滚珠丝杠进给系统仿真建模

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Simulation modeling of a ball screw feed drive systemWANG Yong-qiang，ZHANG Cheng-rui(School of Mechanical Engineering，Shandong University，Jinan 250061，China)Abstract： In order to obtain a relatively accurate second-order mathematical model of a ball screw feed drivesystem in design stage，a simulation modeling method was proposed to establish a model reference adaptive system basedon Lyapunov stability theory with a second-order system as a reference model and the theoretical model as a controlledobject.A mechanical model for the bal-screw feed drive system was established with consideration of viscous friction andtransmission stiffness，a simulation model of the model reference adaptive system was constructed using MATLAB/Simulink，and a second-order methematical model of the feed drive system was deduced from the simulation results of casestudy.The results indicated that the output of the second-order model can perfectly track that of the theoretical model，andthe relative error between the results of the two models is within 0.314% when 1 ms pulse signal imposes at the sametime。

Key words： ball SCreW；feed drive system；simulation modeling； Lyapunov stability theory ； model referenceadaptive system滚珠丝杠进给系统是高速机床进给系统最常用的形式之-，其性能与机械结构动态特性、控制系统性能及其之间的性能匹配有重大关系 ，因此建立适宜的进给系统动力学模型是设计高性能机床控制系统的前提 J〃立进给系统动力学模型-般有分析法与实验法两种。分析法通过理论推导得出进给系统精确的高阶数学模型 J，但直接对高阶系统进行分析和设计较繁杂，而忽略某些次要因素近似用二阶系统表示，会影响建模精度。实验法虽可得到进给系统的近似精确低阶数学模型，然而原型机制造和试验准备则成本高、基金项 目：国家重点基础研究发展计划资助(2009CB724406)收稿日期：2012-08-02 修改稿收到日期 ：2012-09-19第-作者 王永强 男，博士生，1974年 3月生通讯作者 张承瑞 男 ，教授，博士生导师，1957年7月生时间长，不适合产品快速开发需求。模型参考自适应系统(Model Reference Adaptive System，MRAS)应用较广，具有自适应速度快、便于实现等特点，其自适应控制的作用是使可调系统与参考模型两者的传递函数-致，当自适应系统能很好地工作时，可以认为可调系统的传递函数即参考模型的传递函数 。仿真是快速实现对进给系统动态特性研究的有效分析方法，已有大量研究 ，并取得-定研究成果。但利用 MRAS和仿真技术获得滚珠丝杠进给系统二阶模型的相关文献较少见到。基于上述分析，本文提出以二阶系统为参考模型，以理论模型为控制对象，基于Lyapunov稳定性理论设计 MRAS，通过仿真获得进给系统二阶模型的建模方法。实例表明，该方法获得的二阶模型输出能较好地跟踪理论模型输出；对两模型输入1 ms单位脉冲信号时，两模型输出相对误差在0.314%以内。

第3期 王永强等：滚珠丝杠进给系统仿真建模 47图 1 滚珠丝杠进给系统结构简图Fig.1 Structure diagram of bal screw feed drive systems1 理论模型 2 模型参考启适应系统建立图 1所示数控机床进给系统-般由伺服电机、联轴器、滚珠丝杠副、两端支撑轴承、直线导轨、工作台等组成，工作台作直线运动，各传动部件做旋转运动。滚珠丝杠、直线导轨及轴承间的摩擦对进给系统运动精度影响较大，其理论模型也较复杂 J，为分析方便，本文对进给系统进行简化处理：建模时仅考虑粘性摩擦。

伺服电机与滚珠丝杠间的联轴器视为刚性连接，滚珠丝杠、联轴器、轴承等旋转部件的转动惯量视为电机轴负载惯量，进给系统轴向总刚度保持不变，不考虑回程间隙。该进给系统动力学模型如图2所示。

图2 进给系统的动力学模型Fig.2 Dynam ical model of feed drive system图中：T为伺服电机驱动力矩；Om为滚珠丝杠转角；， 为旋转部件总转动惯量；Cb为旋转部件总粘性摩擦系数；Z为滚珠丝杠导程；K为进给系统轴向总刚度；C 为进给系统轴向粘性摩擦系数；c 为滚动直线导轨粘性摩擦系数； 为工作台质量； 为工作台位移。

图2系统可用微分方程组表示为： L 21盯K( )( )Kilo Ci( )式(1)消去0 ，可得进给系统四阶方程。显然，直接用该高阶系统进行分析不合适。通常滚珠丝杠进给系统用二阶模型逼近高阶模型，其精度已足够准确，因此，将式(1)的四阶降为二阶更方便分析与研究。

为将图 2的进给系统简化为二阶系统，利用输入、输出变量根据 Lyapunov稳定性理论设计 MRAS确定二阶系统参数。为避免用到控制对象和广义输出误差的各阶导数，采用文献[6]提出的稳定自适应控制器方案(图3)。

图3 Narendra方案Fig.3 Narendra schemeNarendra方案中可调增益 k 和两个辅助信号发生器 F ， 共同组成自适应控制器。以进给系统为控制对象，其状态方程与输出方程为：JCp： A px pYp X p) (2) J -式中： 为 2维状态向量，U为控制向量；)， 为输出量；Ap为2×2矩阵； 为2×1向量；Il为2×1向量；A ，bp均未知。

