平面3-RRR柔性并联机器人动力学建模与分析

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为了节约能源，提高工业生产率，轻型、高速、高加速度、高精度柔性并联机器人在许多领域得到广泛地应用。柔性并联机器人在诸如电子装配、精密加工与测量、航空航天领域拥有巨大的市场潜力，因此开展柔性并联机器人 的研究具 有十分重要 的意义 。

最近几十年，各国学者广泛开展了对并联机器人的研究 ]。1965年，英国高级工程师 Stewart提出了-种 6自由度并联机构-Stewart平台[2]，该平台后来被用于飞行模拟实验。随后出现了-大批并联机器人产品，其中最具代表性 的是瑞士洛桑学 院的 Clavel在 1988年开发 的 Delta机器人[1]。历经几十年的发展 ，刚性并联机器人 的研究 已取得 了大量成果。然而柔性并联机器人作为-种新型的、刚-柔混联的机构，多刚体动力学的研究方法已不再适用，建立和求解柔性并联机器人的动力学模型是非常具有挑战性的工作 。

近年来，-些国内外学者在柔性并联机器人的动力学方面做了-些探索。胡俊峰、张宪民研究了- 种新型两 自由度高速并联机械手的弹性动力学特性[3]，采用简化KED(Kineto-Elastodynamic Analy-sis)方法建立了系统的动力学模型4]。张宪民、刘济科、沈允文等对连杆机构的弹性 动力学建模方法进行了探索[5 ]，考虑刚体运动和弹性运动的耦合和剪切变形的影响，并具体分析了-款六杆机构。

杜兆才，余跃庆等对平面 3-RRR柔性并联机器人进行了分析 ]，采用 KED方法建立其动力学模型，该模型没有考虑刚体运动和弹性运动的耦合，对系统约束方程考虑不够完全。刘增善在其博士论文中系统地研究了空间 3-RRS柔性并联机器人[8]，用简化KED方法建立了柔性 3-RRS并联机器人动力学模型，并对动力学特性进行了分析。多伦多大学机械与工业工程学院的非线性控制实验室长期以来致力于并联机器人的研究，其 中 Wang Xiaoyun，MilsJeams K等对平面 3-PRR柔性并 联机器人进行 了系统地研究[912]，并取得了丰硕的成果。Shabana AA系统地阐述了刚-柔混联机械系统的动力学建模方法 。张策、黄永强等详细讨论了弹性连杆机构的建模和优化设计问题4]。

目前 ，国际上有关并联机器人 弹性动力学建模的研究 尚处于起步 阶段 ，相关 的理论还很不 成熟 。

已有的研究结果也存在模型过于复杂难以求解、或未对模型作详尽分析，不利于理解并联机器人的动力学本质特性，也难以在实际应用中提出可有效改善其动态性能的具体策略或方法。

收稿 日期 ：2012-03-23；修订 日期 ：2012-10-14基金项目：国家自然科学基金重大研究计划资助项 目(91223201)；国家杰出青年科学基金资助项 目(50825504)；NSFC-广东联合基金(U0934004)；广东省高等学校珠江学者岗位计划(2010)；中央高校基本科研业务费专项资金(2012ZPO004)资助240 振 动 工 程 学 报 第 26卷本文对平面 3-RRR柔性并联机器人的弹性动力学问题进行 了研究，采用有限元法和 Lagrange方程建 立 了系统 刚-弹耦合非线 性弹性动力学模 型。

在求解模型时，忽略弹性变形运动对刚体运动的影响，分析了平面 3-RRR柔性并联机器人动平台中心的弹性位移、弹性转角以及柔性杆件所承受的最大应力随机器人位型的变化关系。

1 机器人结构平面 3-RRR柔性并联机器人示意图如 图 1所示：系统由动平台 C C C。、静平台A A。A。、3条连接动平台和静平 台的柔性支链 A B C ，A。B C 和A。B。C。组成 ，且 3条支链是完全-致的，即A B A。B -A。B。，B C -B C -B。C。，主动 杆与从 动杆 、从 动杆 与 动平 台之 间用 转 动关 节连 接 ，连 杆A1Bl，B1C1，A2B2，B 2C2，A3B3和B3C3都是柔性杆件，A ，A 和 A。是驱动关节 ，B ，C ，B。，C。，B。和C。是被动关节 ，O为正三角形静平台A A A。的中心，P为正三角动平台C C C。的中心，0-Xy为全局 固定 坐标 系，a ， ， ， ，a。， 分 别 为 连 杆A1B1，B1C1，A2B2，B2C2，A 3B3，B3C3与 X 轴正方向所成的夹角， 为正三角形 C C。C。的边 C C。与X轴正方向所成的夹角。

