双树复小波时频构造在齿轮系装配间隙检测的应用

Time-Frequency Domain Construction of Dual Tree Complex W avelets forAssembly Clearance Detection of Gear ChainsCHEN(StateBinqiang，ZHANG Zhousuo，GUO Tin，SUN Chuang，ZHANG Jie，HE ZhengjiaKey Laboratory for Manufacturing and System Engineering，Xi an Jiaotong University，Xian 710049，China)Abstract：To optimize the time-frequency localizability of discrete wavelet transform in extractingnonstationary and periodic fault signatures of mechanical equipment，a time-frequency domainconstructing scheme of dual tree complex wavelet transform (DTCW T ) is investigated。

Frequency responses with imposed phase shift condition and reduced energy leakage are designedfor the prototype filters of scaling functions in the frequency domain.Subsequently，in the timedomain the orthogonality and the energy leakage of the constructed DTCW T are furtheraddressed.The regularity of the constructed DTCW T can be guaranteed even at zero vanishingmoment.The reduced energy leakage effect of the constructing method is validated via numericalsimulations.The constructed DTCW T is utilized to analyze the vibration signal of the gear trainof a heavy-duty lathe and to successfully extract the weak periodic modulation signatures inducedby the assembly clearance of the sliding gears. The extracting performance is superior toDaubechies orthonormal wavelet and DTCW T constructed purely in the time domain。

Keywords：assembly clearance；energy leakage；dual tree complex wavelet；sliding gear在重型机械设备中，齿轮、轴承和转子等传动部件 被普遍应用，而小波变换则被广泛地用于旋转机械的故障特征提取 中，但由于平移不变性差、频带能量泄漏而制约了小波变换对周期性非平稳故收稿 日期：2012-06-07。 作者简介：陈彬强(1986-)，男，博士生；张周锁 (通信作者)，男，教授 ，博士生导师。 基金项 目：国家 自然科学基金资助项目(51275382，1117602)；高校博士点专项基金资助项目(20110201130001)。

网络出版时间：2012-12-23 网络出版地址：http：///kcms/detail/61.1069.T.20121223.1637.014.html西 安 交 通 大 学 学 报 第 47卷障特征的提取效果l4]。Kingsbury提出了双树复小波变换56]，它的滤波器组由 2个小波基构成，2个小波函数呈近似 Hilbert变换对，以很少的冗余为代价却有效地提高了周期性特征的提取效果。王衍学等人结合双树复小波变换和相邻系数收缩策略7]，对齿轮和轴承的微弱故障特征进行了提龋离散 小波 无 法 同时 具 有 时域 和 频域 的正 交性l8]，因为经典小波和第 2代小波都是实小波变换 ，因此信号分解后在相邻尺度的过渡频带上伴随显著的能量泄漏现象。彭志科等人定量地分析 了 Dau-bechies(DB)小波正交规范基的能量泄漏g]，发现通过增加小波基的消失矩阶数可间接地抑制这-问题，但具有高阶消失矩的小波的基支撑区间则很长，在分解过程中容易使高频尺度的系数变得稀疏口 ，造成机械动态测试信号中重要特征失真。

为了优化离散小波变换的时频局部化能力 ，本文对双树复小波基的时频域构造方法进行 了研究 ，在频域上设计了小波尺度函数原型滤波器的频率响应，以保证 良好的带通特性 ，再从时域上对小波函数的正交性进行改进 ，从而得到了频带能量泄漏较小的离散双树复小波～时频域方法构造的双树复小波应用于重型车床主轴箱齿轮系的振动信号分析中，成功地提取 了由滑移齿轮装配间隙引起的微弱调制特征，与 DB9规范正交基和时频域设计 的MV8双树复小波基的处理结果相比，时频域构造的双树复小波对早期微弱故障特征的提冗有更好的能力。

1 双树复小波的基本理论双树复小波基的尺度函数 ( )和小波函数 都是复值函数，并且由 ( )的实部和虚部构成-个Hilbert变换对 ，即Reap- H[Im ] (1)在频域上，式(1)可以被等价为f G。(e )j-I H。(e )l (2)G0(e )- H0(e )- 0.5co (3)式中：H[·]为 Hilbert变换算子；Ho( )、C-o(el(.J)分别为R。 Im 的频谱；叫为响应频率，∞∈(-兀， ]。

