六自由度柔性测量臂关节零位偏差标定算法研究

Research of calibration algorithm of joint zero-positiondeviations for 6 DOF flexible measuring armHU Peng -，JIN Guo-guang -，SUI Xiu-wu -，GUO Zhen-feng '(1.School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China；2.Tianjin Key Laboratory ofAdvanced Mechatronics Equipment Technology，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China)Abstract：The joint zero-position deviations of multi-joint coordinate measuring arm resulting from assembly technology er-rors，have an enormous influence on measuring accuracy.The actual joint zero-position deviations，which will beused to compensate the theoretical joint angle，can be obtained by taking a high precision calibration method。

Th us，the measuring accuracy can be improved.Firstly，the measuring model of 6 DOF flexible measuring a/n isestablished，then on the basis of the measuring model，the error model based on the joint zero-position devia-tions is set up by applying total differential，and then a linear calibration method is obtained by applying leastsquare and iterative algorithm.Finaly，the correctness of the calibration method is validated by Matlab simula-tionKey words：flexible measuring arm；measuring model；error model；calibration algorithm六 自由度柔性测量臂属于非笛卡尔式坐标测量机.它仿照人体关节结构，以角度基准取代长度基准，将 6个杆件和 1个测头通过 6个旋转关节串联连接 ，-端固定在基座上 ，另-端(测头 )可在空间自由移动 ，构成-个球形测量空间.由于其轻巧便捷 、功能强大 、使用环境要求较低 、测量范围较广 、投入成本较低 ，而被广泛地应用于航空航天 、汽车制造、重型机械、轨道交通、零部件加工、模具制造等多个行业.尽管多关节柔性测量臂是-种非常有前途的便携式坐标测量臂，但测量精度低是其致命的弱点，这在很大程度上影响了它的应用.采用高精度的标定方法可以提高柔性测量臂的测量精度l1。

多关节柔性测量臂的参数标定方法有很多 ，有基于最小二乘法和迭代算法2。l的参数标定，有基于遗传算法 的参数标定，有基于改进模拟退火算法5的参数标定等.本文首先建立了柔性测量臂的测量模型和误差模型，然后给出了用最小二乘法和迭代算法对六自由度柔性测量臂的关节零位偏差进行标定的方法，最后在 Matlab中对标定算法进行了模拟仿真验证。

收稿 日期 ：2012-08-30 基金项目：国家 自然科学基金(51275352)；天津市应用基窗前沿技术研究计划项目(09JCYBJC04600)第-作者 ：胡 鹏(1987-)，男，硕士研究生。

通信作者 ：金国光(1963-)，男，教授，博士生导师.E-mail：jgg63###eyou.con- 76- 天 津 工 业 大 学 学 报 第 32卷1 测量模型六 自由度柔性测量臂可以看成-个串联开式运动链，它是由6个杆件和1个测头通过6个旋转关节串接而成，图 1为柔性测量臂简图。

节6图 1 柔性测量臂简图Fig.1 Schematic diagram of flexible measuring armDenavit和Hartenberg在 1 955年提出了对两个相互连接且相对运动的杆件之间相互关系的分析方法，简称 D-H方法l2'4]。

根据 D-H方法，连杆 i的坐标系的 轴位于连杆与连杆 1的转动关节轴线上；连杆 i的两端轴线的公垂线为连杆坐标系的置轴，方向指向下-个连杆；公垂线与 轴的交点为坐标系原点 0 ；坐标系的y 轴由 和 按照右手定则确定 ，至此，连杆 i的坐标系已建立。

测量臂的坐标系模型如图 2所示.各杆件坐标系按 D-H方法建立，由于在坐标转换过程中不用考虑， 轴，在图2中未标出.图2中 所对应的旋转关节在接触式测量中不起作用，只在激光扫描测量时起作用，可以不用考虑。