图 1 并联机器人示意图Fig.1 Diagram of the paralel robot2 单元动力学方程将支链中的柔性连杆视为由梁单元组成，梁单元如图2所示，0-XY为全局固定坐标系，A.z 为固连于单元端点A处的局部坐标系，且 z轴沿着未变形梁单元的中性线。A，B为单元的两个端点，C为单元中轴线上的任意-点，经弹性变形后到达 C图 2 单元动力学模型Fig.2 Dynamic model of beam element处，假设单元两端点在局部坐标系中的广义弹性坐标用向量 e，-Ee1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8] 表示，式中e ，e 为端点A，B的轴向变形位移，e ，e 为其横向变形位移，e。，e 为其弹性转角，e ，e。为两端点处的曲率。那么点 C 在局部坐标系下的位移可以表示为cz， 三： ；]-Ncz e， c ，式中 N(z)表示型函数。

由图 2可知，点 C 在固定坐标系0-XY中的位移为rc-r /IN(z)e (2)式中 R-l o. - n l为坐标变换矩阵， 为两IslI1 coso J坐标系的旋转角， -e。e，， - Eo，0，0，0，z，0，0，0] 为梁单元未变形时端点B在单元坐标系中的广义坐标，式(2)对时间 t求偏导数得鲁以R N RN ， (3)式中 R - OR。

设q-[r P ] ，s：EI R Ne RN]，则式(3)可以写成更紧凑的形式- sq (4)在使用 Lagrange方程导出单元动力学方程之前，首先计算单元的动能和弹性应变能。

2.1 单元动能1)平动动能在求得单元上任意-点相对于固定坐标系的速度后，单元的平动动能可以表示为第 2期 张清华，等：平面 3-RRR柔性并联机器人动力学建模与分析 241Tm-丢 乳dVlq m (q) (5)式中 m (口)为广义坐标向量 口的函数。

2)梁单元截面转动动能ⅢT -I告 (z， )dJ式中 O(x， )是宽为 dz的微段在真实运动中的绝对转角，dJ -pldx是微段 绕其自身质心的转动惯量 ，且O(x，t)- - ( )N 2(z)P，(6)式中 ( )为梁单元相对于全局固定坐标系的刚性转角， 为截面相对于局部坐标系的弹性转角，式(6)对时间 t求偏导数得 (z， )- N (z) ，；J为梁单元的截面惯性矩，因此梁单元的截面转动动能可以进-步表示为1 . - 1Tr-专 I S Sdxil-专 m (7)式中 sr0 。 1 N 。 ] 。

假设单元两端点处的集中质量分别为 m ，m ；集中转动惯量分别为 J ，J 。

3)集中质量的平动动能[4]集中质量的平动动能可按如下方法计算：rA，-rAR( )N(0)P，B，- rA R( )N(L)eA，： - -R N(o)4RN(o) ，- R v(L) PN (L)e，则单元端点集中质量的平动动能为T 1 rTA， ，m ， ，-专 m (8)4)集中质量转动动能Ⅲ类似于梁单元截面转动动能，可求得集中质量的转动动能为T -去宣 mcr 67- (9) n因此总的动能T- T T删 T ： m (10)式中 m--m m m m 。

2.2 单元应变能忽略剪切和屈曲应变能，根据材料力学，单元应变能可以表示为u- r口(z)(近(z，)zdz÷； (z)(7dtl(z， )。d - 1口 幻 (1)式中 (z， )， (z， )分别为点 C 轴向弹性位移对z的-阶偏导数和点 C 横向弹性位移对 z的二阶偏导数，E为单元材料的弹性模量， ( )，S( )分别为梁单元截面的惯性转矩函数和面积函数。

2.3 单元动力学方程根据拉格朗日方程，可以导出单元的动力学方程m(q)q 幻 P P (口，口) (12)式中 p 为单元所受广义外力，p 为单元的的二次速度向量 ，包括运动单元 的科氏力 和离心力且是广义坐标 q和 的函数 。

