基于信号共振稀疏分解与重分配小波尺度谱的转子碰摩故障诊断方法

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Rub·impact diagnosis of rotors with resonance-based sparsesignal decomposition and reassigned wavelet scalogramCHEN Xiang-min，YU De yie，LI Rong(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body，Hunan University，Changsha 410082，China)Abstract： A method for rub-impact diagnosis of rotors based on resonance-based sparse signal decomposition andreassigned wavelet scalogram was proposed here. Difering from the tradition signal decomposition method based onfrequency band，with the resonance-based sparse signal decomposition method a signal was decomposed into higherresonance components and lower resonance components according to their Q-factors.When a rub-impact OCCUlTed in arotor system，the vibration signal was composed of periodic signals mainly containing rotor rotating frequency componentsand their harmonics，transient impulse signals with rotor fault information and noise.Periodic signals were a narrow bandsignal with a higher Q-factor，and could be decomposed into higher resonance components；while transient impulse signalswere a wideband signal with a lower Q-factor，and could be decomposed into lower resonance components.With theproposed method，impulse components were extracted from a rub-impact signal of rotors using the resonance-based sparsesignal decomposition，they were analyzed with the reassigned wavelet scalogram and the fault of rub-impact in a rotorsystem was diagnosed according to the periods of impulse components in the scalogram. Simulations and applicationexamples showed that the proposed method is effective to diagnose rub-impact faults of rotor systems。

Key words：Q-factor；resonance；morphological component analysis；reassigned wavelet scalogram；rotor rub-im。

pact近年来，旋转机械不断向着柔性化、高速化的方向发展，为了提高机组效率，转子与定子之间的间隙越来校当转子的振动幅值大于转子与定子之间的间隙，必然会发生动定件碰摩。转子碰摩轻则引起机械基金项 目：国家 自然科学基金(51275161)；广东省省部产学研结合项目(2009B090300312)；湖南势技计划资助 (2012SK3184)；高等学校博士学科点专项科研基金(20090161 1 10006)资助项 目收稿 日期：2012-05-25 修改稿收到日期：2012-07-25第-作者 陈向民 男，博士生，1984年生通讯作者 于德介 男，博士，教授，博士生导师，1957年生异常振动、磨损，重则会导致断轴等恶性事故 ，造成巨大的经济损失 。因此，转子动定件碰摩故障诊断技术研究具有重要意义。

当转子系统中出现动静碰摩故障时，由于转子与定子的周期性碰撞，故障信号中常常伴有周期性瞬态冲击，其振动信号呈非平稳性，此时，基于平稳假设的Fourier分析并不适用。

时频分析方法常用于非平稳信号的分析，常用的时频分析方法有短时傅里叶变换、Wigner。Vile分布、小波变换等 J。小波变换通过伸缩和平移运算对信号进越 时28 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷行多尺度细化分析，是-种多分辨时频分析方法，在时域、频域都有表征信号局部特征的能力，能有效地从信号中提取时频信息3 J。与傅里叶变换中的功率谱对应，小波尺度谱可看做-个恒定带宽的谱图，能够显示信号的时频特性，因其不含干扰项，且可很好地解决信号时间和频率分辨率的矛盾，特别适合非线性、非平稳信号的分析，常用于转子碰摩等机械故障的特征提取 j。重分配小波尺度谱是对小波尺度谱的-种再分配方法，具有更好的时频集中性和较少的干扰项，提高了信号时频分布的可读性。因此，重分配小波尺度谱在转子故障诊断领域得到了广泛的应用 j。但由于在转子碰摩故障振动信号中，特别是早期故障时，包含故障特征信息的瞬态冲击成分微弱，常被工频及其谐波等背景噪声淹没，导致重分配小波尺度谱中的瞬态冲击成分不明显，因而，需预先对转子碰摩故障中的瞬态冲击成分进行提取，以削弱背景噪声的干扰。

与传统的基于频带划分的信号分解方法不同，该方法根据瞬态冲击信号与持续振荡周期信号品质因子(定义为中心频率与频率带宽的比值，用Q表示)的不同，将-个复杂信号分解成由持续振荡成分组成的高共振分量和由瞬态冲击成分组成的低共振分量。瞬态冲击信号为宽带信号，具有低的品质因子；而持续振荡周期信号为窄带信号，具有高的品质因子，因而，根据品质因子的差异，可实现瞬态冲击信号与持续振荡周期信号的有效分离。信号共振稀疏分解方法首先根据待分析信号选择两种高低不同的品质因子，通过品质因子可调小波变换分别建立高共振分量与低共振分量的稀疏表示形式，再利用形态分量分析方法建立稀疏分解目标函数，最后通过分裂增广拉格朗日收缩算法优化求解，得到信号的高共振分量和低共振分量。