在建立了各个杆件的坐标系之后，D-H方法规定用 4个参数来描述杆件及杆件之间的关系，其中 2个参数用来描述连杆，即连杆长度 o4，连杆扭角 OL ；另外2个参数用来描述相邻两杆的关系，即两连杆距离d ，两连杆夹角 0 .在建立了杆件坐标系并确定各个D-H参数之后，0XHY zi- 与OiX LZi之间的转换可以通过坐标系的平移、旋转来实现.转换矩阵如下：A )COS0 -sin01 cososin0i cos0i coso0 sin0 0[sin0i sins cos0- COS0 sins al sin0/COS d0 1图 2 测量臂的坐标 系模型Fig.2 Coordinate system model of measuring arm式中： 是 3x3的旋转矩阵； 是 3xl的平移矩阵。

如图2所示，把测头坐标系07x YTZ7相对于基座坐标系 OoX。YoZo的位姿记为A町，这是-个 44的齐次矩阵，由坐标转换关系可以得到：A07A0l A12A23A34A45A56A 7 (2)A町反映了测头在空间相对于基座坐标系的坐标位置与姿态.测头在基座坐标系下的齐次坐标 P可表示为：7P：A07"P ：兀cos0 -sin0i COSO/ sin01 sinssin0i COS0i COSO/ -COS0 sino。

0 sin COS0 0 0cos0i04sin0id，1(3)式中：P [0 0 0 1式(3)即为该六自由度柔性测量臂的测头位置坐标测量方程.杆件的4个 D-H参数中，参数 、 、d 都是固定的常数，称为杆件结构参数，而0i是变化的，称为关节变量.把测量方程写成矢量函数形式：ix(01，02，03，04，05，06)1P 01，02，03，04，05，06)。

( l，02，03，04，05，06)(0l，02，03，04，05，06)J(4)至此，六自由度柔性测量臂测量模型建立完毕。

第 1期 胡 鹏，等：六自由度柔性测量臂关节零位偏差标定算法研究 - 77-2 误差模型考虑到关节零位偏差对测量精度的巨大影响，首先建立基于关节零位偏差的误差模型。

关节零位偏差的特点：各关节的零位偏差互不相同；由于装配工艺水平所限，通常造成的关节零位偏差较大(约±3。)，并且由于臂长的逐级放大作用，使得关节零位偏差在末端测头处产生很大的位置测量误差；对于每台装配好的关节臂式柔性测量臂 ，各关节的零位偏差固定不变，属于系统误差。

为了分析关节零位偏差对测量精度的影响，寻求关节零位偏差与测量位置误差之间的关系，假设关节零位偏差足够小.对式(4)进行全微分，近似得到测头位置误差方程 ：△P-著。A0 十著。A02.蓑A06(5)写成矩阵形式：APJo·AO (6)这里，AP[A ，A ，A ]是-个 3x6的误差系数矩阵，即Jo (7)A0是-个6xl的误差参数矢量，即：A0：[A01 A02 A03 A04 A05 A06]式(6)即为基于关节零位偏差的误差模型，它描述了关节零位偏差与测头位置误差之间的近似线性关系，这种线性关系的建立将大大地简化标定过程。

3 标定算法通过提高柔性臂的角度编码器、机械零部件的加工与装配精度可以提高测量臂的测量精度，但提高的精度有限且成本非常高；此外，可以采取高精度的标定方法以提高测量精度。

基于最小二乘法和迭代算法的标定方法[2如下：为准确标定出关节零位偏差 ，需要-些已知的标准位置坐标，这些标准位置坐标可以通过高精度的测量设备获得.假设有m个标准位置坐标，用柔性测量臂测量这个m标准位置，记下这m组关节变量组合，然后把这m组关节变量组合代人式(3)计算出m个理论位置坐标，与标准坐标比对，可得到 3xm个位置误差方程，即：△QG。A0 (8)式中：G： Jr；△Q：[△尸(△ △ ]lr。

只要 3xm>6，则可运用最小二乘法解出6个关节零位偏差，即AO( ·G) ·GT·AQ (9)把计算出的关节零位偏差作为修正值对式(4)中的关节变量进行修正，然后计算出新的位置误差和新的误差系数矩阵并代人式(8)，再重复式(9)的计算，通过反复的迭代，直到测头位置误差满足要求，从而获得最佳标定结果。

