、其特征方程为(sAB)y0 (19)式(19)亦可整理为sy (20)。 - 七 -式中，D为动力矩阵，其为2 阶非对称矩阵。采用 冻结法”从式(20)求系统模态参数。假设无重特征值，动力矩阵D的特征值将为 对共轭特征值。

记其第i对复特征值为 (f) (f) ai(t)-jfli(t)则系统第 i阶有阻尼模态频率为02d，(t) (f) (21)模态频率为 √ o) (f)√l- (f) ) (22)毒(f)为模态阻尼比，表达式为ai(t)(23) 、/ f) (f)将各阶特征值代入式(19)，可求得2 个对应的复特征矢量( .，( ，㈨记讣S：l S UtlI .]I .1称为系统的复振型矩阵。

S /l作坐标变换㈢可将系统振动方程在模态坐标下解耦，系统的自由振动响应可表示为1 5J(f)∑q (0)exp(s f)( )g (0)exp(sff)( )(25)以 lf，腩表 示 ，的 第 k个 分 量 ， 并 设r/j，(t)exp[iyi，(t)]，qk(0)gk(t)exp[iO，(t)]，Sk-ak(t)i (f)，则可得到系统第 点的振动响应为xj(t)：2Zflyk(t)g，(t)exp[- (f)f]×cos[A(f)f (f)7jk(t)∑ (f)cos[ (f (f)] (26)式中 (f)2g (t)rb，(t)exp[-ak(t)t]Ook(f) (f)Yjk(t)Oo (f)-- f时刻的初相位 。

2.2 基于MCSSD的模态解耦从式(26)可以看出，V/自由度时变系统某点的自由振动响应是，z个相互独立的单模态 自由振动响应信号的线性叠加，可以写成 个调幅调频信号的和。而多尺度线调频基稀疏信号分解方法可以将-个多分量信号分解成多个具有物理意义的单分量信号，即可以将响应信号按照频率分解为多个单模态的自由振动响应，从而使得振动响应信号在时域上解耦。也就是说，通过 MCSSD分解，可将多自由度系统的模态参数识别问题转化为单自由度系统的模态参数识别问题，其分解得到的每-个分量是已解耦的单模态自由振动信号，它可用-个纯调频信号和-个包络信号的乘积来近似表示。MCSSD 分解提取的分量信号瞬时幅值为单模态响应信号的幅值，分量信号的瞬时频率即为该阶模态的有阻尼模态频率。

2013年7月 陈关宝等：基于多尺度线调频基稀疏信号分解的时变系统模态参数识别 75部模态频率识别误差较大，这是由于 EEMD在该局部没有很好地实现模态分离，如图5中IMF7在4 S以后未完全模态分离，导致该阶模态频率识别出现较大误差。

时间 s图 8 EEMD识别得到的三阶模态频率时间珧图 9 EEMD识别得到的三阶模态阻尼比对比图7和图 9，发现基于EEMD方法的模态阻尼比识别结果误差很大，这是因为EEMD对于各阶分量幅值的提取不完整，出现了丢失，而模态阻尼比对于幅值是极度敏感的。而基于 MCSSD方法的模态阻尼比识别虽达到了-定的精度，但是较模态频率识别精度低，也是由于其对幅值敏感造成的。

从图7还可看出，模态阻尼比识别值的两端出现类似于 EEMD分解的端点效应，其原因是对幅值进行整体拟合过程中，端点处数据较少，使得拟合出现了较大的偏差。

为说 明误差大小，定义平均相对误差函数(Mean relative error，MRE)，假设有效点数为Ⅳ，第f点理论值为 ，识别值为 ，记 MRE值为 ，则1 N 1.. 0 l： I l×100% (39) Ⅳ l 值越小，代表总体误差越校对 3自由度系统模态参数的识别结果进行了平均相对误差计算，结果如下表所示。由于存在端点效应，计算平均相对误差时剔除了端点效应较大的数据点。表中-”代表该参数无法识别，因而无计算MRE值的必要。

表 识别结果平均相对误差值从表中可以看出，基于 MCSSD方法识别的模态频率能达到很高的精度；基于 EEMD方法的识别的模态频率也可达到较高精度，但是其对小能量模态信号难以有效识别，如第-阶模态频率。由于对幅值敏感，EEMD方法对模态阻尼比难以有效进行识别；而基于 MCSSD方法的模态阻尼比识别结果仍然达到了-定的精度， 值为 8%左右，可应用于工程实际。

4 结论(1)n自由度线性时变系统的自由振动响应信号是n个相互独立的单模态自由振动响应信号的线性叠加 ，可以写成多个调幅调频信号的和 。而MCSSD可以自适应地将多分量信号分解为若干个具有物理意义的PF分量，其中每个 PF分量为-个包络信号和-个纯调频信号的乘积。从而可利用MCSsD对多自由度系统振动响应进行解耦。

(2)MCSSD对噪声不敏感，分量信号的幅值和瞬时频率从分解过程中直接得到，不需要像 EMD分解那样需要后续处理才能得到信号的时频分布。

(3)对某 3自由度线性时变系统的仿真表明，EEMD 对于含有噪声的振动响应信号不能完全解耦，出现了局部的模态混淆现象。而 MCSSD方法能有效地对线性时变多自由度系统的振动响应信号进行模态解耦，其得到的分量信号幅值与和瞬时频率精度高，由此识别出的模态频率和阻尼比达到了较高的精度。

(4)本文提出的时变系统模态参数识别方法对于幅值敏感，提取的幅值误差在求导过程中容易放大，使得阻尼比识别结果两端会出现-定的端点效应，但总体精度仍满足工程要求。

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