利用虚功原理可以导 出单元 的广义外力 ，设 F为作用在单元上任意-点C 处的外力或外力矩，那么在外力 F作用下的虚功可以表示为8W F 8re (13)根据式(2)有8rc，-[I R NP RN]8q (14)把式(14)代人式(13)得8We-[F F RPNe F RN]却 (15)又有 p 口 (16)比较式(15)和(16)，可得点 C 处的广义外力为Pc-[F FTR Ne F RN] (17)因此整个单元的广义外力为Pe- FTd dV](18)为了形成系统动力学方程 ，必须把在局部坐标系下描述 的单元 动力学方程转移 到 固定坐标 系上来。首先，定义 8×8阶的固定坐标系到局部坐标系的转移矩阵B，则e，-衄 ， (19)式中 E，为单元在固定坐标系下的广义坐标向量。

式(19)对时间t求 1和 2阶导数ef-B BE f，B仰E，( ) 2B ， B 髓 ， (20)把式(19)和(2O)代人式(12)，并左乘矩阵振 动 工 程 学 报 第 26卷I 1 0 0 I ll0 1 E B lL0 0 B j可得m(q)q kqp p (口，口)式中 口-[r E ]。

3 约束方程6个约束方程fXAL1 COSq。L2COsp，L3cos(u/6l l 2(i- 1)u/3 )-XP-0yAL1 sing L2 sinfl，L3 sin(/6 (23)l (21) l 2( -1)u/3 )-Yp-0I -1，2，3式中 X ，y 分别表示点A 在固定坐标系0-Xy中沿 X，y轴的坐标分量 。

分析平面 3-RRR柔性并联机器人，动平台在XY平面内自由运动。3条柔性支链通过刚性动平台相连，使得各支链的弹性位移存在非线性耦合关系。因为 系统是 完全对 称 的，仅对 其 中-条支链A -B -C -p进行分析。如 图 3所示 ，L ，L ，L。，L分别为向量 A B ，B c ，GP，OA 的长度。

3.1 刚体运动约束系统的广义坐标由刚体运动坐标和弹性变形坐标组成，刚体运动坐标包括主动关节转角a：[a ，Otz，a。] ，被动关节转角 -[卢 ， ， ] 及动平台的位置和转角X [[X ，y ， ，刚体运动坐标变量a， ，x 不是独立的，它们满足-定的约束条件。

如图 3所示，第 i条支链满足如下的闭环几何约束条件OA A B B C C P - 0P - 0 i- 1，2，3(22)把式(22)写成沿 X，Y轴的分量形式，可得如下、、、、图 3 支链Fig.3 The kinematic chain3.2 弹性坐标约束当系统在高速运动时，柔性连杆的弹性变形引起动平台中心点P和顶点C 分别移动到如图3的点 P 和 C 处。因为动平台是刚性 的 ，所 以 PC P C 。设 O-XY为全局固定坐标系，P-xy为固连于P点局部坐标系，Ptx 为固连于P 点的弹性坐标系，设 T，亍，T分别为p-xy-0-XY；pCx Y -p-xy；p'-x Y -0-XY的广义坐标变换矩阵，则有T-TT，其中rcos0 -sin0 X P]T -Ls，o0 cO。S j设 AX。 ，△y.，△。 分别为在固定坐标系下连杆末端点C 的弹性位移和弹性转角。由于受点 C 弹性位移和弹性转角动的影响，动平台将偏离原来的轨迹，假设在动平台中心点 P分别产生弹性位移 AX ，△y 和弹性转角 e，因为动平 台弹性转角很小 ，从而有in⊥ 。， 。 。 ，亍：：。 A△X，p]L0 0 1别为(Xc ，Yc ) 和(X ，Yc ) ，根据坐标变换有f j-亍 等：1 ，[ 1T i 1设 lEc oins 0- 。sin ]，又由于(zc ，Yc )p- (z ， ) -(L3cos(号 )， in(号 ))[ ]-[ 1-[ ]-第 2期 张清华，等：平面 3-RRR柔性并联机器人动力学建模与分析 243式中 I表示 2阶单位矩阵。

同时动平台弹性转角与动平台相连的柔性杆末端点的弹性转角有如下的关系式中 △c，，△c。，△ 为与动平台相连的柔性连杆末端的弹性转角。

4 系统动力学方程设u是系统的广义坐标向量，考虑约束方程式(23)～(25)，组装单元动力学方程式(21)，可得系统动力学方程为M(，)，KU-Q (U，，)-I-Q (26)式中 U[口1，a2，a3，U1l，U12，，己，1 ，，U3 ，AX ，△y ，△e] ，U中前 3个坐标是刚体运动坐标，，的剩余部分是弹性变形坐标。式(26)是非线性刚-弹耦合二阶微分方程，把式(26)分解为刚体运动部分和弹性变形部分Mr(，)d-Q：(，，ty)r (27)M (口) c(a， ) K(a， ，d)，-Q(a， ， ) (28)上两式中a-[al，a2，口3] ，U-EU1，U12，，U1 ，，U3 ，AXP，AYP，△] 。