4 仿真验证为了进行计算机仿真，首先给定柔性臂的结构参数，并假定关节零位偏差.具体数值如表 1所示。

表 1 柔性测量臂结构参数Tab.1 Structural parameters of flexible measuring arm为了验证该标定算法的正确性，共做了3组模拟实验，每组实验包含 3组关节变量组合 ，标定过程分以下 3步：第 1步 ：根据表 1中的结构参数和关节零位偏差，按式(3)计算出3个实际的空间坐标作为标准坐标 .然后不考虑零位偏差，计算出3个理论坐标 ，从而得到位置误差矢量 AP：Ph-PI。

第 2步：根据式(7)计算出误差系数矩阵，然后根据式(9)运用最sb-乘法计算出 AO。

第3步：将第 2步得到的AO作为修正量对关节变量的理论值进行修正，计算出新-轮的坐标理论值，误差系数矩阵和位置误差矢量.如果修正后位置误差矢量满足要求则结束，未达到要求则重复式(9)，计算出新的AO，在前-次修复的基础上继续对关节变量进行修正，计算修正之后的位置误差，直到满足要求为止。

监眠监 监溉监溉盟眠监眠丑眠监眠丝眠监 监 监监 监 监蔫监 监 监- 78- 天 津 工 业 大 学 学 报 第 32卷表 2 仿真结果Tab.2 Simulation results厶口转角组合( ，02，0 ，04，05， )/ ， 、 位置误差 第-次迭代 第二次迭代o) ” (2u)/mm 零位偏差/rad 位置误差/mm 零位偏差/rad 位置误差/u1 (0，180，-180，、l80， (6·399，11.0、3 2 12.755 O.188 0.55- 180，180) 1544 783) (。，9。，9。，8。，9。，9。) (。

6 20.067 0-316 2. 18(9。，6。，15。'9。，6。，5。) (-288-.9 7 5：，.。- 3 2 6·613 zs. z o 萤； - i。.zs - ：i z.s。

0，o 。 。，。， 。 -。 ：6 · 18.192 0.18o 1.373 (2O，6O，3O，80，5O，50) (-637875，、 24.4O7 O.791 4.75- 113.044.137.886) - ～ (50，120， 0，30，90，1加 · 29.832 ：.川027 8-0.021； ㈣ ：；8 03 60 O4 7-41).558 14.936 o-3l0 5.67注：第 2次迭代得到的关节零位偏差是前两次最小二乘结果的累加和，第 2次迭代对应的位置误差的单位为 Ixm。

由仿真结果可知：(1)较小的关节零位偏差通过臂长的放大作用会造成很大的位置测量误差，达到数十毫米。

(2)经过-次最小二乘标定 ，即可把位置误差减小到1 mm以内，经过第二次最小二乘标定，基本上可以消除位置测量误差。

(3)之前设定的关节零位偏差为(1.5。，-1.2。，1.0。，1.2。，-1.1。，1.5。)，转化为弧度制表示为：(0.026 2，- 0.020 9，0.017 5，0.020 9，-0.019 2，0.026 2)，这与仿真验算结果是吻合的，由此可知，通过该标定算法可以准确地标定出关节零位偏差的真实值.这也间接地论证了误差模型的正确性。

(4)3组实验得到的结果相同，说明只要在测量空间任取 3点，即可准确且惟-地标定出 6个关节零位偏差。

5 结 论本文在建立了六 自由度柔性测量臂的测量模型的基础上，运用全微分法建立了基于关节零位偏差的线性误差模型.然后，利用该线性误差模型，结合最小二乘法和迭代算法建立了关节零位偏差的线性标定模型.该标定模型的优势在于，将复杂的非线性参数辨识问题线性化，大大简化了标定过程.最后，通过Matlab模拟仿真验算，证明了该标定算法的正确性。

该研究对提高柔性测量臂的测量精度具有重要意义，也为自主研发高精度多关节柔性测量臂提供了理论支持。