传递函数为：(sl-Ap (3)式中： (s)，D。(s)均为首项系数为 1的 Hurwitz多项式，其阶数分别为1，2；kp>0为被控对象增益。

选单输入单输出系统为参考模型，其状态方程和输出方程为：(4)、、，J y 、 A 48 振 动 与 冲 击 2013年第32卷式中： 为2维状态向量，y，为模型输入；y 为参考模型输出；A 为2×2矩阵；bm为 2×1向量。

参考模型相应的传递函数为：Gm( (sl-A，)-lbmkm (5)式中：G (S)严格正实，N (S)，D (s)均为首- Hurwitz多项式，其阶数分别为1，2； 为参考模型增益。

广义输出误差为：e(t)Y (t)-y。(t) (6)两个辅助信号发生器 F ，F 均为-阶系统。其状态方程和相应传递函数分别为：f 1 - 1F ： (7) f 2- 2F ：j z 。 (8)。 设p表示可调系统中的信号向量，即： [Y y 2 r (9)设 0表示可调系统中的可调参数向量，即：0[k cs d0 d，]T (10)由文献[6]得可调参数自适应律为：(t)- (t)e(t) (11)式中：F∈R 为正定对称矩阵。

自适应控制律为：U(t)0 (t) (t) (12)两个辅助信号发生器与控制对象-起组成可调系统，其传递函数为：G㈠ ： 而 当模型参考 自适应系统达到精确匹配时，应有G (s)G(S)，由式(3)、式(5)、式(7)、式(8)得：Ⅳ (s)D (s)- ，kck。 (s)D (S)D (s)[D (5)Ⅳ (s)] s)[doD ( ) (s)](14)当 (s) 等确定时，式(14)的解为：k k.kpN (S)D。(S)s)：D s) (s)D (s)Dp s)k doD (s)Nc2(s)](15)3 仿真建模选德国Bosch Rexroth公司的40×20R×6-4型滚珠丝杠副，单螺母加5%的预加负荷；驱动电机为 SIE。

MENS公司的 1m 型永磁同步电机，转动惯量为 14.7×10 kgm。。 进给系统仿真数值见表 l。

表1 仿真数据Tab.1 Simulation data参数 数值.， /(kgm ) 0.003 02M /kg 100Cb/[Nm·(rad·s ) ] 0.0024l/m O.02c/[N·(m·s ) ] 6 oooK/(N·m- 1 1.23×10c，/[N·(m·s ) ] lOO根据 Narendra方案，满足式(5)的模型均可作为MRAS的参考模型，为简便，选取动态品质优良的模型：Gm(s) 为参考模型，根据第 2节推导的MRAS，利用 MATLAB/Simulink建立仿真模型以确定滚珠丝杠进给系统的二阶模型，其仿真框图见图4～图8。取 1个噪声功率的限带白噪声为仿真系统输入信号，为使 MRAS眷达到稳定状态，取自适应增益矩阵r10/4 4，可调参数初值分别取 kc00.89×10 ，c，。：3.3×10 ，d0o1.6×10 ，d，o2.2×10 ，仿真结果如图9～图11∩看出，当 MRAS较好工作时，可调系统的输出能较好跟踪进给系统理论模型的输出。跟踪误差在0.02之内时，可调参数 k 8 955，cs33 004，d。

15720，d，22 305基本保持不变～ k。，cs，do， 代入式(14)，并由式(15)得出进给系统近似二阶模型为：㈤ ： )限带图4 二阶闭环自适应系统结构图Fig.4 Configuration of second-orderclosed-loop adaptive control system第3期 王永强等：滚珠丝杠进给系统仿真建模 49图5 理论模型子系统Fig.5 The theoretical model subsystem图6 自适应机构子系统Fig.6 Adaptation mechanism subsystemt图9 跟踪瞄线Fig.9 Tracking tule4 模型验证图7 辅助信号发生器FFig.7 Auxiliary signal generator Fl图8 辅助信号发生器F2Fig.8 Auxiliary signal generatort Fs图 l0 误差曲线Fig.10 Error cuiNe为考察式(16)二阶模型是否逼近进给系统理论模型，对两模型同时输入作用时间为1 ms单位脉冲信号，如图 l2所示，其响应曲线见图l3，图中实线 A表示理论模型响应曲线，虚线 B表示二阶模型响应曲线。由误差曲线图14看出，两条脉冲响应曲线较接近，最大差值在0.OO9 3 mil以内，相对误差小于 0.314%。当两模型输入相同时，其输出也较接近，故在工程中可用式(16)的二阶模型代替式(1)的理论模型进行分析及设计。

图 l2 验证方案Fig.12 Validation scheme5 结 论本文提出的滚珠丝杠进给系统为基于Lyapunov稳定性理论的MRAS仿真建模方法。该方法依据进给系×寺 崤0f/0图11 可调参数曲线Fig.1 1 Adjustable parameters curve图13 脉冲响应曲线Fig.13 Impulse response cuYves图14 脉冲响应误差曲线Fig.14 Impulse response error ctn've(下转第55页)第3期 段 曼等：基于SYM小波的多点风压信号预处理方法及应用 55始信号，可通过调整消失矩阶数Ⅳ获得最佳处理效果。

(2)对大跨度屋盖结构，仪器噪声的存在可能使最大峰值负压产生4%的轻微影响，并会不同程度高估大跨度屋盖结构的位移响应，其中背景分量最大达7.69%，共振分量最大差别高达70.6%，最终会使总响应被高估 16.96%。

(3)对于超高层建筑，风洞试验的气动力信噪比相对较好，噪声对高重现期结构风致响应的计算影响相对较小；但对 1年重现期或结构周期较短的结构风效应分析，噪声影响不容忽视，须采用必要的减噪措施。