平面三自由度并联机床的机构分析及工作空间确定

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Doi：1 0.3969/J.issn.1 009-01 34.201 3.02(上).391 平面三自由度并联机床的构型分析三 自由度平面并联机床是由指运动平台上对称布置的移动副和转动副组成3自由的并联机构。

任何类型的三 自由度平面并联机器人其运动平台和机座均为正三角形形状。

1.1分支运动链及机构的型3-DOF平面并联并联机器人由移动副和转动副连接而成。图1所示是并联机器人在静止状态下的机构运动示意图，按照从固定基座到动平台的顺序，若用R表示转动副，P表示移动副，它们分别是：RRR、RPR、 、RPP、PRR、PPR、PI 、PPP，由于三个移动副PPP在平面上不独立，即三个PPP无法给动平台带来独立的三个运动，在实际中没有使用价值。因此，3-DOF平面并联机床的三个分支链结构只可能是七种组合形式：RRR、RPR、RRP、RPP、PRR、PPR、PRP，则平面并联机床的分支链结构只剩下如表1所示的八种。

表1 3-DOF平面并联机床的8种分支链结构分类结构类型 RRR PRR RPR RRP RPP PRP PPR关节1驱动 RRR PRR RPR RRP PRP PPR关节2驱动 RPR I lP(a)RRR (b)RDR (C)RRP(d)PRR (e)PPR (f)PRP图1 3-DOF平面并联机床机构类型1.2 机构的组成分析并联机床机构的自由度由运动副数和类型、组件的数量和运动支链间的相互制约条件决定。

不考虑可能存在重复约束、部分约束和负自由度的情况下，并联机床平台的自由度助 PF6(n-1)-∑il式中：F代表机床平台自由度；n代表机床组件的数量；p代表不同类型运动副的数量总和；U 为第i/b运动副自由度的数目，对于高副为1，低副为2。

令 U 6- ，其中 为第i个运动副的相对 自由度数，代入上式公式可得：F6(n-P-1)- (2)i1这就是空间机构自由度的-般形式的计算公式。而对于平面机构有F3(n-p-1)EZ (3)i1对 于 图1中3.R RR平 面 并联 机床 机构 ，： 8，P9，∑ 9，NltF3。因此该并联机收稿日期：2012-10-10作者简介：崔乐芙 (1964-)，女，副教授，工学学士，研究方向为电梯应用技术研究和建筑机械应用技术研究。

[150] 第35卷 第2期 2013-02(上)务l 訇床具有三个自由度。由于它是平面并联机床，所以这三个自由度分别为 y方向的平动和在 ，平面内的转动。

2 并联机构的工作空间并联机床的工作空间共有三种类型：1)灵巧工作空间是在满足给定位姿范围时机器人末端可达点的集合；2)可达工作空间是机器人末端可达点的集合；3)全工作空间是给定所有位姿时机器人末端可达点的集合。

2.1坐标系的建立及搜索方法如图2所示，为-个3-RRR平面并联机构，其工作空间为末端执行器O点可达区域。工作空间在平面内的边界为曲线，在三维空间其边界为曲面，许多学者对并联机构末端执行器的位置进行正解和逆解，本文以末端执行器的O点和其姿态为变量，进行搜索求解器工作空间。

图2 3-RRR求解模型和坐标 系如图2所示，0。为.40o与Y轴的夹角 ，坐标( ，Yo)表示平台中心，所以平台运动的位置用矩阵 X(xo Yo eo) 表 示 。 我 们 知 道 ， 点4(f1，2，3)的运动空间为-个圆环，其运动平面点的集合为：)，(12) - ) ( - ) (lf2) ( 1、2、3)(4)上述方程是并联机构末端O的坐标在工作空间必须满足的约束条件。当以-定规律移动0点或者改变末端执行器的姿态，若出现方程 (4)中任何- 个公式不满足的情况，该点Ai责不属于工作空间。点 (fl，2，3)的向量坐标为：r4 ，. (5)其中： X Y o)为末端执行器的位置，在搜索的过程中，它为变量。

