声子晶体角式组合杆的减振性能研究

Research on the vibration reduction characteristics of anangle-type combined rod of phononic crystalsSHU Haisheng，GAO Ye，ZHANG Fa，GAO Enwu，DONG Liqiang，LI Shidan(College of Mechanical and Electrical Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China)Abstract：In considering the examination of undesirable vibration reduction effects of straight rod of phononic crys-tals(PCs)，an angle-type combined rod of PCs was proposed in this article，which also focused on vibration reduc-tion ability of broad band and multi-dimensions.The combined rod was analyzed theoretically by means of a transfermatrix method and then calculated numerically by utilizing MATLAB software.The numerical results were tested byusing simulation and experiments.The analysis result reveals that the combined PCs rod can realize the functions ofvibration reduction of three dimensions in bending stop bands and that of two dimensions in longitudinal stop bands。

Therefore.it has already been established to be an excellent structural component of broad-band and multi-dimen。

sion vibration reduction.The crossing angle and loading angle have important influences on the characteristics of vi-bration reduction of the combined PCs rod。

Keywords：phononic crystals；combined rod；transfer matrix method；stop bands；vibration reduction characteristics现有声子晶体的研究很多，主要集中在带隙形成机理和带隙计算方法等领域 ，应用研究 驯较为少见.研究对象基本上是单-构型的声子晶体，如杆、梁、轴 ，以及格栅和板等 ，而对实际应用中常见的各种组合形式的结构件却未见分析.另-方面，弯曲波在声子晶体中传播时，所形成的带隙中心频率-般较低，而纵波较高，二者往往不在同-频段，因此使用任何-种单-形式的结构-般只利用了其弯曲带隙或纵向带隙，振动衰减频带较窄.不仅收稿 日期：2012-06-05. 网络出版时间：2O134-2。

基金项目：中央高校基本科研业务费 自由探索计划基金资助项 目(HEUCFI20705)；中 国 博 士 后 科 学 基 金 资 助 项 目(2012M520705)；哈尔滨工程大学 2011级研究生培养基金资助项目(00207001060906)。

通信作者：舒海生，E-mail：shuhaisheng###hrbeu.edu.cn。

如此，此类结构还存在减振维度较低的局限性，以声子晶体直杆为例，其弯曲带隙的衰减作用可以抑制垂直于杆轴线的面内弯曲振动，而其纵向带隙只能抑制沿轴线方向的纵振，因而可以说直杆在弯曲带隙内仅具有二维减振能力，而在纵向带隙内只具有- 维减振能力.由于工程应用中的激扰往往是多方向的，因而直杆结构不能很好地满足三维减振需求。

鉴于此，本文设计了-种声子晶体角式组合杆，该角杆可以实现纵波(横波)向横波(纵波)的转化，从而将这 2种带隙同时包括进来，有效地拓展了振动衰减范围，同时还获得了弯曲带隙内的三维减振和纵向带隙内的二维减振能力.此外，在低频区域，在某些特定的加载情况下 由于形成了悬臂梁 -振子”隔振体系，也能够获得-定的减振能力，从而使得该· 506· 哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报 第 34卷角杆的减振性能进-步得到了提高。

1 声子晶体角杆的振动理论分析图 1给出了声子晶体角杆的结构，上下两杆材料分布和周期结构尺寸完全相同，并呈直角固联，其振动可解耦为角杆面内振动和面外振动。

璃图 1 声子 晶体角杆Fig.1 Angle-type combined rod of PCs1.1 面内与面外振动的传递矩阵法分析面内振动分为面内弯曲和面内纵向振动，对于每- 段直梁而言，二者是解耦的，而对于整个角杆，由于结合处的转换作用，将使得总振动表现出耦合特I生。

当弯曲波在单独的下杆(杆 I)或上杆(杆 Ⅱ)中传播时，不同周期间的传递关系可写为 。 A ] A zB I-rI I- l I n2 (n-1)D j lD ：位移解的系数列阵， ： 表征杆Ⅱ第m周期中第1子段的弯曲振动位移解的系数列阵， 。为相邻周期中材料 PMMA段之间的弯曲波传递矩阵， 为杆内相邻周期材料 A 段之间的弯曲波传递矩阵。

对杆 I、杆 Ⅱ而言，纵波在不同周期间的传递关系可写为： '(3)17 4式中： 以I表征杆 I第 周期中第 2子段的纵向振动位移解的系数列阵， 。表征杆Ⅱ第 m周期中第 1子段的纵向振动位移解的系数列阵， 。为相邻周期材料 PMMA之间的纵波传递矩阵， 为相邻周期材料A 之间的纵波传递矩阵。

引入 ， [ ，式(1)～(4)可 J Lm1进-步写成： o(5)0 。

。 ： o (6)L 0 。嚣 J设杆 I在两杆结合处为第 n周期，而杆 Ⅱ在结合处为第 1周期.根据结合处杆 I和杆 Ⅱ的位移、应力、转角和弯矩等协调条件，有 Ho Ko . (7)： 。

