一种计算平面机构自由度的新方法

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A New M ethod of M obility Calculation for Planar M echanismsGUO Weidong YU Jingiun(Robotics Institute，Beihang University，Beijing 1 00 1 9 1)Abstract：The classical Ca'ibler-Kutzbach formula for calculating mobility ofplanar mechan isms seems very simple，however，it isnot easy to obtain a correct result for some special mechanisms.In particular，by making an investigation of some cases existing indozens of current-use textbooks relating to Th eory of Machines an d Mechan ismsand'Fundamental to Machine Design".it isfound that some results derived from the well-known formula are not correct.For this reason，a new method of mobility calculationfor planar mechanisms is proposed，which is establishing upon a derived Gribler-Kutzbach formula.In the proposed method andform ula，the new concepts of real-constraint higher pair，redundan t-constraint higher pait， ful-constraint lower pair andhalf-constraint lower pair are introduced，thus the puzzle existing in the Gribler-Kutzbach formula Can be solved efectively.Theresearch is helpful for making the form ula for calculating mobility ofplanar mechanisms more rigid and scientific。

Key words：Th eory of machines and mechanisms Planar mechanisms Mobility Redundant constraints0 前言在应用 GrObler-Kutzbach公式 F3n-2pL-pn(n为活动构件数， 为低副数，阳 为高副数)计算平面机构的自由度时，会遇到以下问题。

图 1a所示为-齿轮机构。当啮合传动时，相当于它们的节圆相切纯滚J ，其机构运动简图如图 1b所示。该齿轮机构的活动构件数 n2，低副数pL2，高副数pnl，计算得到机构的自由度FI，结果正确。对于如图2a所示的机构，活动构件数n2，低副数pL2，计算得机构的自由度为F2，结果正确。

但当构件 1和构件 2接触相切后，如图2b所示，活北京航空航天大学教改重点资助项目。20120627收到初稿，20130122收到修改稿动构件数 n2，低副数pL2，高副数pHl，计算得机构的自由度为 FI，这与实际情况不符。对图2b所示的机构，高副实质并未起到约束的作用。

图l 齿轮机构及其运动简图虽然图 lb、2b具有完全相同的机构构型，但应用Grflbler-Kutzbach公式计算出的图1b机构的自由度是正确的，而计算图2b的机构的自由度却是错误的。

126 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 7期(a) (b)图2 2自由度齿轮机构及其运动简图再比如对周转轮系进行区分时，自由度为2的周转轮系称为差动轮系(图3)，自由度为 1的周转轮系称为行星轮系。

/z l /- /图3 差动轮系机构运动简图有些教程L2 (查阅了20本教科书)对如图 3所示的差动轮系的 自由度计算过程如下：活动构件数n4，低副数pL4，高副数pn2，计算得机构的自由度F2，与实际情况相符合。但此计算过程中忽略了-个问题，就是行星轮 2的中心 D2到中心轮 1或中心轮 3的中心 Dl的距离始终保持不变(即为转臂日的长度)，那么用 1个构件(转臂 和2个转动副 Dl和 D2将行星轮 2与机架相关联，将引入-个虚约束。如果考虑此虚约束，则其机构的自由度为FI，与实际不符。避开机构虚约束的存在，在理论上又无法解释清楚，导致对此轮系进行 自由度计算时不够严谨，也不够科学。因此很多教程就没有提及周转轮系自由度计算的过程j (查阅了 72本教科书)，只给出按自由度区分轮系的结论和方法。

有学者基于螺旋理论对包括刚性机构4J、柔性机构 j、变胞机构L6 等在内的各种机构[7-8]的自由度问题进行 了深入的研究 ，解决 了-些机构应用Ca'Obler-Kutzbach公式计算存在错误的问题，但此种方法需要以螺旋理论为基础，掌握的难度很大，特别是对不了解螺旋理论的人们，就更觉得此方法的深奥和难以理解。有关柔顺机构 自由度的计算研究 J和对 目前所应用的机构自由度计算公式研究l UJ虽然解决了有些机构的自由度计算问题，但还无法合理回答论文开头所提出的问题。鉴于此，本文给出了-种通俗易懂的方法，从机构运动相关联特性分析入手，探讨解决平面机构 自由度计算中遇到的匕述问题。

1 平面机构自由度计算新方法从运动上来看，运动副就是-个构件给另-个构件的运动限制，也就是运动约束。真正起到约束作用的运动副，本文称为实约束运动副，有些运动副不起约束作用，称为虚约束运动副(也即虚约束)。

在计算机构的自由度时，对虚约束运动副的处理方法，任何 1本 《机械原理》教材都有论述，本文的处理方法也不例外，这里不再赘述。对于实约束运动低副(即转动副和移动副)，有些运动低副起到全部约束作用，称为全约束运动低副，简称全约束低副；而有些运动低副只起到-半的约束作用，称为半约束运动低副，简称半约束低副。再考虑到机构中存在的运动附加条件约束，例如构件之间的相对运动为纯滚动等，平面机构的自由度可按式(1)进行计算F3n-2PLA-PLH-PH-C (1)式中，n为活动构件数；PLA为全约束低副数；PLH为半约束低副数；PH为实约束高副数；C为运动附加条件数。