2 双树复小波基时频域构造方法2.1 双树复小波基的时频域构造流程定义 的滤波器冲击响应向量为fh ( )，n- 2k 1hA( )- 0≤ 忌≤ L-1(4)Ign( )， - 2k式 中：h。( )、g。(n)分别为 R Im 的滤波器冲击响应 向量 ；L为 h。(，2)和 g。( )的系数 。hA( )的频谱为H A( )- H 0(z ) G ( )，z- e (5)双 树 复小 波 的时频 域构 造 流 程 的步 骤归 纳如下 。

步骤 1 采用 4次多项式在频域上设计 h ( )的频率响应 H，A(e )，使频率响应的过渡带光滑并陡峭，以减小相邻小波尺度 的频带能量泄漏 。

步骤 2 对 H，A(e )施加半采样延迟条件得 到H (ei )，对 H，A(ej )进行傅里 叶逆变换以获取h (n)的初始冲击响应向量 hi (n)。

步骤 3 对 ( )进行截断，在 -±7c/2上增加传递函数零点 。

步骤 4 对 Jl (n)进行时域优化 ，以实现 ：①双树复小波基的时域正交性 和完美重构性 ；②抑制非相邻尺度间的频带混叠。

设 H。(e )的阻带为[ ，丌]，经过 2层小波分解后，信号的频谱被划分为 3个尺度，即A 、D 、D：，如图 1所示。

A1、D 、D2：两层小波变换 后得到 的小波尺度 ；c， ：截止频率图 1 小波分解子带的幅频率响应示意图为抑制 D 和 A 之间的能量泄漏 ，应使0.5w ≤ 兀-叫 ≤ (2/3)7c (6)将式 (6)的约束转换为对 h (n)的要求，应使H (e )在 E[7/3，7c]的增益接近 0，当完成时域优化后 ，可以通过计算得到 h。( )和 g。( )。

步骤 5 由小波基的正交 约束条件，求解双树复小波基的其他滤波器及其对应的重构滤波器组。

2.2 时域优化算法时域优化步骤有 2个优化 目标 ：①较小的小波尺度能量泄漏，即H (e )在[7c/3，7c]上的增益为0；②时域正交性，即H ( )中的 z (是≠o且 是∈Z)项的系数为 o。2个优化 目标可 以表示为f 1， 走- 0hA( )hA(”4走)- ， 忌∈Z (7)IU， 息≠ UFh A≈ F0，，0] (8)http：// http：∥zkxb.xjtu.edu.cn第 3期 陈彬强，等：双树复小波时频构造在齿轮系装配间隙检测的应用式中：F是h 在/-/3， ]上各点谱系数的傅里叶系数矩阵。

采用线性迭代优化算法对式(8)中的二次型问题进行简化～ 作为迭代过程中的初始值，相邻 2次的数值迭代之间应满足Jl ” Jl hf△ ”式中：h 为零点对数矩 阵，是保证 Jl 州在 ∞-±7c/2上的零点对数矩阵。忽略 Jl 中的高阶项 △Jl ，可得Jl ”h ”≈ Jl (Jl 2Ahk”) (9)将式(9)带入式(7)、式(8)，可以得到线性方程组[2 ] [ t k ]㈣ Lfk J L-，△Jl J式中：G 为系数矩阵； 为加权系数， -2 ，可用于提高方程组数值的稳定性；C为 Dirac冲击向量；t 为增益矩阵，用于改善滤波器过渡带的光滑性。

设计滤波器 由 生成 ，抽取 中z4七C ≠o)项对应 的行构造系数矩阵计算正交性误差采用 对方程组加权计算 在[ ，3， 的离散傅里叶变换矩 阵二 计算 在cⅡ，3， 和[ /3， /2上的幅值响应增益 ”： 曰 l I联立方程组式(1o)，计算△> I结束迭代，求得kdn)go(n)：容许误差，-10-。

图 2 双树复小波时域优化迭代算法流程图2.3 构造实例采用本 文算 法 ，令 L- 18，消失 矩 阶 数 为 0，H (ej )在 (u-±7c/2上的零点对数为 1， 。-2/3 7c。