，(1) 其中，Ho · . (2)式中： 表征杆 I第 周期中第 2子段的弯曲振动 COS(A2a)A；sin(A2a)- A2sin(A2a)- ，2枷2 (h2a)00sin(A2a)- ，2A c0s(A2a)A2cos(A2a)- sin( )00ch(Aza)五 A sh(A2a)A2sh(A2a)，2 ch(A2a)00sh(A2a)EzI2Ach(A2a)A2ch(A2a)sh(A )O00 00 00 00 0el eel -0 o 0 0 1 0 O 0 0 医 3 1 0 0 0 0 2 l O 0 0 似 1 0 E。

o 0 o 0 o o o 0 - - - -n Ⅱ 皿 . C D第4期 舒海生，等：声子晶体角式组合杆的减振性能研究式中 。， ，P 、A。、E，、， 分别为每个周期中第 1子段(即 PMMA段)的密度、截面积、抗弯刚度；A：， 爱 ，p：、 ：、E2、，2分别为每个周期中第 2子段(即 Al段)的密度、截面积、抗弯刚度；OL为每个周期第 1子段中的纵波波数， 兰 ；JE，/n1Ot 为每个 周期 第 2子段 中的纵波 波数，O/ - ，0为周期长度， 为材料 PMMA段的长度。

E2，p2由式(5)～(7)可推得。T· . (8)其中，叫 Ko[T 式(9)即为由杆 I远端传人的弯曲波和纵波在角杆中向杆 Ⅱ远端传播的传递矩阵，可以看出，总传递特性撒于周期结构单杆本身的传递矩阵 。、。、 、 的共同作用，从而使得弯曲带隙和纵向带隙的作用同时发挥成为可能。

类似地，对单杆进行分析时二者是解耦的，而总传递特性则由于结合处的作用而被耦合了.分析过程与面内振动分析过程相似，限于篇幅，此处不再赘述。

1.2 面内与面外振动的数值计算根据上述推导结果，对由3周期单杆组成的角式组合杆的面内和面外振动分别进行了数值计算。

参数设置如下：杆的各子段：截面均为5×5 il/n，长50 mm；A 材料参数为：弹性模量E 72.1 GPa，密度Pl2 799 kg/m3，泊松比 l0.345 1；PMMA参数为： 3.2 GPa，P21 062 kg/ms， 20.333 3。

8060∞4020德 0馔 -20- 40- 60f/kHz图2 角杆面内振动传递率数值计算结果Fig.2 Numerical results of in-plane vibration transmis·sibility of angle·type combined rod of PCs在面内振动计算中，为更好地模拟外部同时作用的弯曲和纵向激扰，引入了加载角(参见图 1)，对0、45。和90。这 3种不同加载情况分别进行了计算，结果如图2所示.面外振动中主要考察了弯曲激扰的作用，计算结果如图3所示。

图2表明，当加载角从 0增加到90。时，弯曲带隙内的衰减逐渐增大，而纵向带隙内逐渐减小，总的来讲，无论是何种角度加载，除了局部共振峰的不利影响之外，整个弯曲带隙和纵向带隙范围内基本上均能获得较强的减振效果.图3则表明在 1.6-3.1 kHz、4.4～6.5 kHz范围内存在显著的波谷，衰减很强，并且低频段也形成了-些小的振动衰减区。

∞ lf/kHz图3 角杆面外振动传递率数值计算结果Fig.3 Numerical result of out-plane vibration trans·missibility of angle-type combined rod of PCs2 声子晶体角杆的有限元振动分析2.1 声子晶体单杆的有限元振动分析为便于对比，首先对相应的3周期声子晶体单杆进行了仿真计算.单杆的纵向和弯曲振动传递率计算结果分别如 图 4、5所示.图 4表 明，在0～20 kHz范围内存在-个明显的纵向振动带隙：6～16.8 kHz。

图5表明，在 0～8 kHz范围内，存在明显的 2个振动衰减区：1 600～3 125 Hz；4 550～6 450 Hz，此外，弯曲振动在纵向带隙频带内存在 2个传输共振峰：6 600 Hz与7 500 Hz.而纵向振动在弯曲带隙内也存在-个传输峰：5 650 Hz。

∞ 餐图 4 单杆纵向振动传递率曲线Fig.4 Simulation result of longitudinal vibration trans-missibility of single rod of PCs哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报 第 34卷∞ 蚓律5图 5 单杆弯 曲振动传递率 曲线Fig.5 Simulation result of bending vibration transmis·sibility of single rod of PCs2.2 声子晶体角杆有限元仿真和实验验证2.2.1 直角固联角杆的面内振动首先分析角杆的面内振动.由于面内振动是二维的，应根据加载角的不同分别设置载荷。