5 仿真计算fxP-0.04cos(1Ont)-0.02yP-0.04sin(1Ont) (29)10-7c/4刚体运动的影响。用 MATLAB软件进行仿真计算，并和简化 KED方法的计算结果进行比较 ]。

动平台按式(29)给定的圆轨迹运动-周后停止。仿真结果如 图 4～7所示 ，图中 0～0.2 S时间段 的曲线分别表示系统运动时动平台中心沿 X轴弹性振动位移、y轴的弹性振动位移、动平台的弹性转角以敲蛊·匠Ⅱ图 4动平台中心 X方向弹性位移Fig.4 X direction elastic displacement of center of themoving platform散g·叵Ⅱ需图 5 动平台中心 Y方向弹性位移Fig.5 Y direction elastic displacement of center of themoving platform鼍 摆辑戳Ⅱ图6 动平台弹性转角Fig.6 Angle of deflection of the moving platform244 振 动 工 程 学 报 第 26卷矗莹 R斗<峨g图 7 弹性 连杆的最大应力Fig.7 Maximal stress of the flexible links及柔性连杆的最大应力变化 ，0.2～0.8 S时间段 的曲线是系统运行-周后动平台的残余振动情况和柔性连杆的最大残余应力变化情况。其中虚线表示简化 KED方法的计算结果，实线表示本文方法的计算结果。从图 4～7可知：采用本文的建模方法，在X方向，动平台中心的最大、最小弹性位移分别是0.916 4和-1.016 mm；在 y方向，其最大、最小弹性位移分别是 0.738 3和-0.797 8 mm；动平台的最大、最小弹性转角分别是 0.000 894 l和-0.001 087rad；柔性连杆的最大应力为 75.05 MPa。而采用简化KED方法 ，在 X方 向，动平 台中心的最大和最小弹性位移分别是 2.464和-2.316 mm；在 y方向，其最大、最小弹性位移分别是 1.943和-2.027 mlTl；动平台的最大、最小弹性转角分别是 0.000 924 6和- 0.002 071 rad；柔性连杆的最大应力是 167 MPa。

分析图4～6，可知两种建模方法计算的弹性变形位移和柔性连杆 的最大应力相差很大 ，主要原因是本文的建模方法考虑了科 氏加速度和牵连加速度中的刚体运动对弹性运动的影响，同时由于坐标变换矩阵的时变性，从而引起系统的阻尼和刚度发生变化。同时还发现用本文的建模方法计算的弹性位移要小于简化 KED方法计算得到的结果，那是因为本文建模方法考虑了变换矩阵的时变性以及计人了刚体运动的科式力和离心力，导致广义质量、阻尼、刚度以及广义外力矩阵发生变化，进而使得弹性位移减少。因此在建立平面 3-RRR柔性并联机器人动力学模型时，不能过分地简化，科氏加速度等因素对系统弹性动力学特性的影响是至关重要的。比较发现 ，两曲线的变换趋势具有-致性 ，因此从定性分析层面讲，简化 KED法具有-定的理论意义。

6 结束语本文基于浮动坐标系法、有限元方法以及拉格朗日方程和虚功原理建立了平面 3-RRR柔性并联机器人的弹性动力学模型，该模型考虑了刚体运动和弹性变形运动的耦合，详细考虑了刚体运动约束和弹性坐标约束关系，所建立的模型是二阶时变非线性耦合微分方程♂合具体实例，在给定动平台运动轨迹的情况下，运用 Matlab软件求解了本文所建立的弹性动力学模型。在求解过程中，忽略了弹性变形运动对刚体运动的影响，计算了动平台的弹性位移和弹性转角和柔性连杆在不同位姿下的最大应力。通过 比较 本文 的建模 方法 与简化 KED 方法，结果表明：刚体运动的科氏力和离心力以及坐标变换矩阵的时变性对系统动力学特性有至关重要的影响。实验平台正在搭建之中，今后将结合实验对平面3-RRR柔性并联机器人的弹性动力学建模作进-步地研究。对系统的耦合特性作更深入地分析 。