双树复小波的设计结果如 图 3所示 ，其 中复尺度 函数和复小波函数都具有光滑的包络曲线(良好的正则性)。

3 仿真验证为了验证所构造的双树复小波具有更小的频带能量泄漏，-组多谐波成分构成的仿真信号为1.3O.9翟o.s0.1- 0.3(a)复尺度函数 (b)复小波函数图 3 复尺度函数和复小波函数的包络图s(t)- 0.5COS(2n3Ot) COS(2n85 )1.5cos(2 7r170t) cos(2n340t)0.5cos(2n700t)，t∈ [O，1.024]s的采样频率为 2 kHz，采样长度为 2 048点。对仿真信号进行 4层小波分解后，小波尺度频谱D 、D。、D 的中心频率分别为 f2：340 Hz、f。-170 Hz、f4-85 Hz。频率对应的原始谐波信号为S ( )-COS(2nfit)，t∈ [O，1.024]，i- 2，3，4采用 3种小波基对仿真信号进行分解和子频带单支重构 ，再通过小波尺度 -原始成分相关 系数 、小 波尺度泄漏成分的能量强度来对 比 3种小波基的优劣。

3.1 3种小波基的分析结果对 比采用双树复小波基对仿真信号进行 4层分解，小波尺度信号 D (f)、D。(f)、D (f)及其对应的频谱/5。(厂)、D。(-厂)、D (-厂)如图 4所示 (运算点数为2 000，频率分辨率为 1 Hz)，各尺度的中心频率受其他频带能量泄漏影响很校在 D。中，200 Hz是最强的泄漏成分 ，其 幅值仅为 0.034 9。

时间/8(a)尺度信号 (b)频谱图 4 本文方法构造的双树复小波基的尺度信号及频谱DB9经典小波基的冲击响应向量的系数为 18，消失矩阶数为 9，仿真信号的分解结果见图 5。由图5可知，各尺度间的能量泄漏严重，虚假频率成分较多，其中D。的80、165和 330Hz的频谱线在幅值上甚至接近 0.2。

http：/ http：∥zkxb.xitu.edu.cn岫 虬哪硼W - 删 ㈣ 。

呲岫唧师 删删哪Ⅻ刖 L . ㈣ 帆 -0删 驯枷Ⅷ 川 .岫咖m- ⅢⅢⅢⅢ删 岬 .' 舢咖謇暑；№啊删岬 聊聊酬肌呷 W 2枷 哪舢醐 m (帅 嘲 删咖 -2 1 O l 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 ( 0 Q IJ 日 - Q西 安 交 通 大 学 学 报 第 47卷：0 .20.20.1Q0.0时间/s 频率/Hz(a)尺度信号 (b)频谱图 5 DB9小波基的尺度信号及频谱0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5时间/s0.20.1Q0.0(a)尺度信号 (b)频谱图 6 仿真信号的 MV8小波基的尺度信号及频谱MV8小波基 是-种通过提高消失矩阶数构造的双树复小波，冲击响应向量的系数为 18，消失矩阶数为 8，对仿真信号的分解结果见图 6。其中，D 的分解效果较好，但在 D 、D 分解结果的频谱中，干扰频率 的幅值较大，时域波形失真也较大。

3.2 子带-原始成分相关系数的分析结果采用各小波基分解后的各尺度信号与原始成分的互相关系数为C(D，，S，)-Z ooo∑(D (是)- )(si(是)-i ) 12 000 2 000(∑(D (志)- ) ) (∑( (忌)-Si)。) 。

l k- li- 2，3，4式中：D (忌)为小波变换后的分解信号；石 为D 的时域平均值；S (忌)为 对应的原始各谐波信号；i为s (是)的时域平均值。它们的C(D ，S )越大，能量泄漏越小 。

图4～图 6中各尺度信号与S ( )(i-2，3，4)的相关系数如图 7所示。各尺度中，时频域构造的双树复小波基 的分解结果与原始成分的相关系数都是最大的，说明分解后的信号失真最校1.O5-oo 。

翼 0.95l-'q本文构造方法；囫 DB9；园 MV8n 00 d0-999831 0.998 7. 厂] s，r]D2 D3 D4小波尺度信号图 7 3种小波基的子带-原始成分 的相关系数3.3 子频带泄漏成分的能量强度对图 5～图 7中各尺度重构信号进行快速傅里叶变换，并且分别计算各小波尺度频谱中心频率谱线的幅值，结果见表 1。

表 1 由D ～D 提取的实际谐波幅值为了对图 4～图 6中能量泄漏 的现象进行定量分析，各小波尺度中泄漏成分的能量强度为E(D )- 。I D ( )I df -I D ( )I。df√ 0 J Ji8式中： 为频率中心的半径， ：0.1。3种小波基的分解结果及子频带泄漏成分 的能量强度见表 2。由表 2可知 ，时频域构造 的双树复小波基子频带泄漏成分能量最小 ，分解效果最佳，与相关系数对比的结果相-致 。