同应用 Grtlbler-Kutzbach公式计算机构的自由度-样，要能正确计算得出机构的自由度，关键是要能正确得到计算公式中的各参数值，也即能准确得出活动构件数 n、全约束低副数PLA、半约束低副数pLH、实约束高副数PH和运动附加条件数 C。

下面针对实约束高副，虚约束高副、全约束低副和半约束低副，以及运动附加条件进行分析，给出判断它们的具体方法--运动副约束特性分析。

2 运动副约束特性分析2.1 实约束高副和虚约束高副如图 4所示的平面高副中，不考虑构件 1和 2在P点接触的约束，即假设两构件没有在P点接触，设机构 1在 P点的速度为'， ，在接触点处廓线的公法线nn方向的分速度为l，； ，构件2在P点的速度为 ：，在nn方向的分速度为'，；：。如果 。≠v； ，则此高副就是实约束高副。如果嵋 l，； ，则此高副就是虚约束高副。这里要再-次强调的是，判断1， ≠1，； 或者嵋 l，； 的前提：假设构件 1和构件2在接触点P处没有接触，即没有接触约束情况下的接触点”处公法线方向的速度。

2013年4月 郭卫东等：-种计算平面机构自由度的新方法图4 平面高副约束特性分析例如图 5所示的平面高副中，当不考虑构件 1和构件 2在 P点接触的约束作用时，构件 1在P点的速度l， 由构件本身的运动所决定(例如在重力作用下向下运动)，其在 ，l 方向将存在分速度，即'， ≠0，而构件 2在接触点 P 处 ，l 方向的速度v； 0，因1， ≠1，； ，所以此高副为实约束高副。

而对于图6所示的机构，构件 1和构件2在P点的速度方向是过接触点 尸 的两廓线公切线方向，即'， ，'； ：0，所以P点处的高副为虚约束高副。

图 5 实约束平面高副对于齿轮啮合传动，当考虑实际廓线啮合接触时，两轮齿廓线为高副接触，相当于图4的平面高副约束情况，是实约束高副，而将齿轮啮合传动等效为两个节圆相切纯滚动时，就相当于图6所示的平面高副约束情况，为虚约束高副，但此虚约束高副中隐含了-个附加运动约束条件，即在 P点处相切且纯滚动。

图 6 虚约束平面高副2.2 全约束低副和半约束低副如图 7所示的双平行四边形机构，假设构件 2和构件 5在E点处没有构成转动副，则此时构件 2上 E点的速度在 mm方向(沿杆 方向)的分速度'， m 0，而构件 5上E点的速度在 mm方向的分速度'，m 0，因此转动副E在mm方向上不起到约束的作用，而在垂直于 mm方向的运动速度是不相等的(这里进-步要强调的是，所谓在垂直于 mm方向的运动速度不相等，是假设构件2和构件5在E点处没有构成转动副的条件下而言的)，所以在垂直于mm方向上，转动副 E具有约束作用，因此称此转动副为半约束转动副。

图7 双平行四边形机构再比如图 8所示(其中 )的椭圆仪机构中，假设滑块 3和机架 5在 处没有构成移动副，证明发现，滑块3只有相对机架5绕 点的转动，不可能产生垂直于导路方向(即水平方向)的相对移动 ，所以移动副 处机架 5对滑块 3在垂直于导路方向的移动约束不起作用，只有 1个转动的约束起作用，因此称此移动副为半约束移动副。半约束转动副和半约束移动副统称为半约束低副。如果运动低副的2个约束都起作用，则称为全约束低副，如图7所示机构中除了半约束转动副 以外的其他运动副和图8所示机构中除了半约束移动副 以外的其他运动副都是全约束低副。

图 8 椭圆仪机构2.3 运动约束条件有学者指出，在计算机构自由度时，如两个构件作纯滚动，则在接触点切线方向的相对移动受限制，存在-个约束，在计算 自由度时，应该减去该约束l。例如图6所示平面高副，如果要求构件 l和构件 2为相切纯滚，则有运动附加约束条件为V '， ：，在计算机构自由度时要给予考虑，即在自由度计算时，减去运动附加条件数。