由于信号共振稀疏分解方法能有效地分离信号中的持续振荡周期成分与瞬态冲击成分，而重分配小波尺度谱则能较好地刻画非平稳冲击成分的时频特性，因此，本文结合信号共振稀疏分解方法与重分配小波尺度谱方法，提出了基于信号共振稀疏分解与重分配小波尺度谱的转子碰摩故障诊断方法。当转子系统发生碰摩故障时，重要的故障信息往往包含在瞬态冲击信号中。信号共振稀疏分解方法根据转子系统工频及其谐波等背景噪声与瞬态冲击品质因子的不同，将信号分解成包含背景噪声的高共振分量和包含冲击成分的低共振分量。由于低共振分量中的瞬态冲击成分呈非平稳性，需利用时频分析方法分析其时频特征，因而，本文采用重分配小波尺度谱对低共振成分进行分析，获取其时频特征，再根据尺度图中的冲击时间间隔进行故障诊断。算法仿真和应用实例验证了本文方法诊断转子碰摩故障的有效性。

1 信号共振稀疏分解方法1.1 信号的共振属性信号的共振属性用品质因子 Q定义。Q越大，信号的频率聚集性越好，具有越高的共振属性；反之，Q越小，信号的时间聚集性越好，具有越低的共振属性。

图1表示了信号共振属性的概念。图1左边为信号时域波形图，右边为对应的幅值谱图。图 1(a)、图 1(C)为单周期脉冲信号，品质因子Q较小，定义为低共振信号；图 1(b)、图1(d)为持续多个周期的脉冲信号，品质因子 Q较大，定义为高共振信号。图 1(a)所示信号与图1(c)所示信号、图1(b)所示信号与图1(d)所示信号之间可通过时间尺度的变化互相转化，时间尺度的变化会引起脉冲信号频率发生变化，但对信号的共振属性没有影响，即具有相同的品质因子。所以高、低共振信号都可能同时包含了低频信号和高频信号。高共振信号可通过具有高 Q的基函数来实现稀疏表示，而低共振信号则可通过具有低 Q的基函数来实现稀疏表示。

采样点数Ⅳ 归-化频率，7Hz(a)Q1采样点数Ⅳ 归-化频率 Hz(b)Q3采样点数N 归-化频率∥Hz(c)QI采样点数Ⅳ 归-化频率 Hz(d)Q3图1 不同品质因子信号的时域波形及频谱Fig.1 The time domain waveform and amplitude spectrum of signals with different Q-factor传统的线性滤波方法按频带划分对信号进行分解，但当信号中多个分量的中心频率相近且频带相互重叠时，如图1中(a)与(b)、(c)与(d)所示信号的中心频率重叠在-起，此时线性滤波方法就会失效，而信号共振稀疏分解方法从信号共振属性角度出发，综合考虑了信号中心频率与频率带宽因素，能有效分离中心频率相近且中心频率带相互重叠但具有不同品质因子的信号分量。

第13期 陈向民等：基于信号共振稀疏分解与重分配小波尺度谱的转子碰摩故障诊断方法 291.2 品质因子可调小波变换二进制小波变换作为-种恒 Q变换(其 Q值由所样函数确定)，在对分段光滑信号的稀疏表示中显示了其有效性，但由于其品质因子相对较低，频率分辨率不高，因而在对频率分辨率要求较高的信号分析中，二进制小波不适用 。有理膨胀小波 本质上为-种过完备的二进制小波变换，相对于二进制小波具有更高的品质因子和更高的频率分辨率。品质因子可调小波变换 与有理膨胀小波变换类似，具有完全离散、完美重构、适度完备、依赖于两通道滤波器组，并利用离散傅里叶变换计算等特点。但相对于有理膨胀小波变换，品质因子可调小波变换概念简单；利用基为2的快速傅里叶算法，计算更加高效；品质因子和冗余度更容易量化。

信号共振稀疏分解方法利用品质因子可调小波变换分别获取高Q变换与低 Q变换的基函数库，并计算其相应的变换系数。品质因子可调小波变换通过带通滤波器组实现，其两通道滤波器组如图2所示。

v1(a)分解滤波器组(b)合成滤波器组图2 两通道滤波器组Fig.2 The two·channel filter bank图中：卢为高通尺度因子， 万 ； 为低通尺度因子， 1-旦，r表示冗余度。子带信号 (rt)的采，样频率为 ， (n)的采样频率为 ， 为原信号(n)的采样频率。