0 0 1jro4 f-- yr，1。]r1。]， FOA3-(02.2搜索的基本步骤1)建立坐标系XOY，坐标系的原点为三角形C1C2C3的中心，建立另-个坐标系X～OY，坐标原点为末端执行器的运动中的可能位置，坐标系X～Oy相对于坐标系XOY旋转角度为 0。坐标系-OY的极坐标公式为：式中P是以iy(O i )为极角、△ 为角度增量。f为非负整数。

(2)假设工作空间被k条射线均匀的分成k块，VFkI l，及k为数 的最大自然数，因此 0 f k。

3)搜索 第i条射 线上 的边 界点 ，姿态 角 ( 0，l，2，，lAOJ1)，当姿态角为零时候，使 (f△ )以-个合适的间隔△ 从零逐渐增加，及 (f )jzxp(.j0，1，2.)直到方程 (4)中出现某-公式不符合条件时，就可以计算出第i条射线在 e角下的最大值。

4)逐步增加姿态角 0，增幅为A0，重复式(3)得到第二个 P。0的最大范围为2兀，最后可r2 ]以得到I 1个。得到所有P值的最大值，该值为第i条射线所能到达的最远处。

第35卷 第2期 2013-02(上) [151] l 訇 似5)重复以上步骤，搜索下-条射线所能达到距离的最大值。

按照以上步骤用VB建立参数化设计界面。当姿态角为0的时，程序得出的的工作空间，同拓扑法求解的工作空间完全-致，验证了程序的正确性。

2.3定姿态的工作空间在图2中平台的姿态可以用动坐标 与固定坐标 的夹角(p来唯-确定。把角度(p定义3-RRR的姿态角，当姿态角保持不变的时候，末端执行器的参考点0运动范围称为定姿态工作空间，记为 (D)。

- 竺 -l1∞0 20，0 50 60 ：.- 3OO"4OO-'8OO参数输入， 蘩藏角§ -： 震 ～： l100 Ll口 ～÷参数输出圜 图4基于VB定姿态工作空间的求解结果为了验证搜索的正确性可以用拓扑法求解定姿态的工作空间，如图3所示，如果只考虑支链1的约束时，参考点0的运动范围可由子工作空间沿向量 Cl1D平移得到 ，同时考虑三条支链的约束时，可令其他两个子工作空间沿Go(J2，3)平移得到的三个区域相交的部分为定姿态的工作空间，图3阴影部分为定姿态角的工作空间。

在用搜索法求解定姿态的工作空间，其方法同工作空间的搜索，只需在第三步把姿态角固定求解出极径 P，及为第i条射线运动的边界。其余步骤均为-样，其搜索结果如图4所示，结果完全- 样，验证了程序的正确性。

2.4基于VB建立参数化输出界面[152] 第35卷 第2期 2013-02(上)Visual Basic编译快捷，能快速的找到语法错误，根据上述搜索的步骤，编写了3-RRR： 机器人的工作空间VB求解界面，如图5所示。

-r 参数 冬 l 溯 ～～ 阐图5工作空间搜索参数化界面其中内部边界为其灵活工作空间，由于结构的对称导致工作空间的对称，故这个结果又自检测性，如果搜索的结果不对称，则搜索结果是错误的。

3 结论本章首先根据Jean-Pierre.Merlet的理论得到3-DOF的不同的组合形式，分析组合3-DOF的运动副，求解了3-DOF的自由度。其次介绍了迭代搜索法，采用此种方法建立并联机器人的工作空间的参数化求解VB界面，把杆长、基座和动平台作为变量输入到界面就能求解全工作空间，灵活工作空间和定姿态工作空间。关于定姿态工作空间的求解。同时用拓扑法求解，证明给搜索正确性。