3 计算实例3.1 齿轮机构的自由度计算如图 1b所示，如果把齿轮机构的啮合传动等128 机 械 工 程 学 报 第49卷第7期效成2个相切纯滚的圆柱体传动，则有：活动构件数 n-2，全约束低副数pEA2，半约束低副数PLH0，实约束高副数舶 0，运动附加条件数 CI，则机构的自由度F 3n--2PLA--PEa--PH-C 3×2-2×2-0-0-ll若按实际齿轮传动中轮齿齿廓 曲线的啮合状况来考虑，即齿廓接触处的高副为实约束高副，则活动构件数 n2，全约束低副数PLA2，半约束低副数 H0，实约束高副数瑚 1，运动附加条件数C-0，机构的自由度F 3n-2PLA-PLH-PH-C 3X2-2×2-0-1-013.2 非纯滚动机构自由度计算如图 2b所示，如果2个相切的圆柱体运动中，不存在运动相关性，即两构件不存在在接触点处纯滚动的情况，则运动附加条件数C0，由前面的分析得知，P点处的高副为虚约束高副，计算机构自由度时不计算在内，所以该机构的活动构件数n2，全约束低副数pEA2，半约束低副数PLH0，实约束高副数PH0，运动附加条件数 C0，机构的自由度F 3n-2pEA-PLtt-PH-C 3×2-2X2-0-023.3 双平行四边形机构的自由度计算如图7所示的双平行四边形机构，转动副E为半约束低副，所以该机构的活动构件数 n4，全约束低副数PLA5，半约束低副数PLH1，实约束高副数 阳 0，运动附加条件数 C0，机构的自由度F 3n--2pEA--PLH--PH-C3X4-2×5-1-0-0-013.4 椭圆仪机构的自由度计算如图8所示的椭圆仪机构，移动副 为半约束低副，所以该机构的活动构件数 n4，全约束低副数 PLA5，半约束低副数 PLH1，实约束高副数pn0，运动附加条件数 C0，机构的自由度F 3n--2PEA--PEa--PH--C 3×4-2×5-1-0-0l3.5 轮系机构的自由度计算如图9所示的差动轮系机构，其自由度计算的方法有 2种。

方法 1：将齿轮的啮合传动等效成两圆柱体的接触纯滚动传动。设行星轮 2和中心轮 1在接触点(啮合节点 处的高副为实约束高副，且有在 P点图 9 差动轮系速度相等的附加运动约束条件，因此机构中的实约束高副数阳 1，运动附加条件数 c1。假设行星轮2和转臂 在D2处没有构成转动副，分析可知，行星轮 2中心 2处沿着两齿轮连心线方法的速度V吕20，转臂日在端点D2处速度沿着杆的方向的速度 2H0，所以转动副 2为半约束低副，即PLH1，活动构件数 n3，全约束低副数pLA.2，机构的自由度F 3n-2pLA-PLH-PH-C 3×3-2×2-l-1-11方法 2：将齿轮的啮合传动等效成两圆柱体的接触纯滚动传动。设转动副 D2为全约束低副，则易知中心轮 1和中心轮 2在接触点P处的速度方向都是过 P点且垂直于两齿轮的连心线 DlD2方向，因此高副P是虚约束高副，同样存在两齿轮在P点速度相等的附加运动约束条件，因此机构中的活动构件数 n3，全约束低副pEA3，实约束高副数PH0，运动附加条件数 C1。机构的自由度F 3n-2PEA-PEn-PH-C 3×3-2X3-0-0-11对于如图 10所示的差动轮系，其 自由度计算也有 2种方法。

图10 差动轮系方法 1：设行星轮 2和中心轮 1在接触点 Pl2处的高副为实约束高副，则行星轮 2和中心轮 3在接触点 3处的高副就为虚约束高副(因为行星轮 2和中心轮 3在它们接触点 P23处的速度在接触点公2013年4月 郭卫东等：-种计算平面机构自由度的新方法 129法线方向的分速度都为 0)，因此机构中的实约束高副数PHl，行星轮2与中心轮 1和中心轮 3在接触点尸l2和 P23处都为纯滚动，所以运动附加条件数C2，转动副 D2为半约束低副(原因同上例)，即pLH1，活动构件数 n4，全约束低副数PLA：3，机构的自由度F 3n-2PLA-PLH- H-C3×4-2×3-1-1-22方法 2：设转动副 D2为全约束低副，则中心轮1和中心轮 2及中心轮 3在接触点 P12和 3处的 2个高副都为虚约束高副，因此机构中的实约束高副数 阳 0，行星轮 2与中心轮 1和中心轮 3在接触点 Pl2和 P23处都为纯滚动，所以运动附加条件数C2，机构中的活动构件数 n4，全约束低副PLA4，机构的自由度F 3n-2PEA-PLH- H-C 3×4-2×4-0-0-224 结论通过引入实约束高副、虚约束高副、全约束低副和半约束低副等概念，并对经典 的 Grfibler-Kutzbach自由度计算公式进行了变异，在给出实约束高副、虚约束高副、全约束低副和半约束低副定义和类型判断方法的基础上，给出了更为准确和严谨的平面机构自由度计算公式，通过实例证明本文提出的平面机构自由度计算方法适用性强，回答了应用 Grtibler-Kutzbach自由度计算公式无法解释的- 些问题。作者也希望本文的探索能给读者-些启发，也期待广大机构学工作者的批评与指正。