品质因子可调小波变换利用图2(a)所示两通道分解滤波器组以迭代的方式实现信号的分解，其信号的层变换如图3所示，图3中 表示信号经过第 层变换得到的高频系数 ， 表示经过第 层变换得到的低频系数， 1，，。

图 3 品质因子可调小波变换图Fig.3 Wavelet transform with tunable Q-factor图4(a)为品质因子Q3，冗余度r3，分解层数L12时的品质因子可调小波变换的频率响应图，从图中可以看出其频率响应为-组非恒定带宽的滤波器组，且相邻频带并不正交。随着分解层数 的增加，中心频率 ： ：1，， (1)随之降低 ，相应的带宽 ：BW 8 ～ 1，，L (2)也随之减少。因此，品质因子可调小波变换本质上也为-种具有-定冗余度的恒 Q小波变换，但其品质因子可预先设定，并不依赖于基函数。图4(b)为相应的小波时域波形 图，从 图中可看出，随着分解层数的增加，小波的振动时间随之变长。

1鎏0.5O0 O.1 O.2 0.3 0.4 0.5归-化频率flHz50 100 150 200采样点数.Ⅳ(b)时域波形图4 Q3，r3，L12时的品质因子可调小波频率响应与时域波形Fig.4 Frequency response and time domain waveformof the tunable Q-factor wavelet when Q 3，r3，L122 3 4 5 6 7 8 9竹 ”住振 动 与 冲 击 2013年第 32卷1.3 高共振分量和低共振分量的分离信号共振稀疏分解方法利用形态分量分析 将信号中各成分按振荡特性进行非线性分离，建立起高共振分量和低共振分量各 自的最佳稀疏表示形式。

假定观测信号 可表示为两个信号 与 之和： 1 2， 1， 2∈R (3)形态分量分析的目的即是从观测信号 中分别估计出源信号 和 ：。假定信号 和 可分别用基函数库(或框架)S 和 5：表示 (S。、S 具有低 的相关性)，形态分量分析的-种目标函数可表示为：J(W ，W )1Ix-S W -s A l Il Azl r2Il (4)式中： ， 分别表示信号 ， ：在框架 S ，5：下的变换系数；A ，A 为规则化参数，A 、A 的取值对分解出的高共振分量与低共振分量的能量分配有影响，给定 A ，增大 A 会使 A 所对应分量的能量减少；同时增大A 、A 的值，则会使残余信号能量增大 。

在式(4)中，由于 Z 范数不可微、且参数较多，使得式(4)的求解变得困难 。。。信号共振稀疏分解方法利用分裂增广拉格朗 日搜索算法 ，通过迭代更新变换系数 ， ，使目标函数 .，最携，最终实现高共振分量和低共振分量的有效分离。

假设 目标函数 .，最小时，对应的高共振和低共振变换系数分别为 ， ，则求取的高共振分量和低共振分量的估计值分别表示为： 1SWx， 2S2 (5)2 重分配小波尺度谱对于所有 (t)， (t)∈L (R)， (t)的连续小波逆变换为：1 ，∞ r∞( ) fo (口，b； ) 。，6( )dadb(6)- 田 - 田 式中：a为尺度因子，b为平移因子， (t)为母小波，C 为容许性条件， (a，b； )为小波系数。由逆变换可知，信号 (t)的小波变换没有损失任何信息，变换是能量守恒的，因而下式成立：J- f ( ) dt La-2d口J- f (口，6； )I。db(7).sG (n，b； )l (a，b； )I 称为小波尺度谱，尺度谱可以看作-个有恒定相对带宽的谱图，能够反映信号的时频信息。若 (t)的中心角频率为 ∞。，l (a，b； )l 表示时频面上以( 0/a ，alt b )为几何中心的-个局域的能量密度的平均值，但由于在这- 个局域内能量分布并不几何对称，因此，应该把该平均值分配到该局域能量的重心( 。/a ，ait b )。

重分配后的尺度谱RSG (a，b； )可由下式给出：RS (。，b)f(a/a) SG(。，b； )6[b-b (a，b)]6[a-a (a，b)]dadb (8)其中：b (a，b) erex b ) L f (口， ； )f J： a (a，b) a 。

m a b ) (10) l (，； )I JIfr Ifr( )， ( ) ( ) (11)重分配小波尺度谱通过对小波尺度谱能量重心的再分配，改善了尺度谱的集中性，在-定程度上消除了干扰项，使重分配后的尺度谱能更好地反映振动信号的时频特性。