表 2 3种小波基子频带泄漏成分能量强度的对比由图 7、表 1、表 2可知，DB9和 MV8小波基对各频带中心频率具有较好的提取能力，但由于频带能量泄漏较严重，因此导致各尺度信号与原始信号的相关系数较小，分解效果不佳。

http：/ htp：//zkxb.xjtu.edu.cn2 1 0 1 2 2 l O 1 2 ～ - . - - 日 Q高- - - - N自 ，)nQ - PⅡ第 3期 陈彬强，等：双树复小波时频构造在齿轮系装配间隙检测的应用4 重型车床齿轮系装配间隙的检测为检测-台 63T重型卧式车床主轴箱齿轮系的装配间隙，在主轴箱体的前、后表面上对称地布置了 1O个加速度传感器测点，主轴箱的轴系结构如图8所示。在轴 3、轴 4上布置了-对滑移齿轮副，空载情况下启动机床，控制主轴转速 -60 r/min。各传动轴的转频和齿轮的啮合频率见表 3。

滑移齿轮副轴1 轴2 轴3 轴4 轴5图 8 重型车床主轴箱齿轮系结构示意图表 3 传动轴的转频及齿轮啮合频率轴采用移动式数据采集仪记录各测点的振动加速度信号，采样频率为 4 096 Hz，采样时间为 4 S。图 9为轴 3左侧轴承的振动加速度 a的信号时域波形和相对应的频谱，在时域和频域上都没有发现显著的故障特征信息。

30自 0- 3O1 2 3时间/s(a)时域波形(b)频谱图 9 轴承的振动加速度信号时域波形及频谱图采用本文构造的双树复小波基对信号进行 4层分解，D 的 Hilbert包络谱及其尺度频谱如图1O所示。在图 10a中存在-条突出的 5 Hz谱峰，表明D 中可能存在调制现象。在图 10b中也出现了显著的边频带现象，这是 以 228.3 Hz为 中心频率 ，间隔为 5 Hz的2个对称频率点(223.3 Hz，233.3 Hz)，其中 228.3 Hz对应 于图 8中轴 3和轴 4上滑移齿轮副的啮合频率(与理论计算值 228 Hz十分接近)，而图 10a中的 5 Hz则为图8中轴 4的旋转频率。

0·4；0.20.00 2O 40 60 80 1OO频率/Hz(a)Hilbert包络谱频率/I-z(b)频谱图 1O D 的 Hilbert包络谱及频谱图 10的 2个频率 点(223.3 Hz，233.3 Hz)表明，在轴 3、轴 4上滑移齿轮副的传动受到轴 4工作频率的显著调制，经停机后拆卸检查，发现滑移齿轮副上存在不可忽略的装配间隙，从而验证了诊断结果的正确性。

采用 DB9经典小波基和 MV8双树复小波基对振动信号进行处理。图 lla和 12a为 2种小波基分(a)Hilbert包络谱(b)频谱图 11 DB9小波基 D 的 Hilbert包络谱及频谱http fi http zkxb.xjtu.edu.crl舭 ∞3 - 粥/№3 / - 8 -/ №3 - / 茜6 4 2 2 O 0 0 O .s. q12 西 安 交 通 大 学 学 报 第 47卷目频率/Hz(b)频谱图 12 MV8小波基 D 的 Hilbert包络谱及频谱5 结 论针对经典离散小波变换时频局部化特性中存在的能量泄漏严重问题 ，本文提 出了-种改进的双树复小波时频域构造方法。该方法从频域和时域的角度对双树复小波进行构造，综合优化其时频局部化的能力，并且减小了能量的泄漏 ，在零消失矩条件下获得了具有高度正则性的双树复小波。

本文采用时频域构造的双树复小波基对仿真信号进行分解 ，成功地将多个不同谐波成分独立地分解到不同尺度中，且各分解尺度信号的波形失真较小 ～时频域构造 的双树复小波基应用于重型车床的主轴箱齿轮系的装配间隙检测中，在振动信号中提取了处于小波分解子频带边缘的微弱调制特征，进而准确地诊断出滑移齿轮副上存在的装配间隙。

数值仿真和工程实测数据分析表明，时频域双树复小波的构造方法与经典规范正交小波和纯粹时域构造的双树复小波相比，具有更优的抗能量泄漏特性，对机械设备非平稳周期性故障特征的提取，具有更好的能力。