面内振动分析结果如图6所示，其中的0、45。和90。加载隋况下的传递率曲线与数值分析结果(图2)是基本-致的，各衰减频带吻合较好.当加载角从0增加到9o。时，弯曲带隙内的衰减逐渐增大，而纵向带隙内逐渐减小，反映出杆中弯曲振动逐渐占据主导，-方面使得弯曲带隙的作用越来越明显，另-方面使得位于纵向带隙中的弯曲波传输共振峰的影响(6 60O Hz和7 500 Hz附近)也越来越显著，进而导致当加载角趋于90。时这些峰附近的衰减效果被明显削弱.总的来说，无论是何种角度加载，除了局部共振峰的不利影响之外，整个弯曲带隙和纵向带隙范围内基本上均能获得较强的减振效果，这事实上实现了角杆平面内的二维宽频带减振的目的.此外，在低频段，当加载角度增大时也能体现出-定的减振效果，其原因是在下杆和上杆之间形成了悬臂梁 -振子”结构，这种减振效果在加载角趋近90。时表现得更加明显。

∞ 嘲楼图 6 角杆面 内振动传递率 曲线Fig.6 Simulation results of in-plane vibration trans-missibility of angle-type combined rod of PCs2.2.2 直角固联角杆的面外振动面外振动仿真结果如图 7所示.在 1 600～3 100 Hz；4 400-6 500 Hz范围内，表现出了显著的波谷，衰减很强.低频段也形成了-些小的振动衰减区.由于参与弯曲振动的周期数的增加，该角杆比同等高度的直杆弯曲带隙内的衰减要更强.对比图7和图3，不难发现有限元结果很好地验证了数值结果.图6、7表明，在全弯曲带隙内，角杆既可以实现面内的二维减振，同时又能进-步增强面外振动的衰减能力，因而已具备了事实上的三维减振能力.此外，纵向带隙中也能较好的实现面内二维减振，而且在低频段也存在-定程度的减振效果，特别是对于加载角接近90。的情况，这种减振性能更加显著.应引起注意的是，弯曲带隙中的纵波传输峰5 650 I-Iz和纵向带隙中的弯曲波传输峰6 600、7 500 Hz，其峰值受加载角影响较大，设计此类结构时应注意抑制这些峰的高度。

∞ 掘5f/Hz图7 角杆面外振动传递率曲线Fig.7 Simulation results of out·plan e vibration trans-missibility of angle-type combined rod of PCs2.2.3 不同夹角的角杆对比为了与上述呈直角固联的角杆作对比，这里还对45。固联角杆和 135。固联角杆的减振特性分别进行了仿真计算.图8给出了这 3种角杆的面内振动传递率曲线的对比情况.图8(a)表明，当加载角为0时，直角固联的角杆在弯曲带隙内的衰减要明显强于45。和135。固联角杆，在纵向带隙内则略弱.图8(b)则给出了加载角度为90。时3种角杆的传递率情况，在弯曲带隙和纵向带隙内，90∏杆的减振性明显优于45。和 135∏杆，但纵向带隙内由于受到弯曲波传输共振峰(6 600和7 500 Hz附近)的影响，在该峰附近的减振效果也受到了较大削减.同时，在低频段出现了多个较强的振动衰减区.图9将 3种角杆的面外振动情况进行了对比，不难看出，直角固联的角杆在弯曲带隙内的衰减是强于另外2种角杆的。

第4期 舒海生，等：声子晶体角式组合杆的减振性能研究∞ 廊jil45o角杆(b)加载角为 90。

图 8 3种角杆面内振动传递率曲线对比Hg.8 瑚 踟 of in-plane vibration transmibility0fthree kinds 0fangle-type combined rodsof PCs- 45o角杆图9 3种角杆面外振动传递率曲线对比Fig.9 Comparison 0f out-plane vibration transmissibilityof three kinds of an gle-type combined rods 0f PCs2.2.4 实验验证∞ 皿础餐l蜒∞ 皿删(a)加载角为 0。

图10 3种角杆面内振动传递率实验曲线对比Fig.10 Comparison of in-plan e experimental vibrationtransmissibility Of three kinds of angle-typecombined rods of PCs为进-步验证理论和仿真结果，还进行了相应的实验研究，测试结果如图 10、11所示，分别与图8、9对比可知，二者各关键特征是基本吻合的。

∞ 啦l1憾f/kHz图i1 3种角杆面外振动传递率实验曲线对比Fig.11 Comparison 0f out-plane experimental vibra-tion transmissibility of three kinds of angle-pe combined rods of PCs3 结论对-种声子晶体角式组合杆进行了振动分析，研究结果表明：1)声子晶体角杆能够实现弯曲带隙内的三维减振和纵向带隙内的二维减振性能.对于面内振动，弯曲带隙和纵向带隙内能够同时获得较好的减振能力；对于面外振动，由于参与作用的周期数的增加，弯曲带隙内的衰减更加显著.此外，由于悬臂梁 -振子”效应，低频段也具有-定程度的减振能力，当加载角接近90。时这种效果更加明显。

2)不同夹角的角杆减振性能有较大差别，直角固联的角杆减振性能明显优于 45。和 135。固联角杆，因此在构建通用减振平台时应旧能采用直角固联的角杆结构，以充分发挥其减振能力。

当加载角接近90。时，弯曲带隙作用增强，并伴有低频减振性能的提高；当加载角接近 0。时，纵向带隙作用更强，但低频减振性减弱。