3 基于信号共振稀疏分解与重分配小波尺度谱的转子碰摩故障诊断当转子系统中出现动静碰摩故障时，由于转子与定子的周期性碰撞，故障信号中常常伴有周期性瞬态冲击。但在早期碰摩时，冲击脉冲微弱，淹没在转子自身强背景噪声环境中，不易察觉。信号共振稀疏分解方法根据转子信号中谐波成分与冲击成分品质因子的不同，将转子碰摩故障信号分解成包含转子转频及谐波的高共振分量和包含瞬态冲击成分的低共振分量。

瞬态冲击成分包含了转子碰摩故障的重要信息，但呈非平稳性，需利用时频分析方法对其进行分析，获取时频特性。因此，本文采用重分配小波尺度谱对低共振分量进行分析，根据尺度图中的冲击周期诊断转子碰摩故障。

基于信号共振稀疏分解与重分配小波尺度谱的转子碰摩故障诊断的步骤如下：(1)根据转子碰摩故障信号 ，选取高共振品质因子 P ，低共振品质因子 Q (Q -般取 1，Q 取 4即可)；高品质因子变换冗余度 r 、低品质因子变换冗余度r (r 、r：-般取3即可)；高品质因子变换分解层数、低品质因子变换分解层数 (随着分解层数的增加，对低频段成分的分解将越细微，但计算时间将增加。最大分解层数公式为：L≤ ，Ⅳ为信号长度)；本文中取 Q 4，Q：1，r。r 3，L 27，L26；(2)根据步骤(1)中参数，分别获取高 Q品质因子可调小波变换与低 Q品质因子可调小波变换的基函第13期 陈向民等：基于信号共振稀疏分解与重分配小波尺度谱的转子碰摩故障诊断方法 31数库 S。、 ：，并利用基函数库分别对待分析信号 进行变换，获取初始变换系数 、 ；(3)确定规则化参数 A 、A：(本文中取 A A 0.5)；建立如式(4)所示 目标函数 I，，利用分裂增广拉格朗日收缩算法估计出最优的变换系数 、 ，并利用式(5)分别计算高共振分量 和低共振分量 及残余信号，即信号重构误差 FC$ - - ：。

(4)由于 Morlet小波对机械故障冲击有 良好的匹配性能，故选其作为母波，利用重分配小波尺度谱对低共振分量 进行分析，根据尺度图中的冲击周期诊断转子碰摩故障。

4 算法仿真当转子系统出现动静碰摩故障时，随着轴的周期性旋转，其振动信号中往往包含周期性的瞬态冲击成分。设置式(12)所示冲击信号，冲击信号载波频率为520 Hz，衰减系数为 -420。用频率f100 Hz的正弦信号对式(12)所示冲击信号进行调制，即冲击之间的时间间隔 T0.01 S。信号采样频率为4 096 Hz，采样点数为 1 024，时长0.25 S，得到的周期性冲击信号时域波形如图5(a)所示。为模拟工频及其谐波干扰，加入频率分别为ft 100 Hz和A 200 Hz、幅值均为 5的正弦信号，两正弦信号的和如图5(b)所示，得到的合成信号如图6所示。由图 6可见冲击信号完全被正弦信号所淹没。

e(-4 0 X cos(2×叮读×520) (12)0-50罂. 0.51O函 5罂 05I I五I k l I l5 10 15 20 25t×10 /s(a)周期冲击信号f×l0 /s(b)两正弦信号之和图5 周期冲击信号与两正弦信号之和Fig.5 Periodic impulse signal andthe slim of two sinusoidal signals对图6所示合成信号做重分配小波尺度谱分析，得到的重分配小波尺度谱如图7所示。从图7中可看出，图中仅包含两正弦成分，未出现明显冲击现象。

1O逼5粤 0.55 1O 15 20 25t×l0。2/s图6 合成信号Fig.6 The synthesis signal图7 合成信号重分配小波尺度谱g.7 Reassigned wavelet scalogram of the synthesis signal对图6所示合成信号进行信号共振稀疏分解，得到的高共振分量和低共振分量如图8所示。图8(a)中信号平滑，主要包含两正弦信号成分；而图8(b)中冲击明显，与图5(a)所示冲击基本吻合，说明信号共振稀疏分解方法能有效地实现信号中正弦成分与冲击成分的分离。图8(c)为残余分量，即重构误差，可看出其能量非常小，表明信号共振稀疏分解方法有较好的重构性能(由于其能量很小，下文中将其忽略)。

.O.55耋t×lO2/s(a)高共振分量l I l J L/、J 广- n l L lh5 1O 15 20 25f×1###2/s(b)低共振分量5 1O 15 20 25tx lO-2/s(C)残余分量图8 合成信号信号共振稀疏分解Fig.8 Signal resonance sparse decompositionresults of the synthesis signal32 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷为进-步分析低共振分量中的频率成分，对图8(b)所示低共振分量进行重分配小波尺度谱分析，得到的重分配小波尺度谱如图9所示。图中低频段存在干扰，高频段存在冲击成分(冲击在时频图中表现为垂直时间轴的直线)。对比图7，图9中冲击明显，冲击的中心频率在 520 Hz左右，与式(12)相符，且冲击之间的时间间隔 -0.01 S，即冲击出现的频率f100 Hz，与实验设置相符，验证了本文方法的有效性。

15105O5 1O 15 20 25f×10。2/s图9 低共振分量重分配小波尺度谱Fig.9 Reassigned wavelet scalogramof low resonance component5 应用实例为验证基于信号共振稀疏分解与重分配小波尺度谱的转子碰摩故障诊断方法的有效性，进行了转子单点碰摩实验。转子碰摩实验装置结构示意图如图 10所示。图中采用-个可调间隙的轴承(部件 8)来实现碰摩故障的模拟实验。

1.电机 2.轴承 1 3.轴( 10) 4.轴承 25.圆盘 6.电涡流位移传感器(测垂直方向)7.尺寸定位块 8.可调间隙轴承图 10 转子碰摩实验装置结构示意图Fig.10 The structural diagram of therotor test rig for rub-impact experimentg2O。

0 4 8 12 16，×10 /s图 11 转子动静碰摩振动信号Fig.1 1 Vibration signal of the rotor with rub-impact fault实验中采用电涡流位移传感器拾取位移信号，转轴工频为3 000 r/min，采样频率为6 400 Hz，采样点数为 1 024，时长为0.16 S。拾取的转子动静碰摩位移信号如图11所示。

对图 1 1所示信号进行重分配小波尺度谱分析，得到的重分配小波尺度谱图如图 12所示，图中可看出，图中主要包含其工频成分，冲击现象不明显。

86a× 200 4 8 12 16，×1O。 /s图 l2 转子信号重分配小波尺度谱Fig.12 Reassigned wavelet scalogram of the rotor signal对转子原始振动信号进行信号共振稀疏分解，得到的分量如图13所示。从图 13(a)中可以看出，信号变化平缓，其主要成分由转频及其谐波信号构成；而在图13(b)中峰值突出，但由于脉冲较宽，尚无法肯定峰值为冲击。为进-步确定低共振分量中的频率成分及冲击特性，对 13(b)所示低共振分量进行重分配小波尺度谱分析，得到的重分配小波尺度图如图 14所示。

对比图 12可见，图 14中冲击现象明显，冲击之间的时间间隔 r， 0.02 S，冲击出现的频率.厂50 Hz，即说明转子每转-圈产生-个冲击，与转子单点碰摩故障特征相符，验证了本文方法诊断转子碰摩故障的有效性。

1O 0.1O-200 4 8 12 16t×1O。0/s(a)转子振动信号高共振分量g1O薹。5t×l0 /s(b)转子振动信号低共振分量图13 转子动静碰摩振动信号信号共振稀疏分解Fig.13 Signal resonance sparse decomposition resultsof vibration signal of the rotor with rub-impact fault6 结 论(1)与传统的基于频带划分的信号分解方法不同，信号共振稀疏分解方法根据转子系统瞬态冲击与背景噪声品质因子的不同，将信号分解成包含背景噪第 13期 陈向民等：基于信号共振稀疏分解与重分配小波尺度谱的转子碰摩故障诊断方法 33N- ×图 14 转子低共振分量重分配小波尺度谱Fig.14 Reassigned wavelet scalogramof low resonance component of the rotor声的高共振分量和包含瞬态冲击的低共振分量，有效地实现了背景噪声与故障信息的分离。

(2)利用本文方法对仿真数据和实测转子碰摩数据进行分析，结果表明，采用信号共振稀疏分解方法对信号进行分解 ，实现工频及其谐波与瞬态冲击的分离，再对分离出的瞬态冲击进行重分配小波尺度谱分析，能有效地凸显尺度谱中的转子碰